Измерения для порядковых переменных
Когда мы имеем дело с данными порядкового уровня, у нас несколько больше информации, поскольку коды представляют не только категоризацию, но и относительные позиции, или ранжирование. Выбор способа измерения средней тенденции и дисперсии должен как отражать этот факт, так и использовать его возможности. Наиболее подходящий способ измерения средней тенденции для порядковых данных – медиана. Медиана – это просто [c.398]значение среднего признака в упорядоченном ряду, признака, до и после которого находится равное количество признаков. Вычисление медианы, таким образом, требует лишь того, чтобы отсчитать с обоих концов частотного распределения равное количество признаков, до тех пор пока не доберемся до срединного, и определить затем его значение. Там, где имеется нечетное количество признаков, можно определить единственный срединный признак (например, для 99 признаков 50-я от любого конца частотного распределения единица будет иметь 49 единиц как до, так и после себя). Значение этого признака и будет медианой. Если же N (количество единиц) – четное число, появятся две срединных единицы (например, для 100 единиц 50-я и 51-я вместе составят середину распределения). Если обе эти единицы имеют одно и то же значение, оно и будет медианой. Если у них разные значения, медианой будет среднее арифметическое междуними. Поясним на примере. Давайте рассмотрим распределение уровней образования по трем массивам данных (см. табл. 14.2).
Таблица 14.2.
Уровни образования по трем массивам
| Код | Значение | Массив 1 (N) | Массив 2 (N) | Массив 3 (N) |
| 1 2 3 4 5 Общее количество | Начальная школа Незаконченное среднее Законченное среднее Высшее Наличие ученой степени | 25 23 22 20 9 99 | 25 23 22 20 10 100 | 10 40 35 10 5 100 |
В первом массиве выделяется один срединный случай (50-й с обоих концов), определяется его значение и выясняется, таким образом, что медианный уровень образования – 3, или “законченное среднее”. Во втором массиве выделяется два срединных случая (50-й и 51-й с обоих концов), определяется, что каждый принимает одно и то же значение и выясняется, что медиана – опять 3. В третьем [c.399]же массиве срединные случаи включают две категории – “незаконченное среднее” и “законченное среднее”. Здесь медианой является среднее арифметическое между этими величинами, т.е. (2+3)/2=2,5. Поскольку дробные значения не имеют смысла в порядковом измерении, эта цифра просто говорит нам, что середина распределения лежит примерно между 2 и 3.
Любой из нескольких способов измерения дисперсии для порядковых переменных, называемыйквантильным рангом, показывает, насколько плотно различные значения группируются вокруг медианы, или опять насколько типична или репрезентативна медиана для распределения в целом. Квантиль – это мера положения внутри распределения. Например, персентиль делит совокупность на 100 равных частей так, что первый персентиль – это такая точка или значение в этой совокупности (считая от меньшего значения вверх), ниже которой находится 1% всех случаев, второй персентиль – такая точка или значение, ниже которой находятся 2% всех признаков, и т. д. Или, используя более знакомый пример, будущий студент колледжа, достигший 85-го персентиля в тесте на эрудицию, дошел до уровня более высокого, чем уровни 85% всех, кто проходил тест. Точно так же дециль делит совокупность на десятки (например, третий дециль – это точка, ниже которой находятся 30% случаев), квантиль – на пятые доли, квартиль – на четвертые. Любой из них может быть использован для определения дисперсии вокруг медианы, хотя децильные и квантильные ранги наиболее часто встречаются в литературе.
Давайте проиллюстрируем эту процедуру на примере квантильных рангов. Квантильный ранг (q) определяется следующим образом:
q = q4 – q1,
где q4 – четвертый квантиль (значение, ниже которого находится 4/5,или 80% всех признаков);
q1– первый квантиль (значение, ниже которого находится 1/5 или 20% всех признаков).
Чем меньше степень разброса величин между этими двумя точками совокупности, тем плотнее сгруппированы случаи вокруг медианы и тем точнее представляет медиана всю совокупность. В массиве 2 табл. 14.2, например, [c.400]где N=100, можно подсчитать q, определив 81 признак (ниже которого расположено 80% признаков) и 21 признак (ниже которого расположены 20% признаков), начиная наш счет внутри частотного распределения с наименьших значений. Затем мы вычитаем значение 21-го признака из значения 81-го (q=q4–q1=4–1=3) и получаем квантильный ранг. В массиве 3 подобные вычисления выделяют квантильный ранг, равный единице (q=3–2=1), показывающий при сравнении, что это распределение лучше представлено своей медианой, равной 2,5, чем второй массив – своей медианой, равной 3. Внимательное изучение этих двух частотных распределений подтвердит обоснованность нашего вывода.
Одна из трудностей интерпретации квантильных рангов состоит в том, что они чрезвычайно чувствительны к изменениям в количестве градаций самой переменной. Чем больше градаций, тем вероятнее большой разброс. Поэтому квантильные ранги не всегда поддаются интерпретации в случаях сравнений переменных с разным количеством градаций. Для переменных же с примерно равным количеством градаций для построчного или постолбцового сравнения значений одной переменной или для какого-либо абсолютного измерения разброса вокруг медианы они вполне подходят. [c.401]