Оценка погрешностей электрических измерений

Абсолютная погрешность измерений, производимых элек­троизмерительными приборами, оценивается исходя из класса точности приборов. Обозначение класса точности 0,2; 0,5; 1,0 2,0 и т. д. не только характеризует прибор в зависимости от системы, конструкции, качества материалов, точности градуировки и дру­гих факторов, но и указывает, что погрешность показаний прибо­ра соответствующего класса в любом месте шкалы не должна превышать 0,2%; 0,5%; 1, 2 %.

Если обозначим через А'максимально возможное показа­ние прибора, а через n номер класса прибора, то получим абсо­лютную погрешность прибора

Например, вольтметр 0,2 класса (n — 0,002), шкала которо­го рассчитана на 5 В, имеет абсолютную погрешность:

а амперметр класса 1,5, рассчитанный на максимальное показа­ние 5 А, имеет абсолютную погрешность:

Так как абсолютная погрешность считается одинаковой по всей шкале данного электроизмерительного прибора, то относительная погрешность будет тем больше, чем меньше измеряемая величина. Например, если при помощи указанного амперметра измерить ток 4А, то относительная погрешность бу­дет составлять 1,9 %, а при измерении силы тока 1А - 7,5 %.

При точных измерениях следует пользоваться такими при­борами, чтобы предполагаемое значение измеряемой величины составляло 70 - 80 % от максимального (номинального) значения. Поэтому применяют приборы, имеющие несколько пределов из­мерений; при работе с таким прибором его включают и цепь на тот предел измерений, который достаточно близок к предпола­гаемому значению измеряемой величины.

Вычислим погрешности на примере измерения внутреннего сопротивления элемента, электродвижущая сила которого ,напряжение на полюсах U и величина тока в цепи I. Измерения проведены: вольтметром класса 0,5 (U_N = 2,5 В) и амперметром класса 1,0 (I_N = 1,5 А). Результаты измерений следующие:

E = 2 В, U = 1,3 В, I = 1,2 А.

Абсолютные погрешности измерений:

Внутреннее сопротивление определим из закона Ома для полной цепи:

Прологарифмируем выражение (1)

затем продифференцируем его, заменив d на и знаки "-" на знаки "+" найдем относительную погрешность ε:

Эта погрешность, выраженная в процентах, составляет:

С помощью формулы (1) находим внутреннее сопротивление r и абсолютную погрешность r:

Ом

Ом.

В практике физического эксперимента при ко­личественных определениях физических величин сталкиваемся с необходимостью обработки полученных результатов.

Осуществление каждого измерения или отсчета влечет за собой появление ошибок (или погрешностей), зависящих от раз­личных причин. Поэтому при измерении всякой физической ве­личины перед экспериментатором стоят две задачи:

1) произвести измерение физической величины с возможно меньшим отклонением полученного результата от ее истинного значения;

2) дать оценку погрешности, полученной при этом измере­нии.

Так, измеряя удельное сопротивление материала образца, мы должны не просто указать его величину, равную, например, 10 Ом см, а с учетом погрешностей измерений ± 0,1 %, записать:

Ом см.

Измерения бывают:

1) прямые (или непосредственные), когда на шкале прибора сразу виден отсчет измеряемой величины;

2) косвенные, когда интересующая величина вычисляется по формуле с помощью других, доступных непосредствен­ному физическому измерению величин.

К непосредственным измерениям относятся измерения ли­нейных размеров образцов, измерения температуры, измерения ряда величин с помощью специальных приборов (непосредствен­ный отсчет по шкале). Ошибки, возникающие в процессе измере­ния физических величин, разделяются на два класса:

1. Систематические ошибки, связанные с несовершенством измерительных приборов, с неправильной их установкой или ис­пользованием. К числу таких ошибок могут быть отнесены ошибки, возникающие вследствие смещения нулевой точки шка­лы термометра или электроизмерительного прибора, изменения показания термопары в результате непостоянства температуры холодного конца (если он специально не термостатирован, а име­ет температуру окружающей среды), изменение сопротивления подводящих проводов с температурой и т. д.

Систематические ошибки имеют при данных условиях все­гда один и тот же знак, они изменяют измеряемую величину в одну и ту же сторону и устраняются путем тщательной регули­ровки, правильной установки приборов или путем введения спе­циальных поправок.

2. Случайные ошибки - являются результатом влияния случайных факторов, неподдающихся предварительному учету. Случайные ошибки могут иметь разные знаки и способны как увеличивать, так и уменьшать получаемый результат. При нали­чии достаточно большого числа измерений случайные ошибки подчиняются статистическим закономерностям. Учет и оценка случайных ошибок составляют специальную главу теории веро­ятности, называемую "теорией ошибок".

В теории ошибок доказывается, что наиболее достоверным значением измеряемой величины является среднее арифметиче­ское из результатов отдельных измерений, так как положитель­ные и отрицательные случайные ошибки, равные по абсолютной величине, в среднем встречаются одинаково часто.

Если измеряется некоторая физическая величина a и произ­ведено n измерений, в результате которых получены значения a₁, a₂, a₃,..., a_n,то наиболее достоверное значение измеряемой физической величины a₀ равно среднему арифметическому a₀:

Разность между результатом отдельного измерения и средним арифметическим

представляет абсолютную ошибку отдельного измерения. Эти ошибки могут иметь как положительное, так и отрицательное значение.

Средней абсолютной ошибкой измерения называют:

среднее арифметическое из абсолютных значений отдельных измерений.

В теории ошибок вводятся также понятия средней квадратичной и средней вероятной ошибки и :

Окончательный результат записывается так:

Для того, чтобы охарактеризовать точность измерений оп­ределяют относительную ошибку, равную отношению абсолют­ной ошибки к измеряемой величине. Эта ошибка может быть выражена в процентах. Так же определяют среднюю, среднюю квадратичную и среднюю вероятную относительные ошибки:

В теории ошибок доказывается, что значения случайных ошибок подчинены нормальному закону распределения, т. е. чем больше отклонение величины от ее наиболее вероятного значения, тем реже оно встречается. Поэтому, проведя целую серию измерений, можно увеличить точность полученного среднего значения измеряемой величины (табл. 2).

В качестве примера приведем результаты измерении тол­щины образца с помощью микрометра. Точность подобных изме­рений является определяющей при вычислении целого ряда ве­личин: плотности, электропроводности и т.д.

Таблица 2

Номер измерений	d, мм	, мм
	2,32	+0,02	0,0004
	2,34	0,00	0,0000
	2,36	-0,01	0,0004
	2,33	+0,01	0,0001
	2,35	-0,01	0,0001
	2,33	+0,01	0,0001
	2,32	+0,02	0,0004
	2,24	0,00	0,0000
	2,33	+0,01	0,0001
	2,35	-0,01	0,0001

мм; мм;

мм;

мм.

Соответственно относительные ошибки и окончательный результат:

мм,

или округляя: мм, чтобы абсолютная величина меняла последний знак результата:

мм

мм.

При количестве измерений меньшем десяти вычислять квадратичную и вероятную ошибку нельзя.

Во многих случаях лабораторных измерений приходится ограничиваться однократным измерением. Тогда абсолютные ошибки измерений оценивают по точности измерительных при­боров.

Для электроизмерительных приборов класс точности ука­зывается особо. Так как половину наименьшего деления шкалы еще можно оценить на глаз, то максимальная ошибка измерения принимается равной этой величине. Так, например, при отсутст­вии особых указаний в паспорте прибора, абсолютную ошибку термометра с наименьшей ценой деления в 1° принимают за 0,5°, микрометра с наименьшей ценой деления в 0,01 мм – за 0,005 мм и т. д.

Приведем для наглядности два примера:

1 пример. Ток величиной около 10 мА измеряется много­предельным амперметром М 104 с классом точности 0,5 на раз­ных диапазонах.

В табл. 3 приведены значения абсолютных и относительных ошибок при измерениях на разных диапазонах.

Таблица 3

Диапазон	Абсолютная ошибка	Запись результатов	Относительная ошибка
0,015 А 15 мА	мА	(10 0,075) мА
0,03 А 30 мА	мА	(10 0,15) мА
0,075 А 75 мА	мА	(10 0,375) мА
0,15 А 150 мА	мА	(10 0,75) мА
0,3 А 300 мА	мА	(10 1,5) мА

2 пример. С помощью амперметра со шкалой 0 100 А производится измерение силы тока. Класс точности прибора 1,0. Абсолютная ошибка постоянная: А.

В табл. 4 приведены значения некоторых измеряемых величин, произведённых с помощью этого прибора с указанием абсолютной и относительной ошибок.

Таблица 4

Показание, А	Запись, А	Относительная ошибка, %
	5 1	20
	10 1	10
	23 1	4
	50 1	2
	75 1	1,33
	100 1	1

Очевидно, что при ответственных измерениях надо так подбирать шкалу измерительного прибора (на многопредельных приборах) или, соответственно, подбирать такой прибор, чтобы показания лежали во второй (большей) половине шкалы. У при­боров с неоднородной шкалой рабочая часть шкалы начинается от 25 % номинального предела измерений.

Примечание: При работе на второй половине шкалы легко (в случае некоторой неосторожности) получить зашкали­вание прибора, что ведет к его порче. Поэтому сначала рекомендуется проверить измеряемую величину на шкале, пределы ко­торой значительно превышают ожидаемую величину, а затем ме­нять диапазон.

Приведенная погрешность прибора (выражаемая в процен­тах) определяет класс точности прибора.

Существуют приборы следующих классов: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0- с приведенными погрешностями, соответственно: ± 0,1 %; ± 0,2 %; ± 0,5 %; ± 1,0 %; ± 1,5 %; ± 2,5 %; ± 4,0 %.

Для приборов с односторонней шкалой (нуль слева) приве­денная погрешность будет определяться по отношению к верхне­му пределу измерений.

При двусторонней шкале (нуль посередине) за максималь­ное значение показаний принимается сумма абсолютных значе­ний верхнего и нижнего предела измерений, а в случае отсутст­вия нуля на шкале в качестве максимального значения принима­ется разность между верхним и нижним пределом.

Для стрелочных гальванометров обычно указывается цена одного деления, так называемая постоянная гальванометра. На­пример, у гальванометра М-91 (А постоянная по току равна А/деление).