От каждого утверждения ведет бесконечное количество логически правильных путей в самые разные стороны. Логика не дает ответа, какой из них нужно выбрать, чтобы прийти к нужному утверждению.

Сам Адамар рассуждал так.

Утверждение «количество простых чисел бесконечно» означает, что каково бы ни было просто число n, существуют простые числа, большие n. Докажем это.

Возьмем любое простое число n. Составим произведение всех простых чисел от 1 до n, обозначив его N:

N = 2*3*5*….*n.

Рассмотрим число N+1. Очевидно, оно не может без остатка делится ни на одно из простых чисел от 2 до n. Например, оно не может без остатка делиться на 2, т. к. (N+1)/2 = N/2 + ½, а N/2 – целое число (равное 3*5*….*n). По тем же причинам N+1 не может без остатка делиться на 3, и т. д. вплоть до n.

Итак, N+1 не может без остатка делиться ни на одно из простых чисел 2, 3, 5… n. Это значит, что либо число N+1 простое, либо есть простые числа, большие n, на которые оно делится. В том и в другом случае получается, что существуют простые числа, большие n.

Итак, каково бы ни было простое число n, существуют простые числа, большие n. Значит, самого большого простого числа нет, и количество простых чисел бесконечно.

Идти нужно было сюда. Рассмотреть произвольное простое число n. Составить произведение всех простых чисел от 2 до n. Прибавить к произведению единицу. И доказать, что получившаяся сумма N+1 не может делиться без остатка ни на одно из простых чисел от 2 до n.

Как нужно было догадаться об этом? Интуитивно. Разумеется, интуитивно, других способов нет.

Логика – это цензор, проверяющий готовые рассуждения на допустимость. Сами рассуждения должны быть подсказаны интуицией.

Проследить вышеприведенный процесс доказательства и убедиться в его логичности сможет и школьник. Доказать эту теорему смог только Адамар. В математике, как и в искусстве, нужен талант. Поэту – для того, чтобы найти то самое нужное слово. Математику – для того, чтобы найти тот самый нужный путь от известных посылок к желанному выводу – путь, который пройдет логического цензора.

Это так не только в математике. Это так везде, где требуется рассуждать. Человек, лишенный интуитивного предвидения, никогда не сделает сколько-нибудь нетривиального вывода. Человек, лишенный логического цензора – вернее, не умеющий или не желающий его применять – неизбежно скатится в шарлатанство. Такими шарлатанами полнится РАЕН и прочие самозваные академии. Часть из них психически больны и действительно лишены логического мышления. В психиатрии это называется бредом изобретательства. Другая часть просто зарабатывает деньги на чужом невежестве.

Желаем читателю не уподобляться ни тем, ни другим.

Как нас обманывают и как мы обманываем себя

Мы рассмотрели три глобальных мифа о логике, проистекающих из непонимания самой ее сути. Кроме них, существуют еще адовы орды «мелких ошибок, могущих иметь крупные последствия». Одна из особенностей логики – в ней не бывает мелочей. Одна-единственная ошибка опрокидывает всю систему рассуждений. Не претендуя на охват всех адовых орд, укажем хотя бы несколько самых распространенных ошибок.

Подмена смысла

Один человек однажды сказал автору:

- «Логика – это фигня, по сути. Хочешь, я докажу тебе, что женщина – это мужчина?»

- «Ну, давай».

- «Женщина – человек. Значит, молодая женщина – молодой человек. Но молодой человек – это мужчина. Значит, женщина – это мужчина».

Самое печальное, что этот человек искренне считал, будто он доказал, что женщина – это мужчина, а заодно и несостоятельность логики. Еще печальнее, что это был студент физического факультета – человек, которому по специальности положено уметь мыслить логично.

Здесь, конечно, преднамеренно подменяется смысл выражения «молодой человек». Сначала оно означает буквально человека, который молод, а потом используется в смысле «парень», «юноша», как это принято у нас в быту. Подобные игры со смыслами были известны еще двадцать пять веков назад и назывались софизмами. Разумеется, они доказывают не несостоятельность логики, а лишь то, что термин в рассуждении нужно везде употреблять в одном и том же смысле, иначе получается ад, разврат и мракобесие.

Уважение к терминам! Как часто этого не хватает. В последние годы в гуманитарной среде стал популярен «синергетический подход», заключающийся в основном в заимствовании терминов – «фрактальность», «(не)линейность», «аттрактор» и т. п. К огромному сожалению, господа гуманитарии в большинстве своем не удосужились выяснить, что эти термины означают. На робкие попытки объяснить, что линейность и аттрактор это вовсе не то, что они думают, они отрезают: «Я понимаю этот термин так!». Спору нет, можно назвать попугая собакой породы такса и сказать, что это твоя оригинальная терминология. Чего после этого нельзя, так это открыть справочник по кинологии и выяснить там что-нибудь про своего попугая. Потому что попугай, названный таксой, не станет длинным четвероногим с трогательными ушами от «оригинальной терминологии». Смысл переноса синергетических понятий в гуманитарные области в том, чтобы применить там знание, добытое в синергетике (а оно действительно междисциплинарно). Но для этого таксой нужно называть таксу, линейностью – линейность, а знание о попугае искать в книгах по орнитологии. Хотя, быть может, смысл в том, чтобы показать самим себе, какие мы современные и междисциплинарные?..

Подмена смысла, пожалуй, из всех логических ошибок встречается чаще всего, причем не всегда понятно, имеешь ты дело с преднамеренным навешиванием лапши или собеседник действительно так думает. Вот пример с необъятных просторов Интернета (сокращен без ущерба для содержания):

«США – демократическое государство?!!! Это вот они, заливавшие Вьетнам напалмом и засыпавшие отравой, закидывающие в Ираке детей кассетными бомбами – демократия?!! Да никакой Саддам Хусейн столько не убил! Это что за демократия такая?!!!...»

Демократия, мальчики и девочки – это когда высшие органы власти в государстве избираются гражданами этого государства на основе всеобщего равного избирательного права. Может быть, нужно что-нибудь добавить про свободу слова, собраний и т. п. – опять же, для граждан этого государства. И это все. Если избиратели по неосведомленности, эгоизму или общему слабоумию голосуют за правителей, закидывающих детей кассетными бомбами – демократия будет закидывать детей кассетными бомбами. Понятия «демократия» и «справедливое, чудесное, гуманное общество» – абсолютно разные понятия, как бы кое-кто ни пытался убедить нас в обратном. Справедливости ради отметим, что подмену смысла используют и сами США, призывая страны вступать в НАТО «ради демократизации». При этом умалчивается как о том, что же нужно демократизировать в странах, где и без того демократический строй (возможно, при паршивом качестве жизни, но «демократия» и «сытость» – вещи, опять-таки, разные), так и о том, с каких пор вступление в военный блок влечет за собой демократизацию строя.

Следите за смыслом слов, которыми пользуетесь. Уважайте себя. Не морочьте головы другим. Снимайте лапшу с ушей. Не позволяйте себя обманывать.

Ложные аналогии

Еще один прелестный прием неумелой дискуссии или умелой пропаганды. «Аналогии» проводятся между понятиями, не имеющими ничего общего. «Экономика может быть либо рыночной, либо плановой! Нельзя быть чуть-чуть беременной!» И ни слова о том, какая связь у экономики с беременностью. При эмпирическом факте, что чисто рыночной экономики нет нигде, а чисто плановая недавно у нас была и очень печально закончилась. Ложные аналогии относятся к разряду ассоциаций. Мыслить ассоциациями, как и эмоциями, куда менее энергозатратно, чем логическими заключениями. А человеческая психика, как и практически все остальное в этом мире, любит катиться по пути минимальных энергозатрат. Это очень легко наблюдается в разговоре не приученных к логике людей, и этим же пользуется пропаганда. Если Вы позволяете ей.

Индукция и селекция

Рассуждения вида «от общего к частному» называется дедуктивным. Хрестоматийный (и не слишком-то веселый) пример такого рассуждения: «Все люди смертны. Я – человек. Следовательно, я смертен». Дедуктивным же называется и рассуждение вида «от общего к общему». Пример: «Все рыбы безноги. Никакое безногое существо не может танцевать буги-вуги. Следовательно, ни одна рыба никогда не плясала буги».

С помощью дедуктивных рассуждений можно что-либо доказать – и, как мы увидим ниже, практически только с помощью дедуктивных. Но, кроме них, существует и еще один вид рассуждений, который весьма часто встречается на практике. Это рассуждения вида «от частного к общему», когда характеристики нескольких представителей некого класса приписываются всему классу в целом. Такие рассуждения называются индуктивными. «Я – человек, и я смертен. Ты – человек, и ты смертен. Даже начальник Марь Иванна, скорее всего, человек, и – подумать страшно! – она тоже смертна. Следовательно, все люди смертны».

Убедительно? А что Вы скажете о таком рассуждении: «Пингвин – птица, и он не умеет летать. Страус – птица, и он не умеет летать. Следовательно, ни одна птица не умеет летать».

Очевидный абсурд? Но ведь по структуре это рассуждение ничем не отличается от предыдущего – о смертности людей! Тем не менее, для особо въедливого читателя приведем пример абсурда неочевидного:

«Гранит – горная порода, и он тонет в воде. Базальт – горная порода, и он тонет в воде. Песок – горная порода, и он тонет в воде. Следовательно, любая горная порода тонет в воде».

В этом рассуждении могло быть перечислено не три горные породы, которые тонут в воде, а триста. И, тем не менее, вывод получается ложный. Ибо есть как минимум одна горная порода, которая в воде не тонет – это пемза, пена на вулканической лаве, которой многие из нас регулярно оттирают в ванной пятки и потому могут воочию убедиться в ее непотопляемости. Точно так же ложен вывод о плавучести всех пород дерева на основании плавучести березы, ольхи, тополя и тысяч других пород – ибо железное дерево таки тонет. Или можно вывернуть наизнанку вышеприведенное рассуждение о птицах, и, перелопатив многотомный орнитологический справочник, с умным видом заключить, что все птицы летают – если повезет не наткнуться на статьи о пингвинах, страусах, киви и прочих бегающих и плавающих пернатых.

Чтобы доказать на конкретных примерах справедливость какого-либо утверждения для всех представителей данного класса, нужно и перечислить всех представителей данного класса. Иначе всегда останется опасность, что где-то существуют пингвин, пемза и железное дерево. Индукция по не всем представителям класса бездоказательна. А поскольку всех представителей класса реально перечислить разве что для третьего класса «Б» первой школы города Урюпинска, но никак не для класса «птица», «женщина» или даже «президент России» (если иметь в виду, что, помимо бывших и действующих президентов, с Россией случатся еще и будущие) – то индукция бездоказательна практически всегда.

Но позвольте! Ведь даже ученые – умнейшая (по крайней мере, по их собственному мнению) часть человечества – используют индукцию сплошь да рядом! Разве не результатом индукции является любой открытый закон, любой вывод из научного эксперимента? «Два тела[5] притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними» – разве кто-нибудь проверял этот закон для тел всех возможных масс на всех возможных расстояниях? Разумеется, нет. Значит, и эта индукция бездоказательна?

Совершенно верно. Именно поэтому экспериментаторы предпочитают говорить не о доказательстве, а об экспериментальном подтверждении гипотезы, а более педантичные и въедливые – о моделях, не противоречащих известным экспериментальным фактам. Над каждой из них – даже над такими, как «закон всемирного тяготения», «закон сохранения энергии» и прочими солидными до фетишизации моделями – висит дамоклов меч будущих экспериментов, в которых они, в принципе, могут не подтвердиться. Более того, лучшим на сегодняшний день критерием научности является критерий Карла Поппера, который требует, чтобы существовал эксперимент, который опровергнет модель, если она неверна. Таким образом Поппер предлагает отличать научные модели от ненаучных. Действительно, если в каком-либо эксперименте точные измерения энергии покажут, что она делась неизвестно куда или появилась неизвестно откуда – нам придется признать, что закон сохранения энергии не выполняется[6]. Но никакой эксперимент не сможет опровергнуть модель «без воли Божьей ничего на Земле не делается», ибо нет способа доподлинно выяснить, в чем же в данном конкретном случае состояла Божья воля.

Итак, всякая индукция, которая делает вывод обо всех членах класса на основании свойств не всех его членов, бездоказательна. Важно понимать это. Но что же делать, если без индукции не обойтись? Каким правилам должно удовлетворять перечисление членов класса, чтобы индукция имела больше шансов на успех, чем «метод научного тыка»?

Напрашивается ответ: «Чем больше членов, тем лучше!». Так, да не так.

Допустим, изучая предвыборную ситуацию в России, мы опросили всех зарегистрированных жителей Москвы (одиннадцать с половиной миллионов человек, между прочим), а наши оппоненты – обратились во ВЦИОМ и получили ответы чахлой тысячи человек (обычный объем социологического опроса) по всей России. Чей прогноз будет точнее?

ВЦИОМ.

Ибо мы опрашивали только москвичей – жителей «государства в государстве» («Я не знаю, как у вас в Москве, а у нас в России…») с ни на что в России не похожими ценами, зарплатами, возможностями и проблемами. Таким путем мы можем с высокой точностью предсказать результаты выборов по Москве, но при попытке распространить результаты на всю Россию мы окажемся в ситуации известного анекдота: «Интернетом пользуются 100% россиян. Таков результат опроса, проведенного в Интернете». Напротив, профессионалы из ВЦИОМ проведут опрос самых разных по месту жительства, возрасту, образованию, уровню доходов и другим характеристикам людей, единственным объединяющим признаком которых является обладание избирательным правом – и получат адекватный прогноз!

Подобное искажение результатов эксперимента его неверной постановкой называется эффектом селекции. Помимо вышеописанного анекдота, селекция хорошо отражается формулой: «Дельфины толкают утопающих к берегу. Так утверждают все, кто спасся. Но, может быть, те, кого дельфины толкали от берега, просто не могут ничего утверждать».

Любое перечисление элементов некоторого класса (класса «дети», класса «деревья», класса «не заснувшие еще от скуки читатели данного текста»), охватывающее не весь класс, в статистике называется выборкой. Выборка, свободная от эффекта селекции, называется репрезентативной. Индукция даже по репрезентативной выборке не является доказательством, ибо не избавляет от призрака пингвина и железного дерева. Но она хотя бы демонстрирует статистические свойства класса: кого в нем большинство, кого меньшинство, а кого и вовсе нет в пределах статистической погрешности. Мы не узнаем по ней, есть ли нелетающие птицы – ибо в пределах статистической погрешности их «нет» – но абсолютно точно сможем утверждать, что подавляющее большинство птиц летает. Это уже немало, если вспомнить, куда нас завела индукция по пингвину и страусу.

Как же составить репрезентативную выборку? Наука статистика дает абсолютно четкий ответ на этот вопрос: выборку членов класса нужно составлять так, чтобы все члены класса имел равные шансы в нее попасть. Тогда, и только тогда, выборка будет репрезентативной. Именно этот принцип используется при социологических опросах. Правда, чтобы его реализовать, требуются довольно сложные алгоритмы. Например, нельзя просто заложить в лотерейный барабан названия всех населенных пунктов России и выбрать из них тысячу наугад. Мелких населенных пунктов куда больше, чем крупных – в России всего тринадцать городов-миллионников и без счета деревень Малые Смердюки с населением в полтора человека. Поэтому в тысяче случайно выбранных НП с огромной вероятностью будут преобладать Малые Смердюки, со всеми характерными особенностями проживающего там населения. То есть опять-таки получается эффект селекции. Но даже если Вы справились (что без специальной подготовки, простите, сомнительно) с составлением репрезентативной выборки, есть еще одна неприятная новость: объем выборки должен быть достаточным, чтобы более или менее заработали законы статистики – то есть не менее нескольких сотен членов.

Особо въедливый читатель может заметить, что гарантировать репрезентативность выборки порой так же невозможно, как и просто включить в исследование всех представителей класса. Как, например, поставить эксперимент по определению электропроводности меди так, чтобы в него с равными шансами мог попасть любой кусок меди во Вселенной? Ясно, что это невозможно. Поэтому эффект селекции в нашем исследовании есть: мы точно не исследуем медь медных топоров энеолита, рудников Чили и еще никем не добытую медь, да и вообще, скорее всего, исследуем куски меди с одного и того же металлургического комбината. Гарантировать репрезентативность выборки ее случайностью невозможно.

Тогда нужно попытаться обеспечить репрезентативность «вручную»: отбросить наверняка несущественные факторы и проварьировать те, которые могут оказаться существенными. В частности, если медь хорошо химически очищена, вероятно, все равно, где и когда она добыта[7]. Зато температура вполне может повлиять (и действительно влияет) на электропроводность, поэтому ее имеет смысл проварьировать. Определить, какой фактор может оказаться существенным, а какой нет – это, конечно, задача без готовых алгоритмов решения (недаром говорят об искусстве эксперимента). Но в естественных науках человечество с ней, в целом, справляется – недаром множество экспериментально открытых еще два-три столетия назад законов по сей день исправно служат нам в каждом механизме.

А вот человек – система куда более чувствительная к внешним факторам, нежели кусок меди. Опасность эффекта селекции, как дамоклов меч, висит над результатами гуманитарного знания. Какие факторы следует отбросить, признать несущественными? На психологическое состояние человека, например, влияет даже цвет, в который окрашены стены. Тем более влияет воспитание, окружение, достаток и так далее. Поэтому, если мы имеем психологическое исследование учеников школы № 229 г. Москвы, априори можно утверждать лишь, что оно отражает свойства учеников школы № 229 г. Москвы. Утверждение, что те же свойства будут характерны для любых детей этого же возраста, что на исследуемые свойства не влияет социальная и культурная среда, разная в Москве, Грозном и упомянутой деревне Малые Смердюки – это дополнительная и достаточно смелая гипотеза. Именно гипотеза, предположение, которое запросто может оказаться неверным, особенно если основано оно только на желании упростить эксперимент. Важно понимать это.

Хорошо. Но мы с Вами не физики и не социологи – какое отношение вся эта статистическая премудрость имеет к нам?

Ну как же. Разве Вам не знакомы такие вот рассуждения: «Ой, все мужики – козлы! Мой пьет, гуляет, Анькин пьет, гуляет, и у Машки не лучше – в общем, все они козлы, не верю я в порядочных». Вот так. На основании трех примеров заклеймили половину человечества. А между прочим, невооруженным глазом видна не только крайняя ограниченность выборки, но и ее селективность. Ибо рассказчицу, Аньку и Машку наверняка – не зря же они подруги! – объединяет многое. В частности, умение разбираться в людях (видели, за кого замуж выходили?) и, вероятно, уровень интеллекта в целом. Чтобы не быть заподозренными в женоненавистничестве, приведем симметричный пример. Один из знакомых автора глубоко убежден, что любой женщине, чтобы отдаться мужчине, достаточно его хорошей физической формы и толстого кошелька. К такому убеждению он пришел, исходя из личного опыта. Он тоже упорно не замечает, что его выборка селективна по построению – ибо женщины, которым требуется хоть что-то еще, обходят его за полкилометра. Это можно утверждать с уверенностью хотя бы потому, что сей знаток женской натуры хвастался, что начинает знакомство фразой: «Девушка, а позвоночник нужен, чтобы голова в трусы не падала?» – и не без некоторой снисходительности рекомендовал давящемуся хохотом автору поступать так же.

Конечно, примеры из рубрики «нарочно не придумаешь» вызывают лишь усмешку. Но, делая выводы типа «любой человек…», «любой мужчина…», «любая женщина…» на основании личного опыта, стоит помнить, что все наши выборки селективны. Наш круг общения – это уже мощнейший фактор селекции, ибо в него попадают люди определенного сорта. У молодого ученого нечасто встретишь в друзьях безграмотного зэка, а подросток едва ли когда-либо говорил по душам хоть с одним человеком старше шестидесяти. И даже если Вы в равной мере общаетесь с людьми всех возрастов, вкусов, взглядов, образовательных уровней, интеллекта и социального положения (что само по себе фантастика), круг Вашего общения селективен, как минимум, по географическому признаку: если Вас не помотало как следует по стране, то он ограничен городом, в котором Вы живете[8]. Конечно, нельзя априори утверждать, что жители Курска существенно отличаются от жителей Владимира, но и обратного тоже нельзя утверждать априори (во всяком случае, в одних городах существует традиция цивилизованной очереди в маршрутку, а в других берут ее штурмом; да и девушки на улицах, как утверждают очевидцы, одеваются по-разному). Если с людьми из других городов и весей Вы общаетесь в Сети, то это новая селекция: из «иногородних» в Ваш круг общения попадают только те, кто общается с людьми в Интернете – а даже доступ к Сети, по данным Википедии, до сих пор имеют лишь 23% населения России. И даже если бы Вы обошли все эффекты селекции – есть ли в Вашей выборке тот minimum minimorum в несколько сотен человек, что позволяет говорить о статистике?

Это, разумеется, не означает автоматически, что все Ваши потом, кровью и набитыми шишками приобретенные знания о жизни не стоят выеденного яйца. Где-то, возможно, вы действительно наткнулись на универсальный закон, на который не влияют никакие эффекты селекции. А где-то, где не хватило бы данных для формальных процедур, вы сделали верный вывод с помощью своей интуиции. Пользоваться своим жизненным опытом надо – не в последнюю очередь потому, что пользоваться, в сущности, больше нечем. Не у противоречащих же друг другу (а подчас логике, здравому смыслу и самим себе) «властителей дум» и «инженеров человеческих душ» искать ответы на свои вопросы (и чем, кстати, их – столь же селективный, да еще и в реалиях столетней давности – опыт лучше Вашего?). И спасительная логика, о которой столько здесь говорилось, для верного вывода нуждается, как было отмечено в начале статьи, в верной посылке. Откуда же взять эту посылку, если не из опыта?

Но нужно знать, что Ваш опыт ограничен. Что выборки селективны – и, значит, скорее всего существуют огромные массы людей, которые думают и чувствуют совсем не так, как те, с кем Вы уже сталкивались. Что Ваши выборки слишком малы для статистики, если только Вы (ответьте себе честно на этот вопрос) действительно не общались с сотнями людей – а значит, будьте готовы к тому, что некоторым Вашим выводам цена окажется пятак в базарный день. Что даже располагая наикорректнейшими выборками и выводами, Вы можете нос к носу столкнуться с чудом вроде тонущего дерева и нелетающей птицы [9]. Даже мир людей, не говоря уже о Мире в целом, слишком огромен и разнообразен, чтобы опыт одного человека мог охватить его. Каждый встреченный Вами человек может напрочь вывалиться из рамок Вашего опыта, обрушить на Вас нечто новое и небывалое. Помните об этом – и, возможно, Вам будет несколько легче жить.

Во всяком случае, интереснее.