Двоично-кодированные системы счисления

Построение десятичных ЭВМ, в которых цифры ото­бражались бы сигналами, квантованными по десяти уровням, явля­ется практически целесообразным только при наличии технических средств (схем) для представления чисел, основные технико-экономи­ческие характеристики которых (стоимость, надежность, быстро­действие и др.) были бы не хуже соответствующих характеристик схем для представления двоичных цифр. Однако, как правило, некоторые основные характеристики известных схем для такого пред­ставления десятичных цифр уступают характеристикам двоичных схем. Поэтому при построении десятичных ЭВМ исполь-зуется коди­рование двоичными цифрами десятичных цифр.

Для кодирования цифр k-ичной системы счисления двоичными цифрами не-обходимо иметь не менее ] Iog₂ k [двоичных разрядов. Здесь и далее запись ] А [означает округление A в сторону ближай­шего большего целого числа, если А дробное. Если считать, что числа, с которыми оперирует ЭВМ, не превосходят N, то относитель­ное увеличение количества оборудования, необходимого для пред­ставле-ния k -ичных чисел при их двоичном кодировании, оценивается функцией

Функция = 1, если k = 2^r, r = 1, 2, ... В таком случае для представле- ния чисел в двоичной и k-ичной системах требуется одинаковое количество обору- дования. При k функция > 1. Например, в случае k =10

т.е. в двоично-кодированной десятичной системе (двоично-десятич­ной системе) тре-буется примерно в 1,2 раза больше оборудования для представления чисел по сравнению с двоичной системой.

Очевидно, что любой k-ичной цифре можно поставить в соответ­ствие лю- бое из 2^h двоичных чисел, записываемых с помощью h раз­рядов. Следовательно, чис-ло способов двоичного кодирования k цифр равно числу размещений из 2^h по k,т.е. . Это число очень быстро растет с увеличением k, что делает не- возможным анализ ручными методами всех способов двоичного кодирования даже для практически наиболее важного случая k = 10. В связи с этим к настоящему времени исследованы далеко не все способы кодирования десятичных цифр.

Наиболее широкое распространение в ВТ получили двоично-десятичные системы счисления, в которых десятичные цифры запи­сываются как четырехраз-рядные двоичные числа – двоичные тетрады. Иногда используется также представ-ление десятичных цифр с помощью пяти, шести и семи разрядов. В принципе можно постро­ить ЭВМ, работающую при любом двоично-десятичном кодирова- нии. Однако, как показывают теоретические исследования и опыт раз­работки де- сятичных ЭВМ, наилучшие результаты могут быть по­лучены при использовании двоично-десятичных кодов (ДДК), обладающих свойствами единственности, упо-рядоченности, четно­сти, дополнительности и взвешенности (эти свойства называ-ются так­же условиями Рутисхаузера).

ДДК обладает свойством единственности, если между десятич­ной цифрой и комбинацией двоичных цифр установлено взаимно однозначное соответствие. Данное свойство обеспечивает возможность работы с ДДК и облегчает процесс декодирования.

Упорядоченность ДДК состоит в выполнении одного из условий

0 ₍₂₎ < 1 ₍₂₎ < … < 9 ₍₂₎ ;

0 ₍₂₎ > 1 ₍₂₎ > … > 9 ₍₂₎

для двоичных представлений 0 ₍₂₎ , 1 ₍₂₎ , … , 9 ₍₂₎ десятичных цифр 0, 1, ... , 9. Нали- чие упорядоченности ДДК необходимо для реализации логических операций.

Свойство четности ДДК должно проявляться в том, чтобы всем четным десятичным цифрам соответствовали либо только четные, либо только нечетные двоичные числа. Аналогично всем нечетным десятичным цифрам должны соот-ветствовать либо только нечетные, либо только четные двоичные числа. Это свой- ство упрощает выпол­нение операций умножения, деления и округления.

Сущность свойства дополнительности ДДК заключается в сле­дующем. Если сумма двух десятичных цифр равна 9, то переход от двоичного представления од- ной цифры к двоичному представле­нию другой должен осуществляться путем инвертирования (т. е. замены 0 на 1 и наоборот) двоичных разрядов. Это облег- чает фор­мирование обратного и дополнительного кодов, используемых при опера- ции алгебраического сложения.

ДДК называется взвешенным, если каждому из h разрядов двоич­ного пред-ставления x_hx_h-1 … x₁ десятичной цифры X поставлены в соответствие веса a_h , a_h-1 , …, a₁ , причем

(3)

Использование взвешенных ДДК облегчает выполнение логи­ческих опера- ций и перевод чисел из одной системы счисления в другую.

ДДК, получающиеся друг из друга простой перестановкой ве­сов a_i, обра- зуют кодовую группу, или просто группу. Существует 86 групп взвешенных ДДК, облада­ющих свойством единственности, в ко­торых для представления десятичных цифр используются двоичные тетрады. Среди них есть ДДК, имеющие толь­ко положительные веса, и ДДК с од­ной или двумя отрицательными веса­ми, напри- мер, «8, 4, 2, 1», «8, 4, 2, -1», «6, 3, -1, -1».

Свойством дополнительности обла­дают все взвешенные ДДК с положи­тельными весами, у которых сумма весов равна девяти. Существуют четы­ре груп- пы взвешенных ДДК, обла­дающих одновременно свойствами единственности и дополнительности, а именно: «5, 2, 1, 1», «4, 3, 1, 1», «4, 2, 2, 1», «3, 3, 2, 1». Среди ДДК с от­рицательными весами свойствами единственности и дополнительно­сти обладают девятнадцать групп кодов, приведенных в табл. 2.

Таблица 2

Номер группы	Веса разрядов	Номер группы	Веса разрядов
	8 4 3 -6		6 3 2 -2
	8 4 2 -5		6 3 1 -1
	8 3 2 -4		6 2 2 -1
	7 5 3 -6		5 4 3 -3
	7 5 1 -4		5 3 2 -1
	7 3 1 -2		4 4 3 -2
	6 5 2 -4		4 4 2 -1
	6 5 1 -3		8 6 –1 -4
	6 4 2 -3		8 4 –2 -1
	6 4 1 -2

Свойством упорядоченности могут обладать только ДДК, не имеющие от-рицательных весов. Одновременно свойствами един­ственности, дополнительности и упорядоченности обладают взве­шенные ДДК «5, 2, 1, 1», «5, 1, 2, 1», «4, 3, 1, 1» и «3, 3, 2, 1».

Всеми перечисленными выше свойствами обладают коды «2, 4, 2, 1» и «4, 2, 2, 1» (табл. 3), которые получили название кодов Эмери. Код «2, 4, 2, 1» впервые был использован в швейцарской ЭВМ, а затем получил достаточно широкое распространение в ВТ. Благодаря свойству дополнительности ДДК «2, 4, 2, 1» и «4, 2, 2, 1» переход к об­ратному и дополнительному кодам осуществляется лег­ко, однако искусственный порядок весов несколько затрудняет выполнение арифметических операций.

Таблица 3

Десятичные цифры	Двоично-десятичные коды
«8,4,2,1»	«2,4,2,1»	«4,2,2,1»	«7,4,2,1»	«5,4,2,1»	«С избыт-ком 3»	«3a + 2»	«2 из 5»	«2 из 7»	«Рефлек-сный»	«w,x,y,z»

Распространенным в ВТ ДДК является взвешенный код «8, 3, 2, 1», назы- ваемый также кодом прямого замещения (табл. 3). Этот код образуется путем за- писи десятичных цифр в двоичной позици­онной системе счисления с естественным порядком весов и обладает всеми перечисленными выше свойствами, кроме свой- ства дополни­тельности. Последнее делает код неудобным при реализации опера­- ции алгебраического сложения из-за трудностей формирования пе­реносов из млад- шей тетрады в старшую. Однако код «8, 4, 2, 1» удобен для машинного перево- да чисел из десятичной системы в дво­ичную и обратно.

В каждом конкретном случае применение какого-либо ДДК обус­лавлива- ется определенными его преимуществами по сравнению с другими ДДК. Напри- мер, взвешенный код «7, 4, 2, 1», приведенный в табл. 3, применялся в элект- ро-механических вычислительных машинах, где двоичной единице соответствова- ло замкнутое реле, а двоичному нулю – разомкнутое реле, причем замкнутое реле потребляло ток от источника питания. В рассматриваемом коде использованы комбинации с минимальным числом единиц, что обес­печивает минимальное по-требление тока от источника питания.

Близким по своим свойствам к коду «7, 4, 2, 1» является код «5, 4, 2, 1» (табл. 3). Десятичные числа, записанные в этом коде, можно рассматривать как двоично-пятеричные с кодированным представлением цифр. Три младших двоич- ных разряда в каждой тетраде изображают один пятеричный разряд, а старшая двоичная цифра соответствует двоичному разряду. Этот код имеет ряд досто­инств при выполнении арифметических операций и переводе чисел из одной системы счисления в другую.

Особенностью взвешенных ДДК, имеющих только положитель­ные веса, кроме кодов «8, 4, 2, 1», является отсутствие однозначного представления десятич- ных цифр. Любой двоичный код здесь соот­ветствует одной десятичной цифре, но десятичная цифра может быть представлена несколькими двоичными кодами. Например, в коде «2, 4, 2, 1» цифра 2 может быть представлена как 1000 или как 0010. Причиной тому служит неоднозначность решения уравнений (3) отно-сительнопеременных x_h , x_h-1 , ... , х₁. Для выполнения условия единственности кодирования уславливаются считать «запрещен­ными» некоторые, хотя и правиль- ные, двоичные коды десятичных цифр. Однозначностьпредставления десятичныхцифр, состоящая в том, что каждой такой цифре соответствует только одна из шест­надцати возможных комбинаций двоичных цифр, обеспечивается в коде «8, 4, 2, 1». Кроме того, требование однозначности представле­ния десятичных цифр мо- жет быть вы­полнено введением отрицательных ве­сов. В табл. 4 представлены все группы кодов, удовлетворяющие тре­бованию однозначности.

Таблица 4

№ п/п	Веса разрядов	№ п/п	Веса разрядов
	8 4 2 1		8 5 –4 2
	8 4 2-1		8 –5 4 2
	8 4 –2 1		8 5 –4 -2
	8 –4 2 1		8 6 –4 1
	8 –4 –2 1		8 –6 4 1
	8 –4 2 -1		8 6 –4 -1
	8 4 –3 2		8 –6 4 3
	8 4 3 -2		8 7 –4 -2
	8 –4 3 2		7 6 –5 3
	8 4 –3 -2		7 –6 5 3
	8 –4 3 -2		-7 6 5 3

Для представления десятичных цифр могут быть использованы и не­взве- шенные ДДК. Код «с избытком 3» (табл. 3) обладает свойством допол­нительнос- ти. Этот код удобен для вы­полнения операции алгебраического сложения. Для за- писи десятичных цифр в коде «с избытком 3» необходи­мо каждую двоичную тет- раду этой цифры в коде «8, 4, 2, 1» сложить с дво­ичным кодом цифры 3.

Код «8, 4, 2, 1» и коды с избытком (построенные по аналогии с кодом «с избытком 3») обладают свойством аддитивности, которое заключается в том, что код суммы двух десятичных цифр равен двоичной сумме кодов этих цифр или отличается от нее на неко­торую константу. Это свойство позво­ляет свести операции десятичной арифметики в таких кодах к выполнению операций по пра- вилам дво­ичной арифметики .

Примерами ДДК, в которых каждая десятичная цифра кодиру­ется пятью двоичными разрядами, являются коды «3а + 2» и «2 из 5» (табл. 3). Первый код обладает свойством дополнительности и может быть получен путем записи в дво-ичной системе с естествен­ным порядком весов числа 3а + 2, где а – заданная десятичная цифра. В коде «2 из 5» каждая десятичная цифра изображается пя­тью двоичными разрядами, из которых только два содержат едини­цы. Можно считать, что код «2 из 5» получается из кода «7, 4, 2, 1» путем добавления справа дополнительного разряда с весом 0. В этот разряд записывается такая двоичная цифра, чтобы общее чис­ло единиц было равно двум (за исключением кода деся- тичного ну­ля). Коды «3а + 2» и «2 из 5» используются для передачи информации, так как они позволяют обнаруживать наиболее вероятные ошибки.

В ВТ находит применение также двоично-пятеричная система счисления. В такой системе основание нечетных разрядов в записи числа равно 5, а основа- ние четных разрядов равно 2. Очевидно, что такую систему можно рассматри- вать как десятичную, цифры ко­торой кодируются одной пятеричной и одной двоичной цифрами. Двоичная цифра (0 или 1) показывает, сколько пятерок вхо- дит в данную десятичную цифру, а пятеричная цифра (0, 1, 2, 3, 4) дает допол- нительное количество единиц. Например, десятичное число 791, 127 может быть записано в двоично-пятеричной системе с не­посредственным представлением цифр в виде 12 14 01, 01 02 12.

В коде «2 из 7», который также называют двоично-пятеричным кодом, для представления десятичной цифры используется семь двоичных разрядов. Десятич- ные числа, записанные в этом коде, можно рассматривать как числа, представлен- ные в смешанной дво­ично-пятеричной системе счисления с кодированным пред-ставлением цифр. Пятеричные цифры кодируются пятью младшими разрядами, а двоичные – двумя старшими, причем в каждой группе разрядов должна быть запи- сана только одна единица. Этот код можно рас­сматривать как взвешенный код «5043210». Код «2 из 7» также, как и коды «3а + 2» и «2 из 5», позволяет обна- руживать наиболее вероят­ные ошибки при передаче информации. Кроме того, ко- ды «2 из 5» и «2 из 7» обеспечивают в ЭВМ с импульсным представлением ин­формации постоянное и при этом минимальное потребление тока, так как любая десятичная цифра в этих кодах представляется ком­бинацией разрядов, содержа- щей только две единицы.

Представленный в табл. 3 рефлексный код обладает тем свой­ством, что двум соседним десятичным цифрам соответствуют кодовые комбинации, отличаю-щиеся друг от друга. только в одном двоичном разряде. Это свойство эффективно используется при преобразова­нии величины углового и линейного перемещения в цифровой экви­валент. Код, обозначенный в табл. 3 как «w, x, у, r», обладает сле-дующим свойством. Для любой десятичной цифры комбинация z, w, х, у дает млад- ший разряд произведения этой цифры на 3, ком­бинация х, у, г, w – младший разряд произведения цифры на 7, а комбинация у, г, w, x – младший разряд произведения на 9. Та­ким образом, младший разряд произведения десятичной цифры на 3, 7 и 9 может быть получен круговой перестановкой двоичных цифр.

Из числа других двоично-кодированных систем в ВТ нашли применение системы с основанием k = 2^r, в частности восьмерич­ная и шестнадцатиричная. Эти системы используются при составлении программ для более короткой и удобной записи двоичных представ­лений команд, так как в этом случае нет необходимос- ти выполнять специальные операции для перевода чисел в двоичную систему. В табл. 5 приведены изображения некоторых целых и дробных чисел в позицион- ных системах с основаниями k = 2, 8, 10, 16. Здесь шесть старших цифр шест- надцатиричной системы обозначены буквами А, В, С, D, Е, F (соответствуют десятичным числам 10, 11, 12, 13, 14, 15).

Таблица 5.

k	k
				0,1	0,0001…	0,06…	0,19…
				0,2	0,0011…	0,14…	0,33…
				0,3	0,0100…	0,23…	0,4C…
				0,4	0,0110…	0,31…	0,66…
				0,5	0,1000	0,4	0,8
				0,6	0,1001…	0,46…	0,99…
				0,7	0,1011…	0,54…	0,B3…
				0,8	0,1101…	0,63…	0,CC…
				0,9	0,1110…	0,71…	0,E6…
			A
			B
			C
			D
			E
			F

В современных ЭВМ, обрабатывающих не только числовую ин­формацию, но и текстовую (алфавитно-цифровую), отдельные сим­волы чаще всего представ- ляют словами длиной в один байт. Так как один байт равен двум двоичным тетра- дам, то в ЭВМ с байтовым пред­ставлением информации можно записывать две десятичные цифры в один байт. Вместе с тем можно записывать в каждый байт и по одной десятичной цифре, используя остальные четыре разряда бай­та для за- писи знаков и вспомогательных символов. Например, в ЭВМ Единой Системы (ЕС ЭВМ) реализованы обе возможности, причем первая используется для обра- ботки числовой десятичной информации, а вторая – для обработки текстовой ин-формации.

В специализированных цифровых устройствах находят приме­нение системы счисления с иррациональным основанием, к которым относятся так называемые Р-коды Фибоначчи и коды «золотой» Р-пропорции. При этом Р-кодом Фибоначчи называется представле­ние числа X в виде

где {0, 1} — двоичная цифра в i-м разряде, — вес i-ro разряда, опре-деляемый как

Если Р = 0, то Р-код Фибоначчи совпадает с представлением чисел в дво- ичной канонической системе счисления. В случае Р = 1 код Фибоначчи соответ- ствует системе счисления с искусственным порядком весов, а именно: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... В этой последова­тельности любой вес равен сумме двух соседних младших весов. Если Р = 2, то последовательность весов Р-кода Фибоначчи име- ет вид 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, .... При подобная последова­- тельность состоит из Р единиц, после которых следует натуральный ряд чисел. Как и в других системах с искусственным порядком ве­сов, представление чисел в Р-кодах Фибоначчи не является однозначным. К числу основных достоинств кодов Фибоначчи следует отнести повышение быстродействия устройств обработки ин-форма­ции и удобство организации контроля правильности их функциони­рования.

Кодом «золотой» Р-пропорции называется представление числа X в виде

где x_i — двоичная цифра в i-м разряде, — вес i-го разряда, причем = + .

Приведенное представление задает бесконечное число способов нумерации действительных чисел, так как каждому Р соответствует свой способ нумерации. Веса разрядов в таком представлении свя­заны с весами разрядов в Р-кодах Фибо- наччи следующим соотношением:

Отсюда при Р = 0 следует (0) = 2, т. е. код «золотой» Р-пропорции в этом случае соответствует двоичной позиционной системе счисления. При Р > 0 значение (Р) является иррациональным числом. В частности, для Р = 1

Подобно Р-кодам Фибоначчи особенностью кодов «золотой» Р-пропорции является неоднозначность представления действитель­ных чисел (за исключением нуля). Кроме того, при Р > 0 понятия целого и дробного числа не совпадают с общепринятыми понятиями. Например, целое число 3 в коде «золотой» 1-пропор- ции изображает­ся как 100,01, а иррациональное число при любом Р > 0 изображается как и основание системы счисления в канонической двоичной сис- теме, т. е. = 10.

Число было известно еще древним грекам из реше- ния задачи о делении отрезка в сред­нем и крайнем отношениях. В средние века такое пропорциональное отношение было названо «золотым». Этим и объясняется происхож­дение названия кодов «золотой» Р-пропорции.