Принцип дифференциации и математические способности школьников

Структурный подход к пониманию природы математических способностей был в свое время намечен К. Дункером и естественным образом вытекал из общих теоретических позиций гештальтпсихологии.

Анализируя ход процессов решения математических задач, Дункер пришел к выводу, что нахождение решения всегда связано с переконструированием проблемной ситуации. Необходимость этого определяется тем, что исходные данные должны быть рассмотрены под углом зрения поставленного вопроса, под углом зрения требуемого, т. е. сложиться в некоторую систему, отличную от непосредственно данной в задаче. Отсюда естественен вывод, что индивидуальные различия в способности к математике должны быть связаны прежде всего со способностью к переконструированию элементов проблемной ситуации. «Очень вероятно, — писал он, — что глубочайшие различия между людьми в том, что называют... «умственной одаренностью» имеют свою основу в большей или меньшей легкости таких переконструирований» (К. Дункер, 1965, с. 131). Но сама легкость или трудность преобразований имеет под собой, по мнению Дункера, более глубокую основу и коренится в большей или меньшей степени дифференцированности и расчлененности психических структур и процессов, включенных в решение математических задач. Во-первых, математические образы могут быть более богатыми или более бедными в отношении тех аспектов ситуации, которые человек может сразу обозреть одним взглядом без длительной работы «распутывания». «У «нематематика» математический образ беден аспектами» (там же, с. 147). Во-вторых, существуют большие индивидуальные различия в способности абстрагироваться от отдельных перцептивных свойств ситуации, что необходимо, чтобы обнаружить ее общие существенные отношения. В-третьих, плохой математик отличается от хорошего тем, что «не может легко осуществлять преобразование, потому, что мыслимое им содержание является относительно неподвижным, жестким и поэтому с трудом поддающимся перестройке» (там же, с. 231). Все три обстоятельства, отмеченные Дункером, указывают на слабую дифференцированность тех структур и содержаний, которыми оперируют не способные и мало способные к математике люди при решении математических задач: в них мало различных аспектов, существенные отношения тесно слиты с несущественными перцептивными впечатлениями, а их «неподвижность» и

363

«жесткость» является естественным следствием плохой внутренней расчлененности, превалирования глобального целого над недостаточно четко выделенными отдельными элементами.

Намеченные Дункером особенности, которые отличают лиц, способных и не способных к математике, отчетливо выступили и в обширном экспериментальном исследовании В. А. Крутецкого (1968), посвященном изучению психологии математических способностей школьников. Сам Крутецкий достаточно ясно и подробно изложил в своей книге точку зрения Дункера и отчасти соотносил с ней некоторые из полученных результатов. Ниже мы представим попытку такой интерпретации этих результатов, в которой акцент сделан на значении дифференцированности и расчлененности психических процессов и структур, включенных в обработку математического материала. Таким материалом в исследовании Крутецкого были арифметические, алгебраические, геометрические и отчасти логические задачи.

Крутецкий разработал обширную систему задач для исследования математических способностей школьников, составленных на арифметическом, алгебраическом, геометрическом, общематематическом, числовом, фигурном и логическом материале.

Отдельные группы задач были направлены на выявление следующих показателей математического мышления у способных, среднеспособных и неспособных к математике учащихся 7—10 классов.

1. Особенности восприятия логико-математических отношений и конкретных данных задач.

2. Особенности запоминания отношений и конкретных данных задач.

3. Способность к обобщению логико-математических отношений задач и методов рассуждения.

4. Гибкость мыслительных процессов как способность переключаться с одного способа решения на другой (на другие).

5. Обратимость мыслительных процессов как способность к перестройке направленности мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли.

6. Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

Особенности восприятия и сохранения в памяти отношений и конкретных данных задач

Для выявления этих особенностей использовались задачи с отсутствующим вопросом, который предлагалось сформулировать самому ученику, задачи с неполным составом условия, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представлялось возможным, и задачи с избыточным составом условий, т. е. с лишними данными, маскирующими

364

данные, необходимые для решения. Показатели решения этих трех типов задач в группе способных к математике школьников высоко коррелировали между собой, и соответствующая матрица интеркорреляций хорошо описывалась однофакторной моделью Спирмена, что говорит о том, что успешность их решения — это результат действия одного общего фактора. Этот общий фактор был проинтерпретирован Крутецким как способность к формализованному восприятию функциональных связей задачи, «очищенных» от конкретных значений, «отделенных от предметной и числовой формы, когда в конкретном воспринимается его общая структура» (цит. соч., с. 258). Этот вывод Крутецкий прямо соотносит с тезисом Дункера, что при решении задач необходимо абстрагироваться от их перцептивных свойств и обнаруживать общее в конкретном факте.

В чем же проявляются особенности мышления способных и неспособных учеников при решении данных трех типов?

«Способные ученики, — пишет Крутецкий, — точно указывали на вопрос или на недостающие данные, а это означало, что они воспринимают весь комплекс данных, всю структуру задачи и осознают, что недостает того или иного его элемента. Если не видеть комплекса, то нельзя видеть и вопроса, нельзя указать на недостающие данные. Равным образом не затрудняло способных учеников и наличие излишних, избыточных данных в задаче. Уверенно выделяя комплекс взаимосвязанных величин, составляющих «костяк» задачи, они просто не обращали внимания на ненужные данные, находящиеся вне этого комплекса» (там же, с. 251). Малоспособные к математике ученики, наоборот, в большинстве случаев не воспринимали и не чувствовали в задаче скрытого вопроса, легко брались за решение задач с недостающими данными и бесконечно путались в решении задач с лишними данными, даже если они вводились в текст самых простых задач.

Итак, можно сказать, что у способных структура задачи хорошо вычленяется из ее условий и конкретных данных, а у неспособных такое вычленение идет с большим трудом, т. к. структура «замаскирована» текстом и всеми конкретными данными задачи, не вычленена как таковая из этого общего контекста.

Расчлененность и дифференцированность восприятия и обработки математического материала, имевшая место у способных к математике учащихся, проявилась также в особенностях их памяти, в ее избирательности по отношению к различным элементам математических задач. Спустя час после решения они в 95,7% случаев помнили типовые признаки задач, схемы рассуждений, основные линии рассуждений, логические схемы. Конкретные данные и цифровой материал воспроизводились тоже хорошо, но несколько хуже. Через неделю эффективность сохранения в памяти обобщенных существенных отношений

365

задач оставалась очень высокой и составляла 92,8%, а через 3 месяца — 85,6%. Совсем иначе обстояло дело с сохранением в памяти конкретных и ненужных данных. Для конкретных данных соответствующие проценты составили 9,6% (через неделю) и 2,0% (через месяц). Что касается ненужных данных, то через неделю они воспроизводились только в 1,0% случаев, а через 3 месяца были забыты полностью.

У средних и малоспособных к математике учеников картина была совсем другой. Многие из них лучше помнили конкретные данные, цифры, конкретные факты, относящиеся к задаче, но хуже помнили типовые особенности задачи или не помнили их совсем. Некоторые из неспособных к математике учеников уже через час забывали и основные соотношения данных задачи, и способ ее решения.

В современной психологии память рассматривается как результат широты и глубины анализа воспринятого материала. Принимается, что материал может обрабатываться на разных уровнях организации познавательной системы — на поверхностном, сенсорно-перцептивном уровне и на более глубоких семантических уровнях — и что чем глубже уровень анализа и чем шире анализ на том или ином уровне, тем лучше сохранение в памяти (Познавательная активность в системе процессов памяти, 1989). Отсюда следует, что у способных к математике учеников материал задач обрабатывается на уровне глубоких семантических математических структур, тогда как поверхностные уровни анализа играют более скромную роль. А у малоспособных, наоборот, доминирует анализ на поверхностном уровне, что должно свидетельствовать о несформированности более глубоких семантических уровней анализа материала задач.

Способность к обобщению логико-математических отношений задач

Для выявления этой способности был составлен большой комплекс задач, состоящий из 6 серий, по несколько задач в каждой. Задачи, как уже отмечалось выше, были составлены на арифметическом, алгебраическом, геометрическом и логическом материале.

1. Система однотипных задач, предъявлявшихся после того, как учащийся справлялся с решением первой задачи данного типа, причем такого, с которым он ранее в своей учебной деятельности не сталкивался. Смысл серии в том, чтобы установить, как учащиеся справляются с подведением новых задач под только что сформировавшееся правило, насколько они способны к переносу сложившегося способа действия в новые условия и способны отделить существенные отношения задачи данного определенного типа от несущественных конкретных ее деталей.

366

2. Система разнотипных задач. Задания, которые выполняли учащиеся, состояли в том, чтобы объединить задачи, внешне очень непохожие, но однотипные, и отдифференцировать их от задач, внешне очень похожих, но относящихся к другому (другим) типу.

3. Система задач с постепенной трансформацией условий из конкретного в абстрактный план. Смысл серии состоял в том, чтобы установить, насколько и в какой степени учащиеся «видели» абстрактную сущность отношений задач в той или иной ее конкретной «упаковке».

4. Самостоятельное составление задач заданного типа после однократного решения задачи определенного типа.

5. Система однотипных усложняющихся доказательств. По смыслу эта серия аналогична серии 1, но здесь изучалось, насколько учащиеся способны к обобщению и переносу методов рассуждения, усвоенных принципов доказательства, насколько эти методы логичны.

6. Составление уравнений по условиям задачи, когда принцип составления уравнений остается неизменным, но конкретная предметная его «упаковка» усложняется и все больше маскирует этот принцип. Здесь, как и в серии 5, выявлялась способность к обобщению и переносу методов рассуждения, а также их логичность.

Этим исследованием было охвачено 120 учащихся 7—10 классов. Количественными показателями, характеризующими успешность математических обобщений, были: количество «шагов» при максимальном обобщении и величина последнего шага (серии 1 и 5), число правильно выполненных заданий (серия 2), число правильно решенных задач и количество «шагов» при переходе из конкретного в абстрактный план (серия 3), суммарный балл, показывающий уровень выполнения задания (серия 4) и суммарный индекс, характеризующий широту переноса метода рассуждения (серия 6).

24 учащихся были проведены по всем 6 сериям. Показатели их успешности в каждой серии достаточно высоко коррелировали между собой, а факторизация матрицы интеркорреляций показала, что по первому фактору все серии получили высокие факторные веса (от 0,62 до 0,82). Этот общий фактор с привлечением качественного анализа решений задач всеми 120 учащимися был проинтерпретирован Крутецким как способность к обобщению математических объектов, отношений и действий, как способность «видеть» логико-математический «скелет» задач независимо от его конкретной «упаковки», как способность оперировать этим «скелетом», отвлекаясь от конкретных числовых данных и предметных аспектов задач.

В контексте содержания настоящей монографии нельзя не отметить, что Крутецкий, обсуждая полученные результаты, обратил внимание на связь способности к обобщению со способностью к дифференцированию. Приведем полностью соответствующее место из его книги.

367

«Способность к обобщению, как известно, тесно связана со способностью к дифференцировкам. Одаренные дети удивительно тонко дифференцируют очень сходный материал. Некоторым из них были предложены две задачи (взятые из исследования С. И. Шапиро): 1. Человек поднимался в гору со скоростью 2 км в час, а спускался с нее со скоростью 6 км в час. Найти среднюю скорость. 2. Путник шел со скоростью 6 км в час. Пройдя некоторое расстояние, он почувствовал усталость и уменьшил скорость до 2 км в час. Когда он пришел на место, то оказалось, что со скоростью 6 км в час он шел ровно столько времени, сколько и со скоростью 2 км в час. Найти среднюю скорость.

Ни один из учащихся седьмых классов со средними способностями к математике, которым я предлагал эти задачи, не усмотрел никакой разницы — все дали одинаковые ответы — 4 км в час (хотя их настойчиво просили подумать). Все же дети из группы очень способных (7 человек) дали правильные ответы: 3 км в час и 4 км в час. Вот типичное рассуждение (Гили Х.): «Задачи, конечно, похожи, но есть разница. Все как будто одинаково — и слова и цифры. Но большая разница вот в чем: в первой задаче расстояние, которое проходится с одной и с другой скоростью, одинаково, а в другой — время (разрядка автора) движения одинаково. В первом случае обе скорости продолжались разное время — с меньшей скоростью человек двигался, конечно, дольше, чем с большей, поэтому и средняя скорость будет не посередине, а ближе к 2, чем к 6. Во втором случае обе скорости продолжались одинаковое время, поэтому и средняя скорость будет посередине — 4 км в час. А в первом случае так: вверх 1 км за 1/2 часа, вниз — 1 км за 1/6 часа, а в среднем 1 км проходил за (1/2+ +1/6):2=1/3 часа, т. е. средняя скорость была 3 км в час» (цит. соч., с. 275—276).

Из приведенного текста видно, насколько точно расчленено содержание условий первой и второй задачи у способных к математике школьников. Надо думать, что именно это является главным условием их высокой способности к математическим обобщениям. Так, в приведенном примере предъявленные задачи явно распались на два типа: задачи на среднюю скорость с разным расстоянием и одинаковым временем и задачи на среднюю скорость с одинаковым расстоянием и разным временем. Ясно, что теперь эти учащиеся будут легко узнавать задачи каждого данного типа, в какой бы конкретной «оболочке» они ни были представлены, отличать их друг от друга, составлять любые новые задачи того же типа и успешно решать их независимо от степени конкретности или абстрактности условий (задания 1, 2, 3 и 4). Очевидно, что то же самое будет справедливо и для внутренних психологических оснований успешного обобщения методов рассуждения и принципов решения (задание 5 и 6): чем больше будут внутренне расчленены методы рассуждения при решении задач и принципы доказательства

368

каких-либо математических положений, тем больше будут психологически различаться в чем-то близкие и сходные методы и принципы, тем эффективнее они будут служить основанием для правильных математических обобщений.

Если же условия задач и методы рассуждения плохо расчленены в голове учащихся, если в них не выделены и не отделены друг от друга все основные составляющие элементы, то ясно, что в основу обобщений могут быть положены только некоторые более или менее глобальные целостности, а, значит, такие обобщения всегда будут дефектными.

Гибкость и обратимость мыслительных процессов

При изучении гибкости мыслительных процессов, во-первых, подбирались задачи, допускающие несколько решений, причем, если учащийся не находил их сам, экспериментатор предлагал ему сделать это. Во-вторых, подбирались пары задач, в которых вторая отличалась от первой каким-либо существенным элементом, оставаясь во всем остальном сходной с первой. Наконец, в-третьих, в специальной серии первоначальный способ действия закреплялся при решении нескольких однотипных задач, после чего предлагалась другая задача — на поверхностный взгляд того же типа, но отличающаяся по существу, причем эта задача была легче предыдущих.

Для изучения обратимости мыслительных процессов были подобраны пары задач — прямая и обратная. Выяснялось, как будут ученики решать обратные задачи: а) непосредственно после прямой и б) независимо от прямой.

Как и следовало ожидать, способных к математике учащихся отличала гибкость, подвижность мыслительных процессов. Она выражалась в легком и свободном переключении с одной умственной операции на другую, в многообразии аспектов и подходов к решению задач, в легкости перестройки сложившихся схем мышления и систем действия. С обратными задачами они справлялись без особого труда.

Неспособных школьников, наоборот, отличала инертность, скованность мысли в сфере математических отношений и действий, стереотипный характер действий, навязчивое удержание предшествующего принципа решения, большая затрудненность в переключении от одной умственной операции к другой. Они сильно затруднялись в решении обратных задач, предъявляемых после прямых.

Мы думаем, что все отмеченные особенности мышления неспособных учеников проистекают из-за недостаточной расчлененности и дифференцированности их когнитивных структур. Из-за слабой расчлененности когнитивных структур они не могут выделить несколько разных аспектов в задаче, чтобы исходя из этого решить ее несколькими разными способами. Можно предположить также, что найденный способ

369

решения из-за плохой расчлененности и дифференцированности его элементов образует в познании малоспособных к математике какое-то общее глобальное слаборазбиваемое сукцессивное целое (по типу «неразбиваемой цепочки» при усвоении числового ряда), которое с большим трудом поддается перестройке, требующей перегруппировки входящих в него элементов.

Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий

Эта способность свойственна математически способным школьникам. У них наблюдается очень быстрое сокращение отдельных звеньев рассуждения при решении задач какого-либо типа. В этих случаях ответ дается почти мгновенно (решение достаточно сложной задачи занимает меньше минуты), а типичные самоотчеты учащихся сводятся к тому, что они говорят: «Что решать? И так видно», «Я просто взял и записал ответ», «Задача решается сама собой». При этом учащиеся хотя и могут восстановить по просьбе экспериментатора необходимый логический путь решения, порой испытывают при этом определенные затруднения. Три экспериментально установленные обстоятельства — быстрота решения, отсутствие пауз как раз в тех звеньях рассуждения, которые выпадают, и затруднения при просьбе дать развернутую систему рассуждений — дали основание заключить, что способные к математике мыслят «свернутыми структурами». Природу этих «свернутых структур» Крутецкий, солидаризируясь в этом вопросе с Рубинштейном, прямо связывает с формированием быстро складывающихся обобщений. Надо думать, что это обобщения на достаточно высоких уровнях математических репрезентативно-когнитивных структур, обобщения, в которых фиксируются немногие, но самые существенные признаки задач, причем фиксируются как уже полностью отделенные от всех особенностей их внешнего вида и формы. Здесь, вероятно, можно усмотреть аналогию с тем направлением умственного развития, которое Э. Гибсон применительно к перцептивному развитию назвала выделением и абстрагированием различительных признаков объектов и событий, идущим рука об руку с тенденцией к минимизации их числа и уменьшению избыточности используемой информации (глава VII).