Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну степень свободы молекулы

Е_1ср . (6.7)

Средняя кинетическая энергия молекулы

E_ср , (6.8)

где i – число степеней свободы молекулы газа (сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы (i =i_пост+ i_вращ+2 i_колеб)). Для идеального газа i_колеб=0, так как атомы в молекуле идеального газа жестко связаны друг с другом.

Для одноатомного идеального газа i=3,

для двухатомного идеального газа i=5,

для трехатомного - i=6.

Закон Дальтона для давления смеси n идеальных газов:

, (6.9)

где p_i – парциальное давление i - го компонента смеси.

Скорость молекул идеального газа:

Наиболее вероятная

v_в ; (6.10)

Средняя квадратичная

v_ср.кв. ; (6.11)

Средняя арифметическая

v_ср . (6.12)

Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям:

f(v) , (6.13)

где функция f(v) распределения молекул по скоростям определяет относительное число молекул dN(v)/N из общего числа N молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv.

Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по энергиям теплового движения

, (6.14)

где функция f(E) распределения молекул по энергиям теплового движения определяет относительное число молекул dN(E)/N из общего числа N молекул, которые имеют кинетические энергии , заключенные в интервале от E до E+dE.

Барометрическая формула

, (6.15)

где p_h и p₀ – давление газа на высоте h и h₀.

Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для одного моля газа

(6.16)

Для произвольного количества вещества газа

, (6.17)

где а и b – постоянные Ван-дер-Ваальса (рассчитанные на один моль газа); V – объем, занимаемый газом; V_m – молярный объем; p –давление газа на стенки сосуда. Связь критических параметров – объема, давления и температуры газа – с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса:

V_{m кр}= ; ; .

Вопросы для самоподготовки

1. Сформулируйте основные постулаты молекулярно – кинетической теории газов.

2. Дайте определение идеального газа.

3. Дайте определение основным макроскопическим параметрам идеального газа: давлению, объему и температуре.

4. Напишите уравнение состояния идеального газа. Почему оно так называется?

5. Дайте определение постоянной Авогадро и молярной массе.

6. Сформулируйте Закон Авогадро. Чему равны молярные объемы всех газов при нормальных условиях?

7. Дайте определение процесса, изопроцесса.

8. Сформулируйте законы: Бойля – Мариотта, Гей–Люссака, Шарля. Постройте pV, pT, VT диаграммы для различных изопроцессов.

9. Назовите параметры, входящие в основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.

10. В чем отличие формул для средней кинетической энергии молекул одноатомного, двухатомного и трехатомного идеальных газов?

11. Сформулируйте закон Дальтона для давления смеси газов.

12. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от v до v+dv в расчете на единицу этого интервала.

Рис. 6.1. к вопросу №12.

Выберите верные утверждения.

а) Площадь заштрихованной полоски равна доле молекул со скоростями в интервале от v до v+dv.

б) С ростом температуры площадь под кривой растет.

в) С ростом температуры максимум кривой смещается вправо.

13. В трех одинаковых сосудах находится одинаковое количество газа, причем температуры газа в сосудах связаны соотношением: T₁>T₂>T₃. Какая кривая будет описывать распределение скоростей молекул в сосуде с температурой T₁?

14. Получите формулу для вычисления наиболее вероятной скорости (6.10), используя функцию распределения молекул идеального газа по скоростям (6.13).

15. Дайте определение средней квадратичной и средней арифметической скорости молекул газа. Покажите их на графике функции распределения молекул идеального газа по скоростям.

16. Используя барометрическую формулу, покажите графически изменение давления воздушного столба с высотой.

17. Напишите уравнения состояния для одного моля идеального и реального газов. В чем различие этих уравнений?

18. Изобразите pV диаграммы изотермического процесса для идеального и реального газа. Сделайте сравнительный анализ этих диаграмм.

Примеры решения задач

6.1.В сосуде находится смесь m₁=7 г азота и m₂=11 г углекислого газа при температуре Т=290 К и давлении р=1 атм. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными.

Дано: Найти:

m₁=7 г, .

m₂=11 г,

Т=290 К,

р=1 атм.

Решение:

Согласно закону Дальтона, давление р смеси газов равно сумме парциальных давлений азота р₁ и углекислого газа р₂:

. (1)

Для каждого газа, входящего в данную смесь, можно написать уравнение Клапейрона-Менделеева:

, . (2)

Выразив из уравнений (2) р₁ и p₂ и подставив в (1), можно получить:

. (3)

Объем сосуда можно представить в виде:

. (4)

Подставив (4) в (3), можно получить выражение для плотности смеси азота и углекислого газа:

кг/м³.

Ответ: кг/м³.

6.2.Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекул гелия и азота при температуре . Определить полную энергию всех молекул 100 г каждого из газов.

Дано: Решение:

, 1)

, 2) Е_ср.п

. 3) Е_ср.

4) Е

Решение:

Согласно равенству (6.7), средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы любого газа:

Дж, (1)

причем средние энергии поступательного движения молекулы гелия и азота одинаковы. Однако средняя квадратичная скорость молекул газа зависит от молярной массы его молекул:

, (2)

где . Для гелия , для азота .

Средняя полная энергия молекулы зависит не только от температуры, но и от структуры молекул – от числа степеней свободы:

. (3)

Гелий - одноатомный газ, следовательно, . Тогда по формуле (3) для гелия . Азот – двухатомный газ, следовательно, и .

Полная кинетическая энергия всех молекул, равная для идеального газа его внутренней энергии, может быть найдена, как произведение Е_ср на число N всех молекул:

E=Е_ср N. (4)

Очевидно,

, (5)

где - масса всего газа, отношение определяет число молей, а - постоянная Авогадро. Выражение (4) с учетом уравнения Клапейрона-Менделеева (6.1) позволит рассчитать полную энергию всех молекул газа:

. (6)

Для гелия ; для азота .

Ответ: 1. , ;

2. Дж;

3. , ;

4. , .

3.Температура окиси азота NO T=300 K. Определить долю молекул, скорость которых лежит в интервале от v₁=820 м/c до v₂=830 м/c.

Дано: Найти:

T=300 K, .

v₁=820 м/c,

v₂=830 м/c.

Решение:

Рассматриваемый газ находится в равновесном состоянии, и, согласно распределению Максвелла, относительное число молекул, скорость которых заключена в интервале от v до v+dv:

,

где f(v,T)-функция Максвелла; dv - настолько малый диапазон скоростей, что в пределах его заведомо f(v,T)=const. В условии задачи требуется определить долю молекул, скорости которых лежат в диапазоне .

Если в диапазоне функцию Максвелла можно считать постоянной, то искомая величина может быть рассчитана по приближенной формуле:

. (1)

Такое приближение соответствует тому, что на рисунке 6.2 заштрихованная площадь приравнивается площади прямоугольника с основанием и высотой, равной значению f(v₁,T). Следовательно, прежде всего надо найти значения функции Максвелла при v=v₁ и v=v₂ и выяснить, какую погрешность дает использование равенства (1).

Функцию Максвелла можно представить в виде:

, (2)

где

(3)

- наиболее вероятная скорость молекул. Тогда по формуле (2) можно найти f(v₁,T)= с/м; f(v₂,T) с/м.

Это значит, что при использовании выражения (1) допускается ошибка, относительная величина которой

.

Тогда доля молекул, скорость которых лежит в интервале от v₁=820 м/c до v₂=830 м/c можно найти по формуле (1) с точностью 7%:

.

Ответ: .