Наше теоретическое мышление – конечно

а) Теория – конструирование из определений

Обратимся теперь к другому роду деятельности – математике. Здесь также обучение – необходимое условие практической работы в этой области. Деятельность математика похожа на предыдущую, но конструирование ведется не из чувственно данных предметов, а из мыслей, взятых в форме определений. Основная технология – доказательство. Аксиомы – непосредственное, начало, но такое начало, которое в скрытом виде содержит в себе будущее богатство теории. Это богатство выявляется, становится действительным, посредством формирования определений и доказательств.

б) Теория – конструирование из конечных определений

В самих аксиомах не содержатся будущие определения объектов теории или идеи доказательств. Аксиоматическая теория – результат работы мышления, интуиции, длительного поиска, проб и ошибок. Сейчас нам здесь важно то, что определения, имеющиеся в теории, отражают конечные объекты, понятия содержат в себе конечное число свойств с конечным числом отношений между ними. Бесконечность в математике также имеет в своем определении своеобразное ограничение. Вне и наряду с этим бесконечным существуют различные отображения, конечные множества и т.п. Это не то бесконечное, вне которого ничего нет – ни бытия, ни небытия, ни пространства, ни времени, ни конечного, ни бесконечного. Математическое бесконечное существует вне конечного, и в этом конечном оно находит свое другое, границу, предел, тем самым оно оказывается оконеченным, ограниченным, определенным, т.е. также конечным бесконечным.

Итак, математика – мышление в конечных понятиях, логическое конструирование конечных объектов из конечных определений. Логика, формальная логика, в большинстве случаев позволяет контролировать истинность процесса и результата конструирования.

Понятие в математике должно быть тем же, что деталь в механизме – некоторым конкретным конечным.

в) Теория в конечных понятиях может быть непротиворечивой

Очевидно (или почти очевидно), что при работе с конечными понятиями (как и с конечными механическими деталями) мышление имеет возможность не допускать в них противоречия. Нельзя, чтобы одно и то же в одно и то же время в одном и том же отношении было бы чем-то и не чем-то, А и не-А. Нельзя, чтобы, скажем, деталь механизма покоилась бы относительно другой детали и в то же время двигалась бы относительно нее. Если конечное понятие противоречиво, его можно – и нужно! – разложить на его противоположные моменты, определения, дать им особенные имена и дальше мыслить их в отдельности друг от друга.

г) Существуют и бесконечные понятия

Конечно, математики прекрасно осведомлены, что есть и другие понятия, которые, подобно магниту, как ни дели, остаются противоречивыми в себе. Такие понятия к рассмотрению в математике не допускаются. Это не значит, что их вообще не рассматривают, это значит лишь то, что их рассмотрение лежит – и должно лежать – вне математики. Сокрушительные результаты Геделя – следствие попытки метаматематики оконечить бесконечное ради сохранения старой логики, в целях ухода от парадоксов типа Кантора и Рассела.

д) Содержание конечного понятия постоянно

Математическое мышление оперирует конечными, изолированными друг от друга, понятиями, удерживает их в этой изолированности, придает им различную форму, различные определения, ищет в этом различии формы тождественное содержание и двигается в нем. Законы этого движения тождества содержания в его формальных различиях являются законами формальной логики. Например, если А есть В, а В есть С, то А есть С – это логический закон. Если окажется, что А есть 3/2, В есть 1.5, а С есть «полтора», и если удается установить, что 3/2 – это 1.5, а 1.5 – это «полтора», то мы вправе с точки зрения этой логики, заключить, что 3/2 – то же самое, что и «полтора».

е) Изоляция понятий – цена за постоянство содержания

Но снова отметим, что существенно, крайне существенно, чтобы содержание этих понятий было конечным, неподвижным, внутренне непротиворечивым. Неподвижным же оно будет тогда, когда другие содержания на него не действуют, не меняют его, т.е. тогда, когда рассматриваемые содержания изолированы друг от друга, а так как события происходят в мышлении – изолированы в мышлении. Это не значит, что мы не можем использовать понятия движения, изменения и т.п. Это значит, что даже в этих понятиях мы должны оставить только внутренне непротиворечивое содержание, брать их лишь в их тождестве с собой, абстрагироваться от их внутренней, имманентной противоречивости (если таковая, конечно, имеет место быть).

ж) Формальное мышление работает с переменной формой понятия при постоянном его содержании

Математическое мышление – мышление, работающее с различными формами понятий, оставляющее содержание последних неизменным. Это – формальное мышление. С точки зрения содержания его закон – закон тождества: А есть А. С точки зрения же формы – это вполне нормальный закон всяческого человеческого мышления: А есть В, Нечто есть Другое. Мы редко произносим что-либо вроде «Береза есть береза», гораздо чаще – «Береза есть дерево», «Дерево есть растение», следовательно, «Береза есть растение». Математика вычисляет под многими единичными признаками конечных объектов их особенное, общее им содержание и движется в нем.

з) Мы еще только осваиваем формальное мышление

Самое главное, что интересует нас здесь – это то, что такой способ мышления присущ нам в большей или, чаще, меньшей мере. В математике он обнаруживает себя в наиболее чистом и последовательном виде. В быту же мы мыслим, в принципе, также, но, конечно, гораздо грязнее и непоследовательнее, часто же вообще никак не мыслим. Распространенность такого образа мысли объясняется, прежде всего, его практической полезностью. Мы встречаем внешние предметы как единичные, изолированные (хотя бы в возможности), даем им имена, оперируем ими непосредственно, а затем – и их заместителями, именами – в мышлении. Это – форма мышления материальной, природной части человека, той части, что роднит нас с животными и противостоит собственно человеческому, социальному, духовному. В вопросах изучения нравственности, души, познания, Духа такое мышление получает, как правило, весьма скромные результаты.