Приложение общих теорем к динамике твердого тела

Дифференциальные уравнения движения твердого тела

Поступательное движение твердого тела

ПД ТТ описывает движение одной любой точки, например, центра масс. Поэтому ДУ движения тела в векторной и скалярной форме имеют следующий вид:

Вращательное движение твёрдого тела.

Рассмотрим приложения общих теорем динамики к некоторым задачам о движении абсолютно твёрдого тела. Так как изучение поступательного движения твёрдого тела сводится к задачам динамики точки, то мы начнём непосредственно с рассмотрения вращательного движения.

Рис. 55

Пусть на твёрдое тело, имеющее неподвижную ось вращения Z (рис.55), действует система заданных сил , ,... . Одновременно на тело действуют реакции подшипников и . Чтобы исключить из уравнения движения эти наперед неизвестные силы, воспользуемся теоремой моментов относительно оси Z. Так как моменты сил и относительно оси Z равны нулю, то получим:

;

.

Будем в дальнейшем величину называть вращающим моментом.

Подставляя в предыдущее равенство значение , найдём:

или .

Уравнение представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела. Из него следует, что произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно вращающему моменту:

.

Равенство показывает, что при данном чем больше момент инерции тела, тем меньше угловое ускорение и наоборот. Следовательно, момент инерции тела действительно играет при вращательном движении такую же роль, как масса при поступательном, т.е. является мерой инертности тела при вращательном движении.

Отметим следующие частные случаи:

1) Если , то , т.е. тело вращается равномерно.

2) Если , то и , т.е. тело вращается равнопеременно.

Пример 15. Стержень весом Р и длиной l качается как маятник в вертикальной плоскости, вращаясь вокруг горизонтальной оси О (рис.56).

Рис.56

Составим уравнение качаний стержня.

Так как и реакции оси не учитываются, то получим

или .

Плоскопараллельное движение твердого тела.

Положение тела, совершающего, плоскопараллельное движение, определяется в любой момент времени положением полюса и углом поворота тела вокруг полюса. Задачи динамики будут решаться проще всего, если за полюс взять центр масс С тела (рис.58) и определять положение тела координатами X_C, Y_C и углом .

Рис.58

На рис.58 изображено сечение тела плоскостью, параллельной плоскости движения и проходящей через центр масс С. Пусть на тело действуют внешние силы , ,... , лежащие в плоскости этого сечения. Тогда уравнения движения точки С найдём по теореме о движении центра масс

,

а вращательное движение вокруг центра С будет определятся уравнением

,

т.к. теорема, из которой получено это уравнение, справедливо и для движения системы вокруг центра масс. В результате, проектируя обе части равенства на координатные оси, получим:

, , ,

, ,

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела. С их помощью можно по заданным силам определить закон движения тела или, зная закон движения тела, найти главный вектор и главный момент действующих сил.

При несвободном движении, когда траектория центра масс известна, уравнения движения точки С удобно составлять в проекциях на касательную и главную нормаль n к этой траектории. Тогда получим:

, , ,

где - радиус кривизны траектории центра масс.

Пример 16. Однородный круглый цилиндр скатывается по наклонной плоскости (рис.59). Цилиндр совершает плоскопараллельное движение.

Рис.59

Так как и, значит, составим дифференциальное уравнение вращения относительно оси проходящей через мгновенный центр скоростей.

Момент инерции цилиндра относительно оси

Поэтому уравнение получится таким или

Знак (–) указывает на направление углового ускорения – по часовой стрелке.

Обратим внимание на то, что реакции не вошли в уравнение.

Чтобы определить реакцию , составим еще одно дифференциальное уравнение вращения, относительно центральной оси С :

Отсюда

Конечно, . Чтобы тело катилось без скольжения должно выполняться условие или Поэтому коэффициент трения скольжения должен удовлетворять условию

Пример 17. Балочка АВ длиной l и весом Р падает, скользя концами по гладким поверхностям стены и пола (рис.60). Составим дифференциальное уравнение вращения.

Рис.60

Здесь Поэтому опять выгоднее составить дифференциальное уравнение вращения относительно оси . Тем более, что неизвестные реакции и не войдут в это уравнение.

Так как то уравнение получится таким:

Отсюда

Пример 18. Тело, имеющее форму половины кругового цилиндра, катается по горизонтальной плоскости без скольжения. Вес его – Р. Положение центра тяжести определяется расстоянием момент инерции относительно оси О:

Рис.61

Поскольку неизвестны ни сила трения ни нормальная реакция N, конечно следует составлять дифференциальное уравнение вращения относительно оси .

Момент инерции тела относительно оси по теореме Гюйгенса-Штейнера, , а , поэтому .

Расстояние производная

Количество движения

Составляем дифференциальное уравнение:

или

После подстановки значения , получим

и, окончательно, подставив значение

Пример 19. Стержень качался как маятник, вращаясь в вертикальной плоскости вокруг шарнира О. В момент, когда стержень был в вертикальном положении и угловая скорость его была , шарнир разрушился. Определим дальнейшее движение стержня.

Стержень начнет совершать плоскопараллельное движение. На рис.62 показано его промежуточное положение.

Рис.62

Составим дифференциальные уравнения движения.

или

Интегрируем их дважды:

и

Начальные условия: при t = 0

,

Подставив их в последние шесть уравнений, получим

Тогда уравнения плоскопараллельного движения стержня

Например, стержень займет горизонтальное положение, , в момент когда центр масс его будет в точке с координатами