Многозначная логика как совокупность логических систем

Исторически первой системой многозначной логики является трехзначное исчисление высказываний Лукасевича (1920). Исходя из анализа свойств и отношений модальных высказываний, Лукасевич пришел к выводу, что здесь нужна логика, в которой, помимо обычных значений истинности, фигурирует третье значение («возможно»).

Независимо от Лукасевича построил систему многозначной логики Э.Пост (1921). В отличие от Лукасевича, Пост при разработке своей системы исходил из чисто формальных соображений: он просто допустил, что число значений истинности высказываний может быть больше, чем 2, и исследовал вытекающие из этой гипотезы последствия для логики высказываний.

В трехзначной логике Лукасевича значения истинности высказываний отождествляются с числами 1 (истинно), 0 (ложно) и 1/2 (третье значение). В качестве основных выбираются две функции, [обозначаемые через N и C и соответствующие отрицанию и (материальной) импликации двузначной логики], которые определяются так:

(1) Nx=1-x Nx=0 при x=1

Nx=1 при x=0

Nx=1/2 при x=1/2

(2) Cxy=min(1, 1-x+y) [значение истинности импликации высказываний x и y равно меньшему из чисел 1 и 1-x+y; например, при х=1 и у=1/2 импликация Сху имеет значение min (1, 1-1+1/2)=1/2]

Таблицы:

для Nx для Сху

х ½ Nx у ½ 1 1/2 0

1 ½ 0х ½ .

1/2 ½|1/21 ½ 1 1/2 0

0 ½ 1 1/2 ½ 1 1 1/2

0 ½ 1 1 1

Функции трехзначной логики Лукасевича, соответствующие дизъюнкции и конъюнкции двузначной логики (обозначаемые через А и К), определяются так:

(3) Аху=max (x, у) т.е. значение истинности дизъюнкции х и у равно большему из значений истинности х и у

(4) Кху=min (х, у) т.е. значение истинности конъюнкции х и у равно меньшему из значений х и у

Функции А и К можно определить через N и С, соответственно, как

Ссхуу (х Éу) Éу

NCCNxNyNy ù ((ùx Éùy) Éùy)

Высказывания, принимающие значение 1 при любых значениях истинности образующих их высказываний (аргументов), рассматриваются в качестве законов трехзначной логики Лукасевича (или тавтологий). Таковы, например, высказывания CNNxx и CxNNx.

Закон исключенного третьего AxNx и закон противоречия NKxNx, законами не являются ( в трехзначной системе Лукасевича) т.к. при х=1/2 они имеют значение истинности 1/2:

A1/2 N1/2=A1/2 1/2=1/2

NK1/2N1/2=NK1/2 1/2=N1/2=1/2

Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями классической двузначной логики, поскольку при отбрасывании значения 1/2 в обоих логиках совпадут определения конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания.

Модальная логика

Общие принципы модальных логик. Модальные понятия разных типов имеют общие формальные свойства. Так, независимо от того, к какой группе относятся эти понятия, они определяются друг через друга по одной и той же схеме. Нечто возможно, если противоположное не является необходимым; разрешено, если противоположное необязательно; допускается, если нет убеждения в противоположном. Случайно то, что не является ни необходимым, ни невозможным. Безразлично то, что необязательно и не запрещено. Неразрешимо то, что недоказуемо и неопровержимо, и т.п.

Аналогично определяются сравнительные модальные понятия: «первое лучше второго» равносильно «второе хуже первого», «первое раньше второго» равносильно «второе позже первого», «первое причина второго» равносильно «второе следствие первого» и т. д.

В рамках всей системы модальной логики действует принцип модальной полноты, который можно сравнить с действием принципа (закона) исключенного третьего. Согласно этому принципу, в теории логических модальностей каждое высказывание является или необходимым, или случайным, или невозможным. Точно также в деонтической логике всякое действие или обязательно, или нормативно безразлично, или запрещено, а в логике оценок всякий объект является или хорошим, или оценочно безразличным, или плохим.

Соответственно, модальным аналогом закона непротиворечия традиционной логики является принцип модальной непротиворечивости. Например, высказывание не может быть как обязательным, так и запрещенным; объект не может быть и хорошим и плохим.

Основы теории логических модальностей. Основные модальные характеристики высказываний - возможность, необходимость, случайность.

Логическая возможность изучается модальной логикой в связи с понятиями необходимости, случайности и др. Можно выделить несколько утверждений в качестве законов в этой связи:

- из истинности высказываний вытекает его возможность, но возможность слабее истинности (Если сидящие в этой аудитории являются студентами, то возможно, что они - студенты);

- логическое противоречие не является возможным высказыванием (Неверно, что возможно, что на Венере есть жизнь и нет жизни);

- возможно первое или второе, если и только если возможно первое или возможно второе;

- высказывание возможно, если и только если его отрицание не является необходимым (Возможно, что птицы летают, только если неверно, что необходимо, что они не летают);

- высказывание необходимо тогда и только тогда, когда его отрицание не является возможным (Необходимо, что холостяк не является женатым, только если невозможно, чтобы холостяк был женат).

Невозможность определяется как отрицание возможности, а случайность - как возможность и самого высказывания, и его отрицания.

Логическая необходимость присуща высказыванию, отрицание которого логически невозможно.

Высказывание логически необходимо, если его истинность может быть установлена независимо от опыта или на чисто логических основаниях. В таком случае говорят, что высказывание необходимо истинно и является более сильным утверждением в отношении подтверждения его истинности по сравнению с аналогичным фактически истинным высказыванием. Всякое высказывание, содержащее логическую необходимость также и каузально необходимо, но не наоборот. Таким образом, логическая необходимость уже каузальной (физической). Нечто необходимо, если оно не может быть иным, чем оно есть. В зависимости от того, на какое основание опирается утверждение о необходимости, можно выделить три ее вида: логическую, онтологическую и нормативную. Логическая необходимость связана с логическим законом: логически необходимо то , что вытекает из законов логики ( отрицание чего несовместимо с законами логики). Физически необходимо то, отрицание чего нарушает законы природы. Нормативно необходимым (обязательным) является то, отрицание чего противоречит законам или нормам , установленным в обществе.

В качестве законов, устанавливаемых модальной логикой в отношении необходимости, можно назвать следующие:

- из необходимости высказывания вытекает его истинность, но не наоборот;

- логические следствия необходимого также необходимы;

- высказывание и его отрицание не могут быть вместе необходимыми.

Логическая необходимость может быть определена через логическую возможность: высказывание необходимо, когда его отрицание невозможно. Например: «Необходимо, что снег идет или не идет» означает «Невозможно, что снег идет и не идет». В свою очередь возможность определима через необходимость: высказывание возможно, когда его отрицание не является необходимым: «Возможно, что некто Х является злодеем» = «Неверно, что некто Х обязательно добрый человек» («обязательно» как «необходимо» - «Неверно, что необходимо, что некто Х не является злодеем»). Взаимная определимость необходимости и возможности дает право каждое рассуждение о необходимости перефразировать в рассуждение о возможности, и наоборот. При построении модальной логики в качестве исходного обычно принимается одно из понятий - «необходимо» или «возможно», второе определяется через него.

Логическая невозможность высказывания определяется как логическая необходимость его отрицания. Логическая случайность высказывания означает, что ни оно само, ни его отрицание не являются логически необходимыми.

Логическое значение (истинность и ложность) сложного высказывания, образованного с помощью модального оператора, не определяется однозначно логическим значением того высказывания, к которому применяется данный логический оператор. Например, пусть в некотором стручке гороха мы обнаружили 10 горошин. Тогда высказывание «В данном стручке 10 горошин» истинно, но высказывание «Необходимо, что в данном стручке 10 горошин», очевидно, ложно. Между тем, высказывания «Данный стручок гороха содержит белок» и «Необходимо, что данный стручок гороха содержит белок» оба истинны. Т.е., модальные операторы как бы «чувствительны» к смыслу, выраженному в соответствующих высказываниях. Этим модальные операторы отличаются от пропозициональных связок классического исчисления высказываний.

Планы семинарских занятий