Выбор в условиях неопределённости

Специальная отрасль экономической теории - портфельный анализ - занимается исследованием мотивов поведения инвесторов - так мы назовём людей, выбирающих оптимальную форму хранения своего богатства. В основной модели предполагается, что человек может хранить богатство в одной из двух форм - либо в форме денег, либо в форме облигаций. Каждый из этих активов может быть охарактеризован с помощью двух параметров. Во-первых, всякий актив обещает принести своему владельцу определенный доход. Условимся обозначать ожидаемое значение дохода символом m. Во-вторых, существует некоторый риск того, что актив не принесёт ожидаемого дохода или действительный доход окажется меньше ожидаемого. Как принято говорить, существует некоторый разброс ожидаемых значений дохода. Меру этого риска при получении ожидаемого дохода обозначим символом s. Далее, для обозначения денег всюду мы будем пользоваться литерой М (от английского слова money - деньги), а для обозначения облигаций - литерой B (облигация на английском bond).

Проанализируем сначала элементарную модель, включающую в себя только два вида активов - деньги и облигации. Для того, чтобы определить форму, в которой инвестор предпочтёт хранить своё богатство, необходимо знать параметры риска и дохода по каждому типу актива. Деньги являются специфическим активом в том отношении, что как приносимый ими доход, так и риск, с которым связано их хранение, равны нулю. Богатство, хранимое в форме денег, не увеличится ни на копейку за весь период хранения, однако в то же время совершенно исключена возможность уменьшения его номинальной величины (темп инфляция для упрощения проблемы также принимается равным нулю). Таким образом, m_М = 0 и s _М =0.

Сложнее определить соответствующие параметры для облигаций. Доход, приносимый облигацией можно исчислить по формуле:

(12) m_В = r₀ + g,

где r₀ - купонная (номинальная) ставка дохода по облигациям, а g - приращение рыночной стоимости облигации за период её хранения. R₀ - есть обещание фирмы, выпустившей облигацию, уплачивать её держателям определённую строго фиксированную сумму вплоть до момента её погашения. Таким образом, величина r₀ всегда будет положительной. Относительно величины g нельзя сказать ничего определенного. Привлекательность облигации для покупателя, состоит в том, что она приносит доход в форме процента. Чем выше норма процента, тем более привлекательна облигация для покупателя (для простоты мы даже предполагаем, что вероятность неполучения дохода по облигациям равна нулю). Одновременно на рынке обращается множество типов облигаций, выпущенных в различные периоды времени. Рыночная цена выше у тех облигаций, которые имеют большую купонную ставку. Облигации с меньшей купонной ставкой ценятся ниже. Однако конкуренция среди покупателей на фондовом рынке приводит к тому, что норма доходности для всех облигаций независимо от величины их купонной ставки будет одинаковой. Норма доходности определяется как отношение r₀/P_B, где - P_B рыночная цена облигаций. Это обстоятельство существенным образом влияет на процедуру выбора со стороны инвестора. Он должен с некоторой долей уверенности предсказать - как измениться норма процента по облигациям в предстоящем периоде. Если в течение того периода, что он хранит облигации на руках, на рынке появятся облигации, обещающие более высокую ставку процента, то рыночная цена хранимых им облигаций снизится. Это обесценение может превзойти по абсолютной величине купонную норму дохода r₀ и тогда всё богатство, хранимое в форме облигаций, уменьшится. Например, облигация номиналом в 1 рубль приносит годовой доход в размере 8 копеек, но к концу года на рынке появляются облигации, обещающие 10 копеек. Тогда m_В составит -12 копеек. Это означает, что каждый рубль, помещённый в облигацию в начале периода, обернётся потерей 12 копеек.[6] В таком случае деньги будут единственно приемлемой формой хранения богатства. Но если норма процента в будущем снизится или даже просто останется без изменений, то облигации станут более выгодной формой хранения богатства. Если норма процента не претерпит изменений, то доход по облигациям будет в точности равен r₀; если же норма процента вырастет, то положительное приращение богатства будет измеряться не только купонной нормой процента, но и увеличением рыночной цены самой облигации. В то же время неправильно было бы считать, что всякое повышение нормы процента дискредитирует облигацию как форму хранения богатства. Например, если норма процента выросла за период с 18 до 20 процентов, то облигация будет предпочтительной формой хранения богатства - каждый рубль, вложенный в облигацию, принесёт доход в размере 8 копеек. Предоставляем читателям самим провести соответствующие вычисления.

Таким образом, выбор инвестором оптимальной формы хранения богатства зависит от того, какая норма процента будет господствовать в конце периода хранения. Инвестор не может точно знать эту величину, он лишь предсказывает её с определенной степенью вероятности. Следовательно, доверяя богатство облигациям, человек неизбежно сталкивается с риском. Фактор риска неизбежно сопутствует богатству, хранящемуся в форме облигаций, даже если исключить вероятность неполучения обещанного дохода. Таким образом, параметры облигаций будут заданы как m > 0 и s > 0. Очевидно, что инвестор вовсе не обязан хранить всё своё богатство в какой-либо одной форме (в теории такой случай, когда в структуре богатства представлен только один актив, называют не диверсифицированным портфелем активов). Он может предпочесть любую структуру богатства, где деньги и облигации смешаны в произвольной пропорции.

Теперь проиллюстрируем нашу модель выбора оптимальной структуры портфеля. Мы выяснили, что инвестор оценивает актив по двум параметрам - доходу и риску. Введя в модель эти параметры мы получаем поле выбора (Рис.33). каждая точка на плоскости соответствует портфелю определенной структуры, т.е. набору из двух активов - денег и облигаций, - смешанных в некоторой пропорции. Точка О соответствует не диверсифицированному денежному портфелю. Это вытекает из свойств денег, определённых нами выше. Выберем портфель b и попытаемся найти портфели, которые приносили бы инвестору точно такую же полезность, что и выбранный нами портфель. Примем во внимание две гипотезы: во-первых, приращение дохода от портфеля приносит человеку положительную полезность (¶U/¶m > 0); во-вторых, приращение риска от портфеля приносит инвестору отрицательную полезность (¶U/¶s < 0). Вторую гипотезу иногда называют «отвращением к риску». Теперь понятно, что если некоторый портфель c, который обещает инвестору доход, превышающий по величине b, тем не менее приносит инвестору точно такую же полезность, что и портфель b, то этот портфель c обязательно будет связан с большим риском. Портфели, аналогичные портфелю c,будут располагаться на северо-восток от портфеля b. Напротив, портфели, приносящие меньший доход, расположатся на юго-запад от портфеля b. Если мы теперь объединим все портфели, приносящие инвестору одинаковую полезность, то получим кривую безразличия U_b. Выпуклость этой кривой на северо-запад свидетельствует о действии закона убывающей предельной полезности. Поскольку полезность дохода для инвестора уменьшается по мере увеличения размера этого дохода, постольку он согласится увеличить доход на одну денежную единицу лишь в том случае, если за неё придётся платить меньшую цену, выраженную в риске, чем при получении предыдущей единицы дохода.

h   f

На графике мы можем провести целое семейство кривых безразличия. При этом чем правее и ниже лежит кривая безразличия, тем большую полезность обеспечивают инвестору портфели, лежащие на ней. Объясняется это тем, что такие портфели либо приносят больший доход при прежнем риске, либо связаны с меньшим риском при получении прежнего по величине дохода, либо обладают преимуществом по обеим позициям.

Для определения портфеля, который сам инвестор будет считать оптимальным, достаточно построить бюджетную линию и совместить её с имеющейся картой безразличия. Нам известны все исходные параметры активов, входящих в оптимальный портфель - d_M, m_M, d_B, m_B. На этой основе легко определить ожидаемый доход от портфеля – величину m_W. Доход от портфеля равен средневзвешенному из доходов входящих в него активов.

(13) m_W = dm_B + (1 – d) m_M,

где d – доля облигаций в портфеле. Точно так же и риск от портфеля определяется как средневзвешенный из рисков входящих в него активов:

(14) d_W = dd_B + (1 – d) d_M.[7]

Зная, что в нашем случае риск неполучения дохода по деньгам равен нулю, получаем

(15) d = d_W/d_B.

Преобразовав уравнение (13) и подставив в него уравнение (14) в конце концов получим

(16) m_W = m_M + d_W/d_B (m_B - m_M).

Полученное уравнение представляет собой бюджетную линию, связывающую между собой доход от портфеля и его рискованность. Поскольку некоторые величины в данном уравнении заданы как постоянные, постольку мы можем переписать уравнение (16) в виде

(17) m_W = a + bd_W.

Очевидно, что бюджетная линия представляет собой прямую с положительным наклоном.

В начале данного параграфа мы предполагали, что доходность гарантированного актива М равна нулю. В формуле (16) параметр m_M присутствует, что равносильно его ненулевой величине. Действительно, вместо денег в модель в качестве гарантированного может быть введен другой актив, обладающий минимальной рискованностью среди рассматриваемых активов, но в то же время приносящий ему положительный доход. Например, таким активом могут служить государственные краткосрочные облигации, имеющие быстрый период погашения. Если в модель введен такой актив, приносящий положительный доход при рискованности, которую можно считать нулевой, то бюджетная линия сдвинется вправо от исходного положения параллельно самой себе. Оптимальным станет теперь новый портфель. Если раньше таким был портфель e, то теперь оптимальным становится портфель f. Преимущества нового оптимального портфеля очевидны – он приносит своему владельцу больший доход и при этом его хранение сопряжено с меньшим риском потери богатства. Преимущества эти объясняются исключительно появлением гарантированного актива, приносящего положительный доход. Ранее все портфели, лежащие на бюджетной линии Oe, были недоступны для инвестора.

Предположим, что в качестве гарантированного актива выступают деньги, имеющие нулевую доходность. Тогда бюджетное уравнение приобретёт вид

(18) m_W = (m_B/d_B) d_W.

Параметр (m_B/d_B) в формуле (18) называют ценой риска. Если на рынке появятся более доходные облигации, то параметр (m_B/d_B) возрастёт, то есть цена риска снизится. На графике это приведёт к тому, что бюджетная линия повернётся вокруг точки O по часовой стрелке. Возникнут более благоприятные перспективы выбора портфеля для инвесторов. В частности на графике оптимальным станет портфель h.

Как всегда при изменении ценовых параметров возникнет эффект дохода и эффект замещения. Воздействию эффекта дохода соответствует действие вектора ef, а эффекту замещения – вектор fh. Влияние эффекта дохода аналогично воздействию возросшей доходности от гарантированного актива (с 0 до m_H) при неизменной норме доходности облигаций. Как всегда, направление действия эффекта дохода неопределенно. Предположим, что доход по мнению инвестора всегда является полноценным благом. Но в отношении риска мнение инвесторов не столь однозначно. Большинство инвесторов, как показывает практика, считают риск неполноценным благом. Но нельзя исключить, что некоторые инвесторы предпочитают риск. В таком случае возросшая доходность облигаций приведет к тому, что в распоряжении инвесторов окажутся новые оптимальные портфели, имеющие не только более высокий доход, но и более высокий риск, чем прежние.

Вопросы для повторения

1. В процессе монетизации льгот в начале 2005 года в Российской Федерации большинство натуральных льгот было заменено денежными компенсациями. В частности, был отменён бесплатный проезд в общественном транспорте, взамен чего выплачивалась компенсация в размере 350 рублей. Впрочем, бывшие получатели льгот могли тут же приобрести проездной билет за 100 рублей и по нему бесплатно совершать поездки в течение месяца. Однако подобным правом воспользовались лишь 10% от общей численности граждан, имевших такую возможность. Объясните логику их выбора. Попробуйте построить график потребительской премии для данного случая. Каков приблизительный размер потребительской премии при поездке общественным транспортом для таких людей?

2. Почему кривые безразличия не пересекаются между собой?

3. Отражает ли наклон кривой безразличия характер предпочтения потребителя относительно потребляемых благ?

4. Почему потребители часто приобретают товарные наборы, которые не соответствуют их предпочтениям?

5. Как будет выглядеть кривая безразличия для товаров, являющихся совершенными конкурентами по отношению друг к другу? Как будет выглядеть кривая безразличия для благ – совершенных заменителей?

6. Предположим, что Вы идёте на день рождения к человеку, точные потребительские предпочтения которого Вам неизвестны. Какой подарок будет наиболее рациональным, если принимать в расчёт только экономическую сторону проблемы?

7. Для каких из товаров, перечисленных ниже, снижение цены, скорее всего, вызовет ощутимый эффект дохода:

а. Соль

б. Коммунальные услуги

в. Билеты в музей

г. Одежда

8. Материнский капитал получают всего один раз только те семьи, которые обзаводятся вторым, третьим или каждым последующим ребёнком. Почему под действие программы Материнского капитала не попадают те семьи, которые обзавелись первенцем?

[1] Некоторое время считалось, что возможно количественное измерение той полезности, которую благо приносит человеку, с этой целью даже пытались ввести специальную единицу измерения такой полезности – ютил (от английского utility –полезность). Однако вскоре стало ясно, что такое измерение недостоверно и, что самое главное, затрудняет анализ поведения потребителя.

[2] Строго говоря, необходимо принять еще одно предположение, согласно которому рыночная цена блага не зависит от объема его закупок со стороны данного покупателя. Это правило будут выполняться в том случае, если на рынке наблюдается совершенная конкуренция покупателей. Совершенная конкуренция среди покупателей означает, что все покупатели приобретают однородные блага и доля каждого в общем объеме покупок ничтожна. В противном случае покупатель, изменяя объем приобретения блага, начнет влиять на его рыночную цену. График предельных издержек в этом случае отклониться от горизонтали.

[3] Дюпюи Ж. О мере полезности гражданских сооружений – В кн.: «Теория потребительского поведения и спроса», сост. и общ. ред. Гальперин В.М. – Экономическая школа, Санкт-Петербург, 1993, С.48-49.

[4] Последнее правило работает только в том случае, если оба блага, являющиеся предметом выбора, приносят субъекту выбора положительную полезность.

[5] Дж. Р. Хикс Стоимость и капитал: Пер. с англ. – М.: Прогресс, 1993, С.133-136.

[6] Рыночная цена облигации номиналом в 1 рубль на конец периода исчисляется по формуле r₀/r₁, где - r₁ норма процента по облигациям на конец периода. Тогда величина приращения рыночной цены облигации g может быть исчислена по формуле

g = r₀/r₁ - 1,0.

Подставим это выражение в формулу (12). Получается, что облигация подешевела на 20 копеек, в то время как принесённый ею процент составляет лишь 8 копеек. Таким образом, в сумме рубль, инвестированный в облигацию, принёс потерю 12 копеек.

[7] Эта формула верна лишь в том случае, если активы, попадающие в портфель, абсолютно независимы друг от друга. Если же между активами существует хотя бы самая легкая степень зависимости, то в формулу должен быть введен коэффициент корреляции.