Группировка испытуемых по уровням обобщения математического материала

(в % к общему количеству испытуемых в группе)

Группы	Серии	Уровни обобщения
ОСП	V			25,0	75,0
VI	—	100,0
VII	—	100,0
IX	25,0	75,0
СП	V			30,3	69,7
VI	27,3	72,7
VII	21,2	78,8
IX	24,2	75,8
СР	V		73,0	27,0
VI	59,5	40,5
VII	45,9	54,1
IX	64,9	35,1
НСП	V	100,0	—
VI	86,4	13,6
VII	77,3	22,7
IX	95,4	4,6

170

Итак, для многих средних по способностям учащихся характерен 2-й уровень обобщения, а для большинства неспособных лишь 1-й уровень. Никто из детей этих групп не решил задач какой-либо серии на 4-м уровне, т. е. путем обобщения «с места», которое лежит в основе решения нестандартных, нетиповых задач.

Обратим внимание на распределение учащихся СР и НОП групп в VII серии, где проверялись возможности перехода от решения задач с числовыми данными к решению задач с буквами. С одной стороны, именно в этой серии в обеих группах наибольшее число учащихся выполнили задания на 3-м и 2-м уровнях обобщения (это «потолок» для соответствующих групп). Особенно отчетливо это выявилось в группе СР, где более половины учащихся работали на 3-м уровне. Это говорит о том, что эти шестиклассники уже более или менее освоили употребление буквенной символики, вводимой с началами алгебры. С другой стороны, наряду с этим показательны другие цифры. Так, 45,9% учащихся группы СР выполнили задания VII серии на 2-м уровне обобщения, т. е. с помощью экспериментатора и путем постепенного освобождения от числовых данных. В группе же НСП задания с одними буквенными данными так и не смогли выполнить 77,3% учащихся (1-й уровень).

Иными словами, значительная часть шестиклассников с трудом работала или совсем не работала в плане буквенной символики («в абстрактном плане»), хотя по программе уже были введены начала алгебры. Об этом прямо пишет и В. А. Крутецкий, характеризуя особенности мыслительной деятельности средних и неспособных учащихся: «Отвлечься от конкретных числовых выражений нашим учащимся всегда было трудно... Наши учащиеся с трудом (одни — с большим, другие — с меньшим, но все с трудом!) понимали самую сущность алгебры, представляющую собой действия с числовыми абстрактами. Им трудно было понять,

171

что буквы в алгебре — это числа, лишенные своего конкретного выражения...» [157, стр. 279]¹.

Часть четвероклассников, как было отмечено выше, с трудом оперирует отвлеченными числами — им необходимо представить себе конкретные предметы. Часть шестиклассников (и, видимо, немалая) с трудом отвлекается от конкретных числовых выражений при переходе к буквенной символике. Здесь намечается единая линия затруднений, испытываемых детьми разных ступеней обучения при необходимости использовать средства абстрактного выражения количества, позволяющие обозначать любые совокупности конкретных предметов (отвлеченные числа) и любые конкретные числа (буквенная символика). Не является ли подобная длительная склонность учащихся к «опоре на конкретность» прямым следствием самой методики обучения, основанной на традиционной теории обобщения?

Каждый этаж абстракции опирается здесь на большое количество варьирующихся представлений, частных случаев и выступает результатом постепенного выделения сходного, общего в них. Понимание такого общего предполагает повторное обращение к аналогичным представлениям. Таким образом, дети вынуждены постоянно иметь дело с конкретным материалом даже тогда, когда они будто бы уже выделили общее. Ведь это общее надо иллюстрировать, к тому же в материале всегда может обнаружиться частная особенность, которую нужно варьировать. Школьники не чувствуют четкого различия между конкретным и абстрактным. Эта граница делается тем более неуловимой, что содержание абстрактного и оперирование им может быть непосредственно воспроизведено и в конкретном материале (можно делить число 10, но можно ведь делить и 10 предметов). В таких ситуациях ребенку трудно усвоить специфику абстракции, качественные

172

особенности оперирования ею. Не эти ли обстоятельства объективно толкают преподавателей к возможно долгому преуменьшению абстрактного характера математики, к той «ухищренной маскировке» его, о которой говорит Ж. Дьедонне?

Постоянно находясь в условиях, диктующих такой способ усвоения, четвероклассник в результате может не уловить качественного своеобразия отвлеченных чисел, а шестиклассник — не понять смысла буквенной символики.

В работе В. А. Крутецкого была исследована сравнительно небольшая группа учащихся (выше мы описывали материалы, относящиеся к 96 шестиклассникам и семиклассникам; всего же в этой работе были исследованы 192 человека с 6 лет до X класса [157, стр. 199]). Необходимы исследования гораздо больших контингентов детей, чтобы точнее выявить основные распределения их групп по тем или иным уровням обобщения (критерии этих уровней сами требуют особого обоснования). Однако, на наш взгляд, уже имеющиеся данные указывают некоторые типичные особенности обобщения математического материала, присущие отдельным категориям учащихся. Есть основания думать, что эмпирический подход к материалу, характерный для 1-го и 2-го уровней обобщения, является одним из источников многих трудностей, испытываемых средними и малоспособными учащимися при усвоении знаний.

Психолого-педагогические исследования показывают, что и математические и любые другие знания медленно усваиваются и слабо переносятся в новые условия, если школьники не умеют находить внутреннюю общность внешне сходных вещей и явлений. Даже внешнее сходство они выделяют путем многих однотипных упражнений при варьировании деталей материала и склонны к повторению стереотипных действий в хорошо известных и лишь требующих опознания ситуациях.

Психологи неоднократно наблюдали факты обобщения «с места», но не придавали им должного теоретического

173

значения (иначе чем объяснить малочисленность исследований по специальному их изучению?)¹. Эти факты выходят за рамки установившихся взглядов на образование всякого обобщения и на его необходимые условия. Они ломают также привычные способы организации усвоения. Конечно, сравнительно малое число детей, обладающих «даром» такого обобщения, позволяет относить его к явлениям «особых способностей», «одаренности», в то время как школа в основном учит обычных детей. Но тем важнее изучать механизмы функционирования обобщения особого типа, а также условия его образования у способных учащихся. Наряду с этим важно поглубже вникнуть во внутренние предпосылки формирования обычного способа обобщения у большинства других учащихся. Эти исследования позволят со временем строить такое обучение, которое, с одной стороны, будет активно формировать у детей наиболее продуктивные типы и уровни обобщения, с другой — постоянно опираться на них во всех процессах организации усвоения.

3. Особенности традиционного способа формирования понятия числа у детей