X, Δy и Δz - абсолютные ошибки в измерении величины x, y и z

По формуле (3) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются.

В действительности, при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (3) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку.

Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w . Её можно получить, разделив (3) на W, т.е.:

(4)

Формула (4) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной за­висимости w=f(x,y,z).

Для выражения δw в процентах формулу (4) следует умножить на 100.

В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев.

Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, yиz в различ­ных степенях и постоянной А, т.е.:

w=A·xα · yβ · zγ

(5)

Причем α, βи γмогут быть любыми положительными или отрица­тельными числами. Заметим, что формула (5) охватывает случаи, опи­санные формулами (1) и (2).

Для функциональной зависимости (5) можно получить более конкрет­ное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины.

Возьмем производные, входящие в (4):

(6)

Подставив в (4) эти значения и значение w по (5), получим:

(7)

Откуда:

(8)

Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте:

(9)

Окончательно получаем:

δw=|αδx|+|βδy|+|γδz|

(10)

Эта формула еще больше упрощается, если α, βиγ равны единице или единице с минусом. Тогда получим:

δw=|δx|+|δy|+|δz|

(11)

Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая
величина w является произведением постоянной и измеряемых вели­чин x, yиz в первой или минус первой степени, то относительная ошибка искомой величины w является суммой относительных ошибок этих измеряемых величин.

Разберем другой случай. Пусть:

w = x + y + z

(12)

Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (4) получим:

(13)

Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (13).

Для этого преобразуем каждое слагаемое в (13):

(14)

Тогда для функциональной зависимости (12) получим формулу для рас­чета ошибки:

(15)

Вполне естественно, что формулы (4) - (15) могут быть распростра­нены на любое число переменных.

Величина относительной ошибки искомой величины в (10), (11) и (15) будет выражена в процентах, если δx, δyиδz подставляются также в процентах.

Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин, т.е.:

w= x – y

(16)

Если величины x и у близки друг другу по величине, то вслед­ствие погрешностей этих величин искомое значение w может получи­ться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо.

Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т.е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т.е. ошибка составляет ± 2,22 %,

Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной по­грешностью:

w= x – y = (50 ± 1) – (45 ± 1)= 5 ± 2.

Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях xиy так уж велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая, т.е.:

Применяя к этому случаю формулу (15), получаем тот же результат:

Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.