Как говорить, чтобы вас слушали?

Как говорить, чтобы вас слушали?

Имеет значение - как и что мы говорим. Выступление должно быть: увлекательным, убедительным и подготовленным.

1. Как сделать выступление увлекательным?

Идеи выступления должны быть эффективно структурированы:

введение (позволяет зацепить внимание аудитории: чётко формулируйте проблему, покажите её своевременность, назовите цель и задачи выступления);

повествование (расскажите историю, в которой факты выстроены в прямой последовательности, за которой аудитории легко уследить);

обозначение разногласия (укажите на своё не согласие, уточните почему это важно);

доказательство (изложите доводы в пользу своей позиции, состоящие из обращения к результатам опыта, логических выводов, рассуждений и апелляции к общеизвестным положениям и авторитетным традициям);

опровержение (выступите против возможных возражений оппонента);

заключение (повторите с энтузиазмом самый важный аргумент, чтобы он отпечатался в памяти слушателей).

2. Как быть убедительным?

Выступающий, прежде всего, должен уметь вызвать доверие к себе как личности. Для этого нужно соблюдать принципы:

· вежливость (придерживайтесь правил поведения, которые ожидают слушатели);

· ясность (мысли должны быть сформулированы чётко и недвусмысленно, используйте слова, которые сами понимаете и понимает аудитория);

· искренность (информация сообщается открыто и без превосходства);

· последовательность (последовательное изложение информации создает впечатление о вашей уравновешенности);

· контроль (контролировать реакцию аудитории и подстраивать темп выступления);

· уверенность (говорите прямо, используя сильные слова, демонстрируйте свою убежденность, а не сглаживайте и обесценивайте свою позицию употребляя «возможно», «может быть», «иногда»).

Продемонстрируйте компетентность – обращайтесь к разуму слушателей. Используйте убедительную аргументацию, сочетайте факты, полученные в опыте и логические размышления. Объясните – «почему это так и зачем это нужно?».

Объяснение – это такое описание фактов, которое делает их понятным. Цель объяснения – улучшить понимание. Объясняя, поставьте себя на место другого человека. Используйте в объяснении: определения (давайте точную характеристику используемым понятиям); описание (прямой отчёт о действие, событии); иллюстрации (приводите примеры, разъясняющие идеи); детализируйте (сообщайте подробную информацию, необходимую для всестороннего и точного представления о какой-либо концепции, идее и теории).

Затрагивайте эмоции слушателей. Впечатляйте – вызывая позитивные эмоции по отношению к вашей точке зрения (идеям), и негативные эмоции относительно опровергаемых вами идей. Говорите искренно и с энтузиазмом, передавая свой интерес к освещаемой теме. Унылый рассказ, в замедленном или слишком быстром темпе никогда не вызовет сочувствия и интереса аудитории.

Классификация определений

По роли и функции в познании
номинальные	реальные
вводят новые термины или выбирают из многих возможных значений какое-то одно для конкретной цели («позитроном будет называться элементарная частица, являющаяся античастицей по отношению к электрону»)	передают точный смысл, содержание широко употребляемому и интуитивно ясному понятию («человек – это двуногое бесперое существо», «человек – это двуногое бесперое существо с плоскими ногтями, имеющее мягкие мочки ушей»)
По структуре (А - определяемое, В – определяющее, С – видовой признак)
явные	неявные
«А есть В» «А – это такое В, которое есть С»	«Аесть то, что удовлетворяет условиям В1, В2, …Вn
Генетические: видовой признак (С) указывает на способ образования определяемого (А) («Окружность есть замкнутая кривая линия, образованная вращением отрезка вокруг одного из концов»); Операциональные: видовое отличие указывает на процедуру, позволяющую распознать предметы определяемого (А) («Кислота – жидкость, окрашивающая лакмус в красный цвет»); Функциональные: видовое отличие (С) указывает на функции, предназначение предметов определяемого (А) («Транспорт – средство, с помощью которого осуществляется перевозка людей и грузов»); Атрибутивные: видовое отличие (С) есть описание особенностей самих предметов описываемого (А) («Ромб – это равносторонний параллелограмм»); Перечислительные: видовое отличие (С) есть перечисление всех объектов тип описываемого (А) («Элементарные частицы – электрон, позитрон, нейтрино…»).	Аксиоматические: определяемое (А) есть то, что описывается аксиомами определяющими (В1, В2, …Вn) (В геометрии Евклида точка и прямая определяются как удовлетворяющие системе утверждений: «Через любую пару различных точек проходит прямая», «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и не только одну». Эти утверждения неявно задают свойства «точек» и «прямых»); Индуктивные: в них указывают – начальные объекты, попадающие под данный термин; и процедуры, порождающие из простых подобных объектов более сложные; в итоге определяется объём данного термина. («Например, в качестве начального объекта возьмём единицу. Тогда все натуральные числа получаются прибавлением некоторого конечного числа единиц к единице»);

Деление суждений

Общее	Частные
Все S суть P «Все медики являются людьми, внушающими доверие»	Некоторые S суть P «Доктор Васечкин является человеком, внушающим доверие»
Утвердительные	Отрицательные
S есть P «Все кандидаты наук являются учёными»	S не есть P «Не все физики есть доктора наук»
Исключительные	Исключающие
толькоS есть P «Только те, кто умён, счастлив»	все S кроме P есть «Все студенты, кроме первокурсников, могут посещать семинар по квантовой механике»

Суждения могут находится в разных отношениях друг к другу. Важно устанавливать отношения между суждениями, благодаря которым возможная истинность или ложность одного суждения ограничивает возможную истинность или ложность другого суждения. Принято использовать следующие символы: p – одно суждение, q – любое другое суждение, (и) – истина, (л) – ложь.

Виды суждений

	Описательные	Оценочные	Нормативные
В чём заключается	описывает состояние дел и событий в действительности.	оценивается соответствие действий общепринятым моральным и эстетическим ценностям	устанавливают или предписывают определённый порядок действий и поведение людей
Что характеризуется	соответствие действительности: истинные, ложные, неопределённые.	соответствия системе ценностей: хорошо, плохо, безразлично; лучше, хуже, равноценно.	соответствия системе норм: обязательно, разрешено, запрещено
Пример	«Все сферы движутся вокруг Солнца, расположенного как бы в середине всего, так что около Солнца находится центр мира» (Коперник «Малый комментарий о гипотезах, относящихся к небесным движениям», между 1510-1543)	Учение Коперника «глупое и абсурдное с философской и формальной точки зрения, поскольку оно явно еретическое, противоречит Священному Писанию» (вердикт теологов 1615 г.)	«Отцы св. Конгрегации Индекса признали необходимым запретить сочинение Коперника… по причине того, что принципы, касающиеся положения и движения земного шара, несовместимы со Св. Писанием» (1620)

Умозаключение –форма мышления, в которой из исходных суждений (посылок), выводиться новое суждение (вывод).

Посылка 1: Все небесные тела либо планеты, либо звёзды.

Посылка 2: Сатурн – небесное тело не являющееся звездой.

Вывод: Следовательно, Сатурн – планета.

Во время рассуждений важно, чтобы суждения-посылки были истинными, а умозаключение было правильным. Истинность посылок и заключения не гарантирует правильности умозаключения. Ложность посылок не гарантирует неправильности умозаключения. Правильность умозаключения не означает истинности вывода, а неправильность – ложность.

Например,

Если число делится на 4, оно делится на 2 (истина)

Число 6 не делится на 4 (истина)

Вывод: Число 6 не делится на 2 (ложь).

Сама форма рассуждения в данном примере не обеспечила сохранение истинности при переходе от посылок к заключению. Осталась возможность построить контрпример.

Правильное умозаключение имеет такую форму, которая гарантирует, что при истинных посылках получается истинное заключение(не существует умозаключений такой же логической формы с истинными посылками и ложным заключением). Посылки и заключение находятся в отношении логического следования(«и», «или», «если, то», «неверно, что…», «для всякого…», «тогда и только тогда, когда…», «если и только если…», «либо, либо…», «в том и только в том случае, если…», «необходимым и достаточным условием для… является…»)^[3].

Например,

Доказываем тезис: «Все металлы проводят электрический ток».

Подбираем в качестве аргументов утверждения, которые являются, во-первых, истинными и из которых, во-вторых, логически вытекает тезис.

Аргументы:

«Все вещества, имеющие в своей кристаллической решетке свободные электроны, проводят электрический ток»

«Все металлы имеют в своей кристаллической решетке свободные электроны».

Строим умозаключение: Все вещества, имеющие в своей кристаллической решетке свободные электроны, проводят электрический ток.

Все металлы имеют в своей кристаллической решетке свободные электроны.

Следовательно, все металлы проводят электрический ток.

Данное умозаключение является правильным, посылки его истинны; значит, умозаключение является доказательством исходного тезиса.

Логические принципы присутствуют в каждом успешном рассуждении и доказательстве, осуществлённом анализе. Пренебрежение ими делает мышление бессвязным. В традиционной логике выделяют четыре основ­ных принципа или закона мышления. Три из них были открыты и сформулированы Аристотелем (384 – 322 гг. до н.э.), четвертый закон был добавлен Г.В. Лейбницем (1646 – 1716).

Виды обобщающей индукции

Полная умозаключение обо всех предметах класса на основании знания каждого предмета данного класса	Неполная умозаключение о всём классе предметов на основании исследования части предметов данного класса
Математическая	Эмпирическая	Эмпирическая
Если имеется последовательность утверждений, из которых первое утверждение верно и за каждым верным утверждением следует верное, то все утверждения в последовательности верны.	Заключается в сплошной проверке объектов исследуемого класса. Возможна лишь в случае конечного счетного множества объектов в её предметной области.	Обобщение строится путём отбора необходимых и исключения случайных обстоятельств
«Если некоторое свойство принадлежит числу 1 и если, когда оно принадлежит числу n, можно доказать что оно принадлежит и n+1, то оно принадлежит всем числам»	«Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Венера, Плутон, Уран, Нептун, Меркурий вращаются вокруг Солнца по эллиптической орбите. Все планеты Солнечной системы вращаются вокруг Солнца по эллиптической орбите».	«С к. 19 в. считалось что валентность хлора 7, так как были известны соединения, в которых хлор проявляет высшую валентность по кислороду (7). К сер. 20 века установили физическую основу, причину валентности. Атом хлора имеет 7 электронов во внешнем слое».

Например,

известно, что сложный многогранник (М) имеет много углов (У), граней (Г) и рёбер (Р). Зададимся вопросом: всегда ли верно, что число граней (Г) возрастает, когда возрастает число вершин (В)? Используя индуктивное рассуждение, рассмотрим конкретные многогранники. Составим таблицу, в которой зафиксируем наблюдения.

Многогранники	Г	В	Р
Куб
Трехгранная призма
Пятигранная призма
Трехгранная пирамида
Четырёхгранная пирамида
Пятигранная пирамида
Октаэдр
Башня
Усечённый куб

Теперь очевидно, что число граней не обязательно возрастает с числом вершин. Так сравнивая куб и октаэдр видно, что один имеет больше вершин, а другой больше граней.

Зададим другой вопрос: возрастает ли Р вместе с Г? Или с В? Чтобы систематически ответить на эти вопросы, необходимо перестроить таблицу. Записываем многогранники так, чтобы Р возрастало, когда последовательно читаются строки сверху вниз.

Многогранники	Г	В	Р
Трехгранная пирамида
Четырёхгранная пирамида
Трехгранная призма
Пятигранная пирамида
Куб
Октаэдр
Пятигранная призма
Усечённый куб
Башня

Вновь никакой закономерности предполагаемого типа мы не выявили.

Еще раз переформулируем вопрос: возможно Г и В возрастают в совокупности, «совместно»? Сумма Г + В возрастает, когда строки читаются сверху вниз. Ещё более точная закономерность:

Г + В = Р + 2

Это соотношение подтверждено во всех наблюдаемых случаях, записанных в таблице. Мы можем сформулировать предположение, что не только в наблюдавшихся случаях, но и в любом многограннике число граней, увеличенное на число вершин, равно числу рёбер, увеличенному на два^[4].

Исключающая индукция – это форма рассуждения, при которой из некоторого множества возможных причин явления путём исключения случайных совпадений выявляется его действительная причина.

Причинная связь между явлениями x и y присутствует если существование x обуславливает существование y. То есть «причин x влечёт следствие y». Причина – это необходимое и достаточное условие для наступления именно этого события (следствия).

Имея установленные опытным (эмпирическим) путём данные нужно определить есть ли причинная связь между явлениями. «Железо ржавеет, если есть повышенная влажность воздуха». С точки зрения здравого смысла это выявленная причинно-следственная связь. Но не только повышенная влажность воздуха является причиной возникновения ржавчины. Чтобы понять причину этого процесса необходимо перейти от приблизительных, наблюдаемых в обыденном опыте единообразий, к более неизменным отношениям, выявляемым в результате углубленного научного анализа.

Например, закон Ома утверждает, что сила тока равна отношению между напряжением и сопротивлением. Согласно принципу рычага, равновесие достигается, когда два веса изменяются обратно пропорционально расстояниям до точки опоры.

Методы установления причинных зависимостей^[5]

Метод	Суть	Пример
Единственного сходства	если два или более случая исследуемого явления сходятся в одном только обстоятельстве, то это обстоятельство и есть причина или часть причины исследуемого явления.	Биолог Р. Шовен обнаружил, что рабочие пчёлы не строят в улье маточников, если в нём есть как живая, так и мёртвая матка. Он обнаружил тот же эффект от применения в улье спиртовой настойки из мёртвой матки. Сделал вывод, что причиной является выделяемое пчелиной маткой вещество, которое сохраняется в её теле и после смерти.
Единственного различия	если случай, в котором встречается исследуемое явление, и случай, в котором оно не встречается, совершенно сходны во всех подробностях, за исключением исследуемой, то обстоятельство, встречающееся в первом случае и отсутствующее во втором, и есть причина явления.	Разделив подопытную и контрольную группу исследовали влияние витамина тиамина на рост и здоровье организма. Условия, питание и режим приёма пищи был одинаков в обоих группах крыс, но в подопытной группе тиамин не присутствовал в пище, а в контрольной – присутствовал. В подопытной группе крысы росли плохо и болели полиневритом. Вывод – причина задержки роста – отсутствие тиамина в пище.
Сходства и различия	если два и более случая возникновения явления имеют общим лишь одно обстоятельство и два или больше случая отсутствия того же явления имеют общим только отсутствие того же обстоятельства, то это обстоятельство, в котором только и разняться оба ряда случаев, есть причина явления.	Исландский шпат обладает свойством двойного преломления. Свойство зависит от кристаллического строения. Однородные некристаллические вещества сходны в том, что не обладают двойным преломлением, а кристаллические прозрачные вещества сходны в том, что этим свойством обладают.
Сопутствующих изменений	если вслед за изменением одного явления замечается изменение другого, то мы можем заключить о причинной связи между ними.	Исследуя возникновение теплоты Д. Джоуль сосредоточился на рассмотрении трения как её причины. Используя на трение одного вещества с другим определённое количество силы, он установил, что количество полученной при этом теплоты было больше или меньше в точной зависимости от того, больше или меньше было приложено силы.
Остатков	если в исследуемом явлении часть обстоятельств может быть объяснена определенными причинами, то оставшаяся часть явления объясняется из оставшихся предшествующих фактов.	И. Ньютон определял упругость разных веществ по методу остатков. Подвешенные на нити шары раскачивал и они ударялись друг о друга, а он сравнивал как они отскакивают сравнительно с первоначальным отведением в сторону. Потеря движения происходила отчасти из-за сопротивления воздуха, отчасти от недостаточной упругости. Исключив фактор сопротивления воздуха (наблюдая изменение качания без предварительного столкновения) он рассчитал потерю движения, происходящую за счёт столкновения.

При исследовании сложных явлений применение этих методов затруднено, так чрезвычайно проблематично выполнять необходимые условия – выделения только одного аспекта, схожесть во всех аспектах кроме одного, обособление или изолирование причины и т.д. Используя эти методы, мы ориентируемся в понимании того, что есть «причинно-следственные отношения». Они позволяют выбраковывать ложные предположения и приближают к обнаружению истинного (достоверного) суждения, концепции.

Рассуждая о сходных объектах, мы стремимся выделить те признаки, по которым они сравнимы. Умозаключение по аналогии – это рассуждение, в котором из сходства двух предметов в некоторых признаках делается вывод об их сходстве и в других признаках. Когда набор объектов обладает общим свойством, можно сказать, что эти объекты являются аналогичными в отношении указанного свойства и данное свойство является аналогией для этих вещей. Например, у воронов есть свойство – чернота, по этому свойству они аналогичны. Все известные общие свойства некоторого набора объектов – известная положительная аналогия, а все общие свойства, которые известны или же нет – общая аналогия. При анализе некоторого набора объектов мы ориентированы на выявление неизменной связи одной части положительной аналогии с другой частью положительной аналогии. Создаваемые нами общие суждения не распространяются на всю положительную аналогию. Так, свойство быть человеком и свойство быть смертным не исчерпывает всех присущих людям общих свойств.

Рассуждение осуществляется в соответствии со следующими схемами.

Аналогия свойств:

a есть (не есть) P, Q, R, S

b есть (не есть) P, Q, R

b есть (не есть) S.

Например, элементарные аналогии в геометрии. Треугольник и пирамида могут быть представлены как аналогичные фигуры. Будем рассматривать – прямоугольный отрезок и многоугольник. Вначале соединим все точки отрезка с точкой, не лежащей на содержащей отрезок прямой, и получим треугольник. Теперь соединим все точки многоугольника с точкой, не лежащей в плоскости многоугольника, и получим пирамиду. Таким же образом как аналогичные фигуры можно рассмотреть параллелограмм и призму. Для этого переместим отрезок или многоугольник параллельно самому себе в направлении прямой, пересекающей содержащую его прямую или плоскость, и первый шаг опишет параллелограмм, а второй – призму. Сравнивая плоскую и пространственную геометрию можно обнаружить, что треугольник в плоскости аналогичен тетраэдру в пространстве, а так же что треугольник аналогичен пирамиде. Каждая из аналогий имеет значение в своём месте.

Аналогия отношений:

a₁ a_2…. a_n находится (не находится) в отношениях Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ,Sⁿ

b₁ b₂ b _n находится (не находится) в отношениях Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ

b₁ b₂ b _n находится (не находится) в отношениях Sⁿ.

Например, у Юпитера есть спутники. Есть периодические ускорения в движении спутников. Выяснено, что причина вековых неравенств в средних движениях спутников в вековых изменениях эксцентриситета орбиты Юпитера.

У Земли есть спутник – Луна. Есть периодические ускорения движения Луны. Установлены периодические колебания орбиты Земли. Следовательно, вековые изменения эксцентриситета земной орбиты вызывают в среднем движении Луны наблюдаемую неравномерность её движения.

Структура доказательства

Способы аргументации

Универсальная аргументация	Контекстуальная аргументация
прямое и косвенное индуктивное подтверждение	Ссылка на интуицию «Это очевидно…», «Я чувствую, что…»
дедукция тезиса из принятых общих положений	Ссылка на авторитет, традицию, веру «Я постарше вас, поэтому...», «В Библии сказано…», «Эйнштейн говорил, что…»
проверка тезиса на совместимость с другими принятыми законами и принципами	Ссылка на этику «Безнравственно полагать, что…»
Апелляция к здравому смыслу, к вкусу «Присутст­вующие - здравомыслящие люди и согласятся с тем, что...»

Убедительность аргументации зависит не только от того кто и как выступает, представляя свои аргументы и доказательства, но и от того кто слушает. Доказательство имеет обезличенно-универсального адресата, который оценивает истинность тезисов и правильность формы умозаключения. Аргументация строиться исходя из ожидаемого адресата, на которого будет оказываться эмоционально-психологическое воздействие через апелляцию к его убеждениям.

Задание:

1. Какой приём рассуждения использовал Бесиал Аррэ, доктор Сорбонны, в 1671 году: «Теология учит нас тому, что Солнце было создано для того, чтобы освещать Землю. Однако для того, чтобы освещать дом, нужно перемещать факел, а не сам дом. Следовательно, Солнце движется вокруг Земли, а не Земля вокруг Солнца». В какой аудитории такой способ аргументации будет убедителен и почему? Как можно опровергнуть данный способ рассуждения?

2. Являются ли приведённые ниже умозаключения обоснованными только потому, что посылки и следствия в них являются истинными?

Рыбы живут в воде.

Обезьяны не рыбы.

Следовательно, обезьяны не живут в воде

Сравните аргументы:

Рыбы живут в воде.

Киты не рыбы.

Следовательно, киты не живут в воде

Какие ошибки в доказательстве допущены?

3. Оцените степень обоснованности нижеприведённого рассуждения при постановке диагноза:

Болезнь, вызванная гепатитом В имеет признаки лихорадка, увеличение размера печени, желтый цвет кожных покровов, нарушение билирубинового обмена,

У пациента лихорадка, увеличение размера печени, желтый цвет кожных покровов.

Вероятно, у пациента – нарушение билирубинового обмена и болезнь вызвана гепатитом В.

4. Используя схему дедуктивного рассуждения, объясните - почему при превышении груза происходит разрыв нити:

Для всякого объекта верно, что если он имеет свойство S, то он имеет свойство P.

Данный объект А имеет свойство S

Следовательно, объект А имеет свойство P.

5. Х. Дэви (1778-1829) в «Элементы химической философии» (1812) описал особенности познания в естественных науках. Проанализируйте его размышления: какие методы получения знания он считал базовыми и какой способ рассуждения предпочитал? Вставьте в оставленные пропуски (…….) методы получения знания, которые описал Дэви. Обоснуйте его позицию.

«Нежные зеленые растительные волокна (Conferva rivularis) обитают летом почти во всех ручьях, речках, озерах и прудах, в различных сочетаниях света и тени. Всякий, кто будет их внимательно рассматривать, обнаружит пузырьки газа на тех нитях, которые находятся в тени. Он поймет, что данный эффект связан со светом. Это (……..), но оно не дает информации относительно природы газа. Перевернем стакан с водой над водорослью. Газ начнет собираться в верхней части стакана. Когда стакан будет целиком наполнен газом, его можно, накрыв рукой, перевернуть в обычное положение и внести внутрь горящую свечу. Свеча станет гореть гораздо ярче, чем в обычном воздухе. Это (……..). Если рассуждают о явлениях и ставят вопрос о том, производят ли все пресноводные и морские растения такой газ при таких обстоятельствах, то спрашивающий будет руководствоваться (………). Когда после новых опытов будет установлено, что это имеет место всегда, будет установлена общая научная истина о том, что все водоросли Confervae производят на свету особый газ, который в высшей степени способствует горению, о чем свидетельствуют многочисленные подробные исследования».

[1] Позднее мы подробно рассмотрим понятия, характеризующие познавательную деятельность и её результаты. Уточним сейчас только предварительно смысл понятий «информации», «знание, «истина». Информация – это совокупность сведений, образующих идеальное сообщение, уменьшающее или исключающее неопределённость в выборе одной из нескольких возможных альтернатив. Знание – это информация, носителем которой может выступать коллективный субъект и отдельная личность. Для коллективного субъекта знание это сведения об исследуемом объекте, отношениях, а так же свернутая схема деятельности и общения, полученные в процессе коллективного познания. Для личности знание это сведения, полученные как из коллективного, так и индивидуально опыта, представляющие собой относительно осмысленные убеждения об исследуемых объектах и отношениях, как полагает, истинные и рационально аргументированные. Истина – это категория, позволяющая оценить качество знания, которое соответствует реальному положению дел и адекватно представляет предмет и отношение, о которых делается умозаключение. Основаниям полагать, что эти сведения соответствуют реальному положению дел, являются факты, полученные в результате опыта и сделанные на их основании непротиворечивые логические умозаключения, а так же возможность практически применить это знание, получив желаемый результат. В коллективном познании сведения фиксируются как истинные с согласия (конвенции) экспертного сообщества по этому поводу.

[2] Схематическое изображение объёмов понятий и отношений между объёмами понятий с помощью геометрических фигур (кругов, прямоугольников, эллипсов) ввёл выдающийся математик, физик и астроном Леонард Эйлер (1707-1783). Если имеются два каких-либо понятия А и В, то объёмы этих понятий можно представить в виде кругов, а возможные отношения между этими объёмами – в виде пар кругов.

Несовместимость:

Совместимость:

[3] Основные логические операции:

Логическая операция	Обозначение	Смысл	Пример
Высказывание (суждение)	Х	«Есть» (Утверждается что-либо)	«3 есть простое число»
Инверсия (логическое отрицание)	Х	«не несть, неверно» (Отрицается что-либо)	«неверно, что 3 есть простое число»
Конъюнкция (логическое произведение)	^	«и» (Получение нового высказывания путём их объединения)	«6 делится на 2», «6 делится на 3». Их конъюнкция: « 6 делится на 2 и 6 делится на 3»
Дизъюнкция (логическое сложение)	>	«или» (Получение нового высказывания путём их включающего объединения)	«2 меньше 3 или 3 меньше 5»
Импликация (логическая связка)	→	«если…, то» (Получение нового высказывания, которое считается ложным, если х истинно, а у – ложно, и истинным во всех остальных случаях)	«Если число 12 делится на 6, то оно делится на 3»; «Если Волга – озеро, то Москва – большая страна» (связь по содержанию и осмысленность не имеют значения)
Эквивалентность (логическая равнозначность)	~	«если и только если» (объединение двух высказываний, имеющих одинаковое значение истинности или ложности)	«Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным»»

[4] Дальнейшее рассуждение и проверку этого предположения можно посмотреть в книге Пойа Д. «Математика и правдоподобные рассуждения». М., 1975, с. 56 – 64.

[5] Сформулированы Д. С. Миллем (1806-1873) в «Системе логики силлогистической и индуктивной» (1843).

[6] Итальянский физик и астроном Галилео Галилей (1564–1642) открыл параболическую траекторию брошенных тел и количественные законы их движения. С помощью телескопа он наблюдал спутники Юпитера и заметил, что они обращаются вокруг Юпитера аналогично Луне, обращающейся вокруг Земли, а также аналогичны планетам, обращающимся вокруг Солнца. Он открыл также фазы Венеры и отметил их сходство с фазами Луны. Всё это было аргументами в пользу гелиоцентрической теории Коперника. Но Галилей не заметил аналогию между движением небесных тел и движением брошенных тел, которую увидел Ньютон. Траектория брошенного тела обращена своей вогнутостью к земле, и то же самое имеет место для траектории Луны. Эта аналогия важна для понимания закона всемирного тяготения. Ньютон в «Математических началах натуральной философии писал» (1687): «… брошенный камень под действием собственного веса отклоняется от прямолинейного пути, по которому он должен был бы следовать под влиянием только начального броска, и вынужден описать кривую линию в воздухе, и … наконец, упасть на землю; и чем больше скорость, с которой он брошен, тем дальше он пролетит, прежде чем упадёт на землю. Поэтому мы можем предположить, что при соответственно возрастающей скорости он опишет дуги в 1, 2, 5, 10, 100, 1000 миль, прежде чем упадёт на землю, пока наконец, покинув пределы Земли, он не должен будет перейти в пространство, не коснувшись её».

[7] Гипотеза – это не полностью обоснованное предположение о причинах явления, о ненаблюдаемых связях между явлениями. Теория – это обоснованное и подтверждённое объяснение явлений, выявляющее обуславливающие их закономерности.

[8] Классификация чисел. Математики различают несколько видов чисел. Число – это математическая абстракция, используемая для счёта и указания порядкового номера предметов.

Натуральные числа – это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. Наименьшее натуральное число – 1, но наибольшего – нет. За каждым натуральным числом следует в порядке возрастания ещё одно, на единицу большее натуральное число.

Целые положительные числа – это натуральные числа с нулём: 0, 1, 2, 3, 4, ….

Целые числа – это расширенный ряд натуральных чисел и противоположные им числа меньше нуля, отрицательные числа: … - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 …

Рациональные или дробные числа – числа, которые можно записать как дробь, например ¹/₂, ¹/₃. Они включают и целые числа, так как их можно записать дробью: ¹/₁, ²/₁. Они включают все дроби между целыми числами, так как их можно записать дробью 1 ¹/₂ - то же самое, что ³/₂._. Все рациональные числа можно записать как конечные периодические десятичные дроби. Так, ¹/₂ – это 0,5, а ¹/₃ – это 0, 333333….

Иррациональные числа – те числа, которые нельзя записать как конечные или периодические десятичные дроби или выразить как рациональные между двумя числами. Эти десятичные дроби представляют собой бесконечную повторяющуюся последовательность. Примерами являются ∏, √2 и ℮.

Вещественные числа или действительные числа – все вышеперечисленные.

Комплексные числа – в их состав входит ί , определяемое как квадратный корень из -1.

[9] Обратная теорема Пифагора: если в каком-то треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, то треугольник прямоугольный и против большей стороны лежит прямой угол. Доказательство: пусть длины треугольника ∆ суть a , b, c, причём a² + b² = c². На сторонах прямого угла отложим от его вершины О отрезки О X и ОY, равные a и b соответственно. Получается прямоугольный треугольник ОXY, гипотенуза XY которого имеет, по теореме Пифагора, длину √ a² + b², то есть с. Таким образом, треугольники ∆ и ОXY имеют соответственно равные стороны и, следовательно, равны. Значит, треугольник ∆ прямоугольный, и против стороны с длинной с лежит прямой угол.

[10] Более подробное описание способов математических доказательств можно посмотреть в книгах: Успенский В.А. «Простейшие примеры математических доказательств». М., 2009; Пойа Д. «Математика и правдоподобные рассуждения». М., 1975; Кранц С. «Изменчивая природа математического доказательства». М., 2016.

[11] Общий обзор развития аксиоматического метода от Евклида до Д. Гильберта можно посмотреть в книге: Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М., 1969.

[12] Применение аксиоматического метода в естественных науках носит локальный характер. Например, результативным признаётся аксиоматизация теории эволюционной морфологии.

[13] Наблюдение – это основанное на ощущениях целенаправленное изучение предметов, в результате чего формируется знание