Начальные этапы развития счета

Исследования последних лет выявили примечательный факт, что у самых маленьких детей умению считать предшествует этап овладения некоторыми самыми общими принципами счета. Работа, в которой это положение было сформулировано, так и называлась: «Принципы раньше умения» (R. Gelman and E. Meek, 1987). Эти принципы образуют ту систему, которая, по мысли авторов, направляет и определяет развитие и усовершенствование умения считать.

В экспериментах, результаты которых привели к данному выводу, дети наблюдали, как кукла считала какие-нибудь предметы, и их просили поправлять ее, если они заметят, что она ошиблась. Оказалось, что дети 3—4 лет замечали ошибки, когда кукла пропускала какое-нибудь числительное, переставляла их местами или называла в случайном порядке. Они замечали, если какой-либо предмет пропускался при счете, участвовал в счете больше, чем один раз, или назывался двумя, а не одним числительным. Наконец, они замечали ошибку, если, определяя общее количество сосчитанных предметов, кукла называла не последнее число ряда, а какое-либо другое, и это не зависело от длины множеств вплоть до 20.

Все эти ошибки замечались детьми, которые сами еще не умели считать, и, значит, какое-то общее понимание, как нужно считать, предшествует умению это делать. На основе этих данных авторы сформулировали 5 принципов, усвоение которых предшествует счету. Это:

1. Принцип стабильности, неизменности, устойчивости порядка числительных при счете.

2. Принцип один-к-одному: к каждому объекту может быть присоединено только одно числительное.

3. Принцип кардинальности: общее количество обозначается последним произнесенным числом.

4. Принцип абстрактности: любая совокупность объектов может быть сосчитана.

5. Принцип иррелевантности порядка: объекты могут считаться в любом порядке.

Результаты экспериментов Гельман и Мекк были подтверждены другими авторами, которые внесли в них некоторые уточнения. Так, оказалось, что принципы раньше и лучше проявляются при счете небольших множеств и что последний принцип приобретается позднее других (D. Frye et all., 1989). Но общий вывод, что не развитие навыков

259

счета ведет к пониманию его принципов, а, наоборот, что какое-то самое общее примитивное понимание принципов счета предшествует развитию его навыков, не оспаривается (J. Flavell, 1988).

Само развитие усвоения числового ряда и навыков счета было детально прослежено в исследовании К. Фыозон с соавторами, в котором участвовали дети от 2 до 8 лет (K. C. Fuson et all., 1982).

В процессе овладения числовым рядом и навыками счета авторы выделили несколько последовательных уровней, которые, по сути дела, представляют собой ступени все более дифференцированного владения числовым рядом и операциями внутри него.

Самые первые признаки становления числового ряда появляются очень рано и проявляются в усвоении различия между числительными и другими словами. По наблюдению авторов только 2 ребенка из 30 в возрасте 2 лет в ответ на просьбу «сосчитать сколько будет» иногда употребляли буквы вперемежку с цифрами. Обычно же в этой ситуации всегда назывались только числительные, хотя и без какого-либо порядка. Поведение детей этого возраста аналогично их поведению в ситуации называния цвета предметов (глава XIII) и является проявлением первой самой грубой и примитивной дифференциации в вербальном плане разных аспектов действительности. Принципов, о которых речь шла у Гельман и Мекк, здесь еще нет, но какое-то самое примитивное представление о счете уже намечено.

В дальнейшем дети усваивают последовательности, состоящие из нескольких цифр. В этих последовательностях авторы выделяют три части. 1. Стабильная часть последовательности, соответствующая принятому порядку цифр. Сначала она невелика (обычно это 4—5—7 первых цифр), затем увеличивается. 2. Следующая, вторая стабильная (для данного ребенка) часть последовательности, отличающаяся от принятой пропуском каких-то цифр (например, 5, 8, 9, 10). 3. Третья нестабильная часть, порядок цифр в которой меняется от пробы к пробе.

Развитие усвоения числового ряда в этом аспекте идет по линии увеличения длины стабильных частей последовательностей, превращения нестабильных частей в стабильные с пропусками, что в конце концов заканчивается умением правильно воспроизводить последовательности чисел сначала в пределах 10, затем 100 и 1000.

Однако наиболее интересен второй аспект развития числовых последовательностей, который связан со все большей дифференциацией составляющих их элементов.

Самый первый уровень усвоения стабильных последовательностей авторы называют уровнем «веревки» (string). Термин «веревка» подчеркивает то обстоятельство, что отдельные слова в последовательностях еще не воспринимаются ребенком как отдельные элементы: последовательность, воспроизводимая ребенком, представляет собой единое сукцессивное

260

целое. Поэтому здесь еще не существует какого-либо однозначного соответствия между числительными и предметами. При попытках счета воспроизведение ряда цифр и указательные жесты идут независимо друг от друга. Задания считать до определенной цифры или сосчитать небольшое количество предметов не выполняются. Это, по-видимому, тот уровень, когда дети уже владеют принципами Гельман и Мекк, замечают ошибки в счете других, но сами навыками счета еще не владеют.

Второй уровень овладения последовательностью цифр — это уровень «неразбиваемой цепочки» (unbreakable chain). На этом уровне дети могут воспроизводить числительные до определенной названной им цифры (что они не могли делать на уровне «веревки»), правильно определяют небольшие количества (3—5), отвечают на вопрос «какой это по порядку» в пределах небольших количеств. По мнению авторов, только на этом уровне последовательность приобретает структуру ассоциативной цепи со связями между смежными элементами. Однако связи между элементами только прямые, а цепь неразбиваема: ребенок не может продолжать счет с любого названного числа; чтобы сделать это, он должен начать «от печки», от начала последовательности. Ребенок может ответить на вопрос, какая цифра следует за такой-то, но для этого ему также необходимо сосчитать от единицы до названной цифры. Обратный счет еще почти невозможен.

Третий уровень — это уровень «разбиваемой цепочки» (breakable chain). Теперь ребенок может продолжать счет с любой названной цифры, может считать в обратном порядке и сразу отвечает на вопросы, какая цифра следует за и какая предшествует заданной.

Принципиально важен в развитии навыков счета четвертый уровень, который был назван уровнем «считаемой цепочки» (numerable chain). На этом уровне впервые сами числительные выступают для ребенка как самостоятельные раздельные единицы, количество которых в высказывании может быть оценено точно так же, как количество любых других объектов. Раньше ребенок считал только предметы, теперь он может считать элементы собственного цифрового ряда. Это находит выражение в двух новых умениях, которые раньше ребенку были недоступны. Он может отсчитать определенное число элементов, начиная с какой-либо названной цифры (например, «отсчитай 5, начиная с 6»), и ответить на вопрос, сколько цифр названо, когда от считает от одной какой-либо одной цифры до другой (например, от 3 до 9).

Вначале эти два умения, связанные со счетом самих числительных, формируются применительно к прямому, а затем — применительно к обратному порядку счета. Операции с обратным порядком, как всегда, отстают от операций с прямым порядком.

261

Последний уровень овладения числовым рядом авторы называют уровнем «двусторонней цепочки» (bidirectional chain). Здесь операции с обратным порядком перестают отставать от операций с прямым порядком, и ребенок может гибко переключаться с одного на другой. На всех предыдущих стадиях этого не было. Там всегда переход с прямого порядка на обратный и с обратного на прямой вызывал трудности и большое число «ошибок инерции», когда вопреки поставленной задаче ребенок действовал, согласно предыдущей. Авторы пишут, что каждое числительное на уровне ниже данного представляет собой слово-вектор, т. е. числительное вместе с направлением дальнейшего счета, заданным контекстом воспроизведения (прямым или обратным). На уровне двусторонней цепочки числительные полностью освобождаются из того или другого контекста, дифференцируются от вектора. Поэтому только на этом уровне становится возможным двусторонний счет: ребенок может назвать порядковый номер указанного объекта ряда, начав обратный счет с названного конечного числа ряда.

Фьюзон с соавторами приводят в своей работе большой фактический материал и обращают внимание на очень значительные индивидуальные различия в успешности овладения детьми цифровой последовательностью. В каждом возрасте есть дети, которые на 1—1,5 года опережают средние достижения сверстников, либо на 1—1,5 года отстают от них.