Глава 1. Математическое сомнение в логике. Пуанкаре

В сущности, я начал рассказ о рассуждении в логике с того, что высказал ей недоверие. Оговорюсь сразу: не всей. Пока не всей. Пока только той, что присвоила себе это имя одновременно с современной физиологической психологией, укравшей полтора века назад свое имя у науки о душе.

В каком-то смысле я не имею права высказывать свои сомнения и уж тем более — недоверие этой странной вещи, которая называется теперь символической логикой. Просто потому, что я ее не понимаю, а значит, и не знаю. Боюсь, именно по этой причине ее и пропустили в сообщество наук: никто из действительных логиков и философов просто не ощущал права ее не пускать — а вдруг будет уничтожено что-то ценное! Ведь они тоже не понимали и не знали это творение сноразума, прорвавшееся в наш мир, будто чужой дух.

В действительности, сомнения в символической логике и даже предупреждения об опасности звучали неоднократно и из уст очень видных ученых. Думаю, что первым его высказал еще в начале четырнадцатого века английский философ и логик Уильям Оккам. Высказал как предвидение или предчувствие. Возможно, потому, что сам делил логику «на логику терминов, логику высказываний и логику рассуждений » (Апполонов, с. XVI).

Но высказал не в своей «Логике», а сразу в нескольких философских работах как методологический принцип, то есть как основание, из которого должно вырастать точное рассуждение.

Принцип этот общеизвестен под именем «бритвы Оккама» и воспроизводится чаще всего как требование: не следует умножать сущности без надобности.

В действительности это знаменитое изречение или требование не встречается в тех подлинных сочинениях Оккама, которые нам известны. Оно сохранилось лишь в предании. В работах самого Оккама «бритва» звучит иначе. Но чтобы это звучание заиграло, я сначала расскажу о том, как сомневались в символической логике математики. В частности, такой прекрасный математик, как Анри Пуанкаре, умерший как раз в 1917 году, когда естественная наука начала свою кровавую революцию.

Пуанкаре был очень сильным математиком и физиком и даже разработал независимо от Эйнштейна основы специальной теории относительности с ее математическим обоснованием. Но Пуанкаре был не только ученым, он был еще и думающим человеком. Поэтому он писал философские работы, размышляя о роли науки. Одна из таких его работ вышла в России в 1910 году под названием «Наука и метод».

В ней очень много математики и о математике, то есть как раз о том, с чем сращивает себя современная логика. Как видите, Пуанкаре, как и Оккам, думает о методе, то есть о путях и способах движения науки к своим целям. И это необходимо отметить особо: метод — это путь и способ к цели. Следовательно, цель определяет его. Стоит подменить цель, и надо пересматривать метод. Стоит заметить, что в твоей науке поменялись способы, — и ты безошибочно вскрыл заговор: кто-то подменил цель!

Пуанкаре пишет главы о будущем математических наук. Значит, он размышляет о цели, к которой эти науки стремятся. И посреди битвы за чистоту математики, у него вдруг рождаются главы: «Математические науки и логика» и «Новые логики». Они вырастают из опасения, что преподавание математики в Европе к концу девятнадцатого века пришло в нездоровое состояние, которым он завершает предшествующую главу:

«Если вы мне теперь скажете, что методы, которые я пропагандирую, давно уже применяются в лицеях, я буду более обрадован, чем удивлен. Я знаю, что в общем у нас обучение математике поставлено удовлетворительно. Я не хочу, чтобы оно было нарушено, — это меня опечалило бы, — я желаю лишь медленных прогрессивных улучшений. Это обучение не должно подвергаться крутым колебаниям по капризу преходящей моды. Его высокая воспитательная ценность померкла бы в такой буре.

Здравая и прочная логика должна по-прежнему лежать в его основании. Определение, внушаемое при помощи примеров, всегда необходимо, но оно должно подготовить логическое определение, а не заменять его; оно должно, по крайней мере, выяснить желательность такого логического определения…» (Пуанкаре, с. 180).

Пуанкаре явно ратует за логику, он вообще — логик! Только вот настораживает требование, что в основе математического обучения должна лежать «здравая и прочная логика». Поскольку речь идет не о сумасшедших, а о способах обучения математике, то это звучит странно: а разве в науке, разве у ученых может быть какая-то иная логика?!

Пуанкаре объясняет свое опасение в следующей главе, начиная ее прямо с описания той задачи или беды, в которую попала математика к началу двадцатого века:

«Можно ли математику свести к логике, не обращаясь предварительно к тем принципам, которые ей, математике, свойственны?

Существует школа математиков, которая со всей страстью и верой в дело стремится доказать это. Она выработала специальный язык, в котором нет больше слов, а в котором имеются одни только знаки. Этот язык понятен только немногим посвященным, так что профаны склонны преклоняться перед категорическими утверждениями горячих адептов.

Не бесполезно, однако, ближе исследовать эти утверждения, чтобы убедиться, насколько оправдывается тот категорический тон, с которым они высказываются» (Пуанкаре, с. 182).

Знаки — это как раз то, с чего начинает свою «Логику» Оккам. Этот разговор нужен Оккаму, чтобы определиться с предметом логики. Логику он считает «наиболее подходящим инструментом, без которого не может быть познана в совершенстве ни одна наука » (Оккам, с. 3). Из последующих строк становится ясно, что

Оккам видит логику искусством рассуждения и доказательства.

Поэтому вполне оправданно в первой главе, посвященной терминам, появляется латинское слово «аргумент»:

«Все авторы сочинений по логике стремятся разъяснить, что аргументы состоят из высказываний, а высказывания из терминов.

Отсюда [ясно], что термин есть не что иное, как непосредственная часть высказывания. В самом деле, Аристотель, определяя термин, пишет в I книге Первых Аналитик: "Термином я называю то, на что расчленяется высказывание, утверждающее или отрицающее, что нечто есть, то есть предикат, и то, о чем он сказывается" » (Оккам, с. 3).

Это в переводе Апполонова и Гарнцева. В нашем академическом переводе Фохта это место из Аристотеля звучит так:

«Термином я называю то, на что распадается посылка, то есть то, что сказывается, и то, о чем оно сказывается, с присоединением [глагола] «быть» или "не быть"» (Аристотель, Первая аналитика, 24Ь, 15).

Если свести оба перевода в единое высказывание, то станет ясно, что речь идет о высказывании, которое используется как доказательство или довод в рассуждении, в котором спорящий доказывает свою правоту. Это высказывание состоит из неких смысловых единиц, хотя единицы эти, именуемые терминами, как далее поясняет Оккам, могут быть разной природы. Попросту, качественно различаются.

Но это пока не так уж существенно, существенно то, что для Оккама все это относится к речи, которую он вслед за Боэцием делит на три вида: письменную, устную и внутреннюю.

Как это звучит в переводе: «письменная, устная, ментальная (последняя существует только в уме) » (Оккам, с. 5). В действительности, в латинском оригинале нет ментальной речи, а стоит «соnсерtus», что значит, что Оккам говорит о понятиях или представлениях, образах воображения.

Это полностью согласуется с Аристотелем, если вспомнить, что его «Первые аналитики», так или иначе, вырастают из сочинения «Об истолковании», начинающегося с установления того, что такое высказывание и речь:

«Итак, то, что в звукосочетаниях, — это знаки представлений в душе, а письмена — знаки того, что в звукосочетаниях» (Аристотель, Об истолковании, 16а, 4).

Не буду пока вдаваться в то, что Аристотель и Оккам понимают под представлениями совсем не то же самое, что современные философия и психология. Кратко — это образ, который мы можем себе представить, хотя отнюдь не простейший образ чувственного восприятия, как это считается сейчас. Да это и очевидно, раз возможна замена представления на понятие, что недопустимо в современной философии. Как и очевидно, если понять, что на эти «представления» делится высказывание. Для современной философии высказывание может делиться на понятия, но никак не на представления.

Но это лишь уточнение понятия «термин», главное в ином:

«Термин, произносимый голосом, есть часть высказывания, произнесенного голосом и предназначенного быть услышанным телесным слухом. Ментальный термин есть интенция, или претерпевание, души, обозначающее или со-означающее нечто, по природе и предназначенное для того, чтобы быть частью высказывания, производимого в уме, и подразумевать то, что оно обозначает. <… >

Но когда я говорю, что слова суть подчиненные знаки понятий, или интенций, души, я не имею в виду, что слова в первую очередь и в собственном смысле слова являются знаками самих понятий души, если термин "знак "употребляется в собственном значении; напротив, [я хочу сказать], что [слова являются знаками понятий в силу того], что они налагаются для обозначения тех самых [объектов], которые обозначаются посредством понятий ума… » (Оккам, с. 5).

Не буду вдаваться в логические тонкости Оккама. Мне достаточно того, что для него слова — это знаки понятий, но еще важнее, что понятия — это «интенции», то есть некие движения ДУШИ!

Пока мы ведем рассуждение в словах, мы прямо и непосредственно передаем душевные движения. В этом существо того, что названо Божественной речью, Вяч или Логос! Именно этому и была посвящена Аристотелем наука о Логосе, то есть о Божественной речи — логика.

Вот почему Пуанкаре возмущается той школой «математиков», которая пытается лишить математику речи, то есть рассуждения, воплощенного в слове:

Она выработала специальный язык, в котором нет больше слов, а в котором имеются одни только знаки. Этот язык понятен только немногим посвященным, так что профаны склонны преклоняться перед категорическими утверждениями горячих адептов.

Кого он имеет в виду? Пуанкаре прямо называет имена Кантора и Гилберта. В частности, его как настоящего математика возмущает то, что Кантор ввел в математическое употребление «актуальную бесконечность» взамен использовавшегося математиками возможного бесконечного:

«Понятие бесконечности уже давно было введено в математику. Но это бесконечное было тем, что философы называют становлением. В математике бесконечное обозначало количество, способное расти выше или ниже какого бы то ни было предела; это было изменяющееся количество, о котором можно было сказать, что оно перейдет все пределы, но нельзя было сказать, что оно их перешло» (Пуанкаре, с. 183).

Что же так возмущает Пуанкаре? Для нематематика это совершенно непонятно. Но я попробую объяснить это примером из того же Аристотеля, объясняющего, что «то, что в звукосочетаниях, — это знаки представлений в душе»:

«Подобно тому как мысль то появляется в душе, не будучи истинной или ложной, то так, что она необходимо истинна или ложна, точно так же и в звукосочетаниях, ибо истинное и ложное имеются при связывании и разъединении.

Имена же и глаголы сами по себе подобны мысли без связывания или разъединения, например «человек» или «белое»; когда ничего не прибавляется, нет ни ложного, ни истинного, хотя они и обозначают что-то; ведь и «козлоолень» что-то обозначает, но еще не истинно и не ложно, когда не прибавлен [глагол] «быть» или "не быть" — либо вообще, либо касательно времени» (Аристотель, Об истолковании, 16а, 10–18).

Никаких козлооленей нет, как нет и бесконечности для математики. Бесконечность — чисто психологическое понятие. Поэтому математик может позволить себе либо говорить слово «бесконечность», либо работать с бесконечностями становления, попросту, со множествами, которые растут, — то есть с действительными вещами, которые могут встретиться в жизни. Бесконечность как действительное математическое понятие — это козлоолень. Ее нет и математически не может быть.

Но ее можно вообразить и даже придумать игры, в которых она будет бить все карты, как джокер. И придумали!.. И даже создали целый математический метод…

«Этот метод, очевидно, противоречит всякой здоровой психологии. Конечно, не этим путем шел человеческий ум, создавая математику; и адепты нового метода, я полагаю, не думают ввести его на ступени среднего образования. Но, по крайней мере, логичен ли этот метод или, лучше сказать, безошибочен ли он? В этом можно усомниться.

Однако, геометры, пользовавшиеся этим методом, очень многочисленны. Они собрали массу формул. Написав мемуары, в которых формулы не чередовались с словесными объяснениями, — как это делается в обыкновенных математических книгах, — а в которых, следовательно, такие объяснения совершенно отсутствуют, они вообразили, что освободились от всего того, что не представляет собой чистой логики» (Пуанкаре, с. 184–185).

Как видите, наиболее возмутительно в работах этой школы именно то, что, убивая логику вместе с ее основой логосом — речью, — они присваивают себе право говорить от имени логики.

Как современные психологи — от имени психологии.

Именно поэтому Пуанкаре и говорит о здоровой психологии, то есть о науке о душе. Эта «логика» не может быть местом для жизни души, она предназначена лишь для жизни психики. Это какая-то болезнь, вроде раковой опухоли, которую никак нельзя изгнать из тела науки, — начиная с математики и кончая философией. Болезнь заразная и быстро приспосабливающаяся ко всем защитам и лекарствам. Это отчетливо звучит в словах Пуанкаре:

«Настало время для справедливой оценки этих преувеличений.

Я не надеюсь убедить упомянутых математиков: слишком долго дышали они своей атмосферой. Да и кроме того, если вы опровергли одно из их доказательств, вы можете быть уверены, что оно возродится лишь в слегка измененном виде.

Некоторые из доказательств уже несколько раз возрождались из пепла, наподобие той лернейской гидры, у которой вырастали новые головы. Геркулес выпутался из затруднения, потому что его гидра имела девять голов, если не одиннадцать; но здесь слишком много голов: они имеются в Англии, в Германии, в Италии, во Франции, и Геркулес должен был бы отказаться от состязания.

Я обращаюсь поэтому только к непредубежденным людям со здравым смыслом» (Пуанкаре, с. 185–186).

Очевидно, в этом кошмарном чудовище из снов разума, в этой химере — козе с головой льва есть, как в каждом из демонов, воплощающихся в наш мир с нашей помощью, какое-то чудовищное искушение и соблазн. Эта сущность пожирает души и разрушает миры. Но она всегда будет обеспечена пищей и служителями, которые надеются получить свои блага от близости к ногам повелителя. Сущность эта лишняя в мире людей и определенно из тех, которые не следует умножать без необходимости. Но ее творят и умножают…

Самое любопытное, что семь веков назад Оккам, создавая свою «бритву», творил оружие именно против этого врага человечества. Действительное изречение звучит поразительно точно, будто он предвидел игры псевдологиков в псевдоматематику множеств и бесконечностей:

«Множественность не следует допускать без необходимости».