Закон исключенного третьего: всё должно быть либо А, либо не-А.

Смысл: из двух про­тиворечащих друг другу суждений одно обязатель­но истинно. Это означает, что две противоречащие друг дру­гу мысли не могут быть одновременно истинными (об этом говорит закон противоречия), но они не могут быть и одновременно ложными - одна из них необходимо истинна, другая - ложна. Закон исключённого третьего не применим к высказываниям о случайных будущих событиях, о бесконечных множествах, о несуществующих объектах.

Например, противоречащие друг другу единичные суждения: «Ока – приток Волги» и «Ока не есть приток Волги». Противоречащими могут быть суждения, если одно – общее, а другое – частное, причём одно из них что-либо утверждает о данном предмете, а другое отрицает. «Все жители Польши – поляки» и «Некоторые жители Польши – не поляки».

4. Закон достаточного основания: всякая ис­тинная мысль должна иметь достаточное основа­ние.

Смысл: высказывая некоторое истинное суждение, мы должны обосновать его с помощью других суждений, которые доказаны либо опытным путём, либо логически. Даже если мысль представляется очевидно истинной, следует указать основания, по которым мы ее принимаем. Данный закон говорит о том, что ничего нельзя принимать на веру, все нужно рационально обосновывать.

Например, обосновать, что медь – проводник электричества, можно двумя способами: опытным (пропустить ток по медному проводу) и логическим (рассуждая так: медь – металл; все металлы – хорошие проводники электричества; значит, медь есть хороший проводник электричества).

Правила логического вывода делают возможным доказательное, правильное умозаключение. Фундаментальными правилами являются «modus tollendo ponens» (модус понендо поненс)или «утверждать, утверждая» и «modus tollendo tollens» (модус толлендо толленс)или «отрицать отрицая».

«Утверждать утверждая»означает: если нам известно, что из А следует В, и если нам известно, что имеет место А, то мы можем сделать вывод В. Это можно записать так:

[(А => В) ^ А] => В

В обычной жизни этим правилом мы пользуемся часто, но нередко при этом допускаются ошибки.

Например, рассуждение бывает таким:

Все физики завтракают.

Мой сосед сейчас завтракает.

Поэтому мой сосед – физик.

Проанализируем это рассуждение. Пусть

А (х) ≡ х – физик,

В (х) ≡ х – физик завтракает,

0 ≡ мой сосед.

Приведённое рассуждение можно записать так:

А (х) => В (х),

В (0),

следовательно, А (0).

Очевидно, что «утверждать, утверждая» использован неверно: из А => В и В был сделан вывод А. Обратное утверждение здесь спутано с контрапозицией.

Для импликации А => В обратной является импликация В=> А, а контрапозицией В => А, знак означает «не».

Например, рассмотрим утверждение:

У каждой здоровой кошки четыре ноги.

Упростим это утверждение:

У здоровой кошки четыре ноги.

Если введём обозначения

А (х) ≡ х – здоровая кошка,

В (х) ≡ х – имеет четыре ноги,

Утверждение принимает вид

А (х) => В (х).

Обратное утверждение:

В (х) => А (х),

то есть

Объект с четырьмя ногами – здоровая кошка.

Обратное утверждение построено на основе исходного утверждения о том, что у каждой здоровой кошки четыре ноги. Исходное утверждение истинно, обратное ему – ложно. Неверно, что нечто имеющее четыре ноги – именно здоровая кошка. Четыре ноги есть у собаки, козы, лошади и стола.

Контрапозиция означает, что если нечто не обладает четырьмя ногами, то не является здоровой кошкой.

В => А

Это утверждение отличается от исходного, но при этом является верным. Если вам повстречается объект, у которого нет четырёх ног - можно быть уверенным, что это здоровая кошка, так как у неё должны быть четыре ноги, как условие здорового состояния. Контрапозиция утверждает ровно то же самое, что исходное утверждение, но несколько иными словами.

Контрапозиция некоторой импликации всегда логически эквивалентна самой исходной импликации, а про оборотное суждение этого сказать нельзя.

Возвращаясь к истории завтракающих физиков и соседей. Начав с того, что из А => В и выполняемости В был сделан вывод А. Мы совершили неверную интерпретацию исходной импликации как обратную ей.

Правильно понимать исходную импликацию как В => А, поскольку контрпозиция логически эквивалентна исходному утверждению. Правильно было бы записать следование из В => А, так:

( В => А) ^ В ≡ В.

Правило «отрицать отрицая» является переформулировкой правила «утверждать утверждая»:

Если ((А => В) и В), то А.

Утверждению А => В эквивалентна его контрпозиция В => А. А если ещё есть утверждение В, то согласно правилу «утверждать утверждаю», можно вывести А. В этом и заключается правило «отрицать отрицая».

По степени обоснованности выведения заключения из посылок умозаключения делят на демонстративные и недемонстративные.