Знаменитая история о маленьком Гауссе

Начнем с вопроса к читателю.

В новом доме вдоль стены холла строится лестница. В ней 19 ступенек. Со стороны холла лестница будет об­лицована квадратными резными панелями с размерами,

Рис. 72

равными размерам ступенек. Плотник поручает своему помощнику принести панели из магазина. Помощник спрашивает: «Сколько панелей я должен принести?» «Оп­редели сам», — отвечает плотник. Помощник начинает считать: 1 + 2 = 3; +3 = 6; +4=10; +5 = ...

Плотник смеется: «Подумай. Разве ты должен сосчи­тывать их одну за другой?»

Дорогой читатель, что бы вы сделали, если бы оказа­лись на месте помощника?

Если вам не удалось найти лучший способ, я спрошу: «А если бы лестница не примыкала к стене и потребова­лись бы квадратные плиты для обеих сторон? Помогло бы вам, если бы я посоветовал решить этот вопрос, сделав образцы этих двух сторон из бумаги?»

Дальнейший материал представляет собой различные экспериментальные вопросы, с помощью которых я изу-

чал особенности проблем, связанных с задачей Гаусса.

Теперь я расскажу историю о маленьком Гауссе, буду­щем знаменитом математике. Она заключается в следую­щем: шестилетним мальчиком он учился в средней школе небольшого городка. Учитель предложил контрольное за­дание по арифметике и объявил классу: «Кто из вас пер­вым найдет сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10?» Очень скоро, в то время как остальные все еще были за­няты вычислениями, юный Гаусс поднял руку. «Liggetse», — сказал он, что означало: «Вот!»

«Каким образом, черт побери, тебе это так быстро удалось?» — воскликнул пораженный учитель. Юный Гаусс ответил — конечно, мы не знаем точно, что он отве­тил, но на основании экспериментального опыта я считаю, что он ответил приблизительно так: «Если бы я искал сумму, складывая 1 и 2, затем прибавляя к сумме 3, за­тем к новому результату — 4 и т. д., то это заняло бы очень много времени; и, пытаясь сделать это быстро, я, пожалуй, наделал бы ошибок. Но посмотрите, 1 и 10 в сумме дают 11, 2 и 9 снова в сумме составляют Н. И так далее! Существует 5 таких пар; 5, умноженное на 11, даст 55». Мальчик понял суть важной теоремы ¹. Запишем это в виде схемы:

Рис. 73

Подобно учителю, предложившему классу эту зада­чу, я задавал ее многим испытуемым, включая детей раз­ного возраста, желая узнать, будет ли найдено правиль­ное решение и какие средства, какие условия могут по­мочь найти его. Для того чтобы изучить связанные с этим решением шаги и его характерные черты, я применял систематические вариации; некоторые из них опишу в дальнейшем. Иногда я предлагал очень длинные ряды. Я прямо говорил: «Решите задачу, не прибегая к громозд­ким сложениям» — или просто ждал реакции испытуе­мых.

Вот лучшие из типичных процессов, которые я обна­ружил.

1. Сначала не было заметно, что человек решает за­дачу. Затем: «При заданной последовательности чисел, которые нужно сложить, конечно, правильно складывать их в порядке следования — но это так утомительно». Вдруг: «Это не просто любая последовательность; числа последовательно возрастают, шаг за шагом, — этот факт может... он должен иметь какое-то отношение к сумме. Но как эти две вещи связаны друг с другом — форма по­следовательности и ее сумма, — какова внутренняя связь между ними, остается неясным; я каким-то образом чув­ствую это, но не могу это понять».

Через некоторое время: «У ряда есть направление воз­растания. У суммы нет направления. Так вот: возраста­ние слева направо связано с соответствующим убыванием справа налево! Этот факт должен иметь отношение к сумме. → все больше и больше; ← все меньше и меньше — в той же пропорции. Если двигаться слева направо, от первого числа ко второму, то увеличение будет равно единице; если двигаться спра­ва налево, от последнего числа к предпоследнему, то уменьшение будет равно единице. Следовательно, сумма первого и последнего числа должна быть той же, что и сумма следующей внутренней пары. И это должно быть так всюду!»

«Остается только ответить на вопрос: сколько таких пар? Очевидно, что число пар равно половине всех чисел, следовательно, равно половине последнего числа».

В сущности, здесь происходит перегруппировка, реор­ганизация ряда в свете данной задачи. Это не слепая пе­регруппировка, она естественно возникает по мере того, как испытуемый старается постичь внутреннюю связь

между суммой ряда и его структурой. В этом процессе различные элементы явно приобретают новый смысл, но­вое функциональное значение. 9 теперь рассматривается не как 8+ 1, а как 10—1, и т. д.

Если подобным образом приходят к общей формуле

то рассматривают ее члены в свете такой структуры: (n+1)представляет величину пары, число пар. Но многие знающие только формулу, подходят к ней совершенно слепо. Для них все формулы

попросту эквивалентны ¹. Для них, по-видимому, оба n означают одно и то же. Они не осознают, что в случае пер­вой формулы n в выражении n+1 является одним из членов пары, тогда как n в означает число членов ряда, определяющее число пар. Конечно, эти четыре формулы приводят к одному и тому же конечному результату и яв­ляются в некотором смысле эквивалентными, но психоло­гически они не эквивалентны ². В действительности они различны и с логической точки зрения, если рассматривать их в отношении их формы и функции, а не только в терми­нах внешней эквивалентности. Конечно, это логический вопрос, но только при условии, что из логики не исключа­ется функциональное значение членов, генетический во­прос, вопрос подхода к формуле — вопрос осмысленного нахождения или понимания формулы.

Формула оказывается в равной степени применимой, когда ряд оканчивается нечетным числом, например:

¹ Например, даже формула Или сравните со слепым обобщением формулы в виде формулы

² Психологическое различие объективно выражается в реакци­ях на измененные задания. См. с. 148—149.

Здесь описанная группировка иногда вызывает колеба­ния: что делать с числом, которое нельзя объединить в пару? В этом случае необходим следующий шаг. Это от­дельное число может привести к неожиданной догадке: «Это число, должно быть, является половиной пары,

И после некоторого обдумывания выясняется, что это не меняет формулы: есть 3 пары и остаток в сере­дине, который теперь рассматривается как половина пары ¹.

Существуют другие способы продуктивных и осмыс­ленных действий. Следующая последовательность дейст­вий одиннадцатилетнего мальчика подобна только что описанной. После того как я просто спросил его: «Че­му равно 1+2+3+4+5+6+7+8+9?» — он недовольно сказал: «Должен ли я их сосчитать?» «Нет», — ответил я. Неожиданно улыбнувшись, он сказал: «На конце на­ходится число 9. 8 плюс 1 в начале ряда тоже равно 9, и то же должно быть для других пар...» — и назвал ответ.

2. Другой способ, найденный двенадцатилетним маль­чиком, начинался иначе. Задание было таким: 1+2+3+ + 4 + 5 + 6+7.

Когда его попросили не вычислять сумму шаг за ша­гом, он медленно проговорил: «Эти числа последователь­но увеличиваются...» А затем с неожиданной радостью: «А, у меня есть идея! Я просто возьму число, стоящее в середине, и умножу его на количество членов последова­тельности, которое, конечно, равно последнему числу». Было ясно, что для него это открытие. Когда его попро­сили объяснить, что он имеет в виду, он взял среднее

число 4 и умножил его на 7. Когда ему дали ряд, оканчи­вающийся на 8, он взял среднее между 4 и 5 значение, то есть 4.

На языке общей формулы это означает: с · п (средний член, умноженный на n), или Эта формула структурно отличается от первой, в которой n+1 было суммой каждой пары, а ⁿ/₂ — числом пар.

Я хотел еще лучше понять, что он имел в виду и как он достиг решения. Он не мог дать какую-либо ясную ма­тематическую формулировку, но сказал: «Числа последо­вательно увеличиваются. Это означает, что центральное число важно для определения суммы. Числа увеличива­ются к правому концу ряда, они уменьшаются к его ле­вому концу. Таким образом, то, что прибавляется при движении направо, отнимается при движении налево» (см. рис. 74).

Рис. 74

¹ Ср. гл. 1, с. 77 и сл. Испытуемые обнаруживают структур­ное нарушение и устраняют его: два структурных нарушения ком­пенсируют друг друга и исчезают, образуя цельную, ясную и чет­кую структуру.

Рис. 75

Этот способ служит разумным обоснованием хорошо» известной процедуры, в ходе которой учитель говорит: «Для того чтобы определить сумму такого ряда, выпи-

Рис. 76

шите его, затем прямо под ним напишите тот же самый ряд в обратном порядке и сложите все вертикальные па­ры. Они равны:

1+ 2+ 3 + 4+ .............................. +58+59+60

60+59+58 +57+ ... +3+ 2+ 1

______________________________

61+61+61+61…… 61+61+61+61»

Несколько человек в моих экспериментах предложили эту процедуру в качестве решения. Они сказали, что выучи­ли этот способ в школе. Когда их спросили, почему они написали ряд дважды и второй раз в обратном порядке, все они были весьма озадачены и не знали, что ответить. Когда, настаивая, я спросил: «Мне нужна сумма ряда, зачем же сначала находить удвоенную сумму?» — боль-

шинство отвечали: «Ну, в конце концов это ведет к ре­шению». Они не могли объяснить, как возникла идея удвоения. Признаюсь, что я сам долгое время не мог объ­яснить, как можно разумным образом прийти к идее удвоения. Она казалась мне, как и многим другим, трю­ком, похожим на случайное открытие ¹.

Когда я показал эти результаты математику, он ска-зал: «Зачем беспокоиться о том, что вы называете «функ­циональными различиями», «различиями в значении чле­нов»? Важна только формула, которая одинакова во всех случаях».

Такой подход, конечно, оправдан, если дело касается лишь правильности или валидности конечного результа­та. Но если вы пытаетесь понять психологический про­цесс продуктивного мышления, вы должны исследовать, рассматривать члены в их функциональном значении. Это приводит к решению в ходе разумных, продуктивных процессов, в этом и состоит основное различие между осмысленным поиском формулы и усвоением в результа­те слепого обучения или случайных проб и ошибок.

Структурные операции в различных описанных выше процедурах в некоторых отношениях отличаются друг от друга ². Но существует также и сходство между ними:

¹ Ср. похожий способ определения площади треугольника с по­мощью дополнения его до параллелограмма или дополнение пря­моугольного треугольника до прямоугольника.

Рис. 77

² Организация, группировка и т. д. в наших трех примерах соответствуют следующим формулам:

величина одной пары число пар

центральное значение число членов

сначала испытуемые видят проблему, осознают ее. Для этого необходимо понимание, схватывание конкретной структуры ряда в свете того, что требуется определить. Потребность понять внутреннюю связь между данной структурой и поставленной задачей ведет к перегруппи­ровке, к структурному переосмыслению. Фазы и операции решения ни в коей мере не образуют случайную, произ­вольную последовательность; напротив, они возникают как части единого целостного процесса мышления. Ихвыполнение обусловлено видением целостной ситуации, ее функциональными требованиями, а не является резуль­татом простой случайности или бессмысленного повторе­ния старых эмпирических связей.

Хотя весь процесс иногда длится не более минуты — как в случае двух упоминавшихся мальчиков, — идея ча­сто возникает в весьма туманной форме, сначала как воз­можные направления основных способов группировки и т. д. Порой до того, как ситуация становится действитель­но прозрачной, совершенно ясной, проходит некоторое время. Это особенно относится к случаю, когда ищется формула. Схватив идею, испытуемые могут увидеть неко­торые структурные свойства искомого равенства задолго до того, как способны написать его конкретную формулу. Я думаю, что этот этап мышления часто представляется туманным главным образом потому, что еще не разрабо­таны точные понятия для описания структурных свойств, свойств целого. Конечно, действительное решение проб­лемы станет возможным только после того, как будут выявлены все относящиеся к делу вопросы. Но идея сим­метричной компенсации часто является существенной частью этого процесса. На этом этапе испытуемые, часто не колеблясь, отвергают предлагаемые формулы, которые не согласуются с найденными структурными свойствами, отвергают задолго до того, как могут написать правиль­ную формулу. Так, композитор, представляя себе мело­дию в целом, пытается конкретизировать ее на фортепиа­но, придумывает что-то и решительно отвергает как не­подходящее и т. д., пока наконец не находит именно то, что воплощает его замысел.

II

Я приведу несколько примеров задач, которые исполь­зовал в экспериментальном исследовании задачи Гаусса. Как и в случае задачи на определение площади паралле­лограмма, моими испытуемыми были люди разного воз­раста, главным образом дети. На примере 1+2+3+4+ + 5 + 6 им был показан метод Гаусса, обычно — без фор­мулы, а иногда — с формулой. Затем, для того, чтобы увидеть, каковы будут спонтанные действия испытуемых, какая им потребуется помощь, какая помощь действи­тельно окажется эффективной и т. д., им предъявлялись задания типа описанных ниже.

Читатель может попытаться угадать, какова была при­рода реакций в этих случаях: иногда встречались пре­красные продуктивные процессы (A-реакции, особенно в случае задач d и е), иногда испытуемые обобщали фор­мулу, иногда встречались бессмысленные B-реакции.

Предоставим читателю возможность попробовать са­мому: пусть он увидит, что с ним произойдет в процессе решения этих задач — так или иначе, все они являются A-задачами.

Чему равна сумма:

a. 1 + 2+3 + 4........... +58 + 59

b. 17 + 18 + 19 + 20+21 + 22 + 23

c. 1+2+3+4 +16 + 17 + 18 + 19
bc. 96 + 97 + 98 +102 + 103 + 104

d. 1+5+9+13+17+21

bd. 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

Чемуравно произведение:

e. 1ּ2ּ4ּ8ּ16ּ32

be. 5ּ10ּ20ּ40ּ80ּ160

f. ⅛ּ¹/₄ּ¹/₂ּ1ּ2ּ4ּ8

Я уже говорил, что все эти задачи являются в опре­деленном смысле A-задачами. Надеюсь, что вам это по­нятно.

В а первоначальный ряд продолжен. Если выучена формула, то эта задача являемся просто частным случаем формулы.

Ряд b начинается не с 1. Как действовать в этом слу­чае? Не видите ли вы какого-либо прямого пути? Конеч­но, выбрав круглое число, я сделал это задание более легким. Подумайте о формуле, которая будет включать этот случай как частный.

В ряде с есть разрыв. Мешает ли он вам?

В ряде d изменена разница между членами. Что вы будете делать в этом случае?

Для рядов e и f нужно определить произведение. Уди­вило ли это вас? Нашли ли вы решение? Могли ли вы написать формулу?

Конечно, я не учил маленьких детей формулам, я так­же не просил найти их. Я часто выбирал более простые числа, чем в рядах b и bc, или более легкие случаи, чем е, f, но не обязательно более короткие ряды, а часто го­раздо более длинные. Нужно соблюдать осторожность в отношении последовательности заданий. Лучше всего пе­рейти сразу от первоначального задания к одному из по­следних, к d или е.

Часто при решении таких задач сталкиваешься с ин­тересными случаями: иногда — с удивительно точными реакциями, о чем свидетельствуют также замечания испытуемого, а иногда — с полной беспомощностью, уди­вительно бестолковыми или слепыми ответами даже у умных людей, особенно если такая слепота возникает из-за действий по привычке или в результате механического усвоения (см. гл. 1, с. 44). Характер как осмысленных, так и бессмысленных реакций проливает свет на обсуж­даемые психологические проблемы.

Что касается задач типа е и f, требующих перехода от сложения к умножению, то я могу привести следующий случай: на примере 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 я показал метод Гаусса одиннадцатилетнему мальчику. Затем я дал ему ряд 1 · 2 · 3 · 10 · 15 · 30. «Нет, — сказал он, — здесь не­возможно применить этот прекрасный метод...» Но спустя некоторое время внезапно добавил: «А если перемножить эти числа, то метод сработает!..» — и он показал способ

группировки 30 · 30 · 30, самостоятельно открыв примене­ние данного метода к произведениям.

В форме сложения этот последний ряд был B-случаем, а в форме умножения — А-спучаем. Это дает возможность систематически использовать в экспериментах пары А- и В-форм таких рядов, как следующие:

5 + 10 + 20+40+80 + 160 (B-случай)

5 · 10 · 20 · 40 · 80 · 160 (А-случай)

1 + 2 + 4 + 8+16+32 (B-случай)

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 (A-случай)

Однако для некоторых рядов задача в форме сложе­ния представляла собой А-случай:

5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 (A-случай)

5 · 10 · 15 · 20 · 25 · 30 (B-случай)

Или:

1+2+3+4+5+6	Первоначальный ряд
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6	(B-случай)
1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 12	(A-случай)
1+2+3+4+6+12	(B-случай)

В каких случаях отвергают этот метод, в каких — при­меняют, какие при этом возникают трудности и т. д. - все это характеризует понимание.

Существуют сходные примеры B-заданий, которые с большей вероятностью вызывают слепые реакции. Если, к примеру, вместо ряда

a) 1 + 2+3+7 + 8+9
дать ряд

b) 1 + 2 + 3 + 4+7+8+9,

или ряд

c) 1 + 2 + 3 + 4+6 + 7,

то испытуемые иногда не замечают требования симмет­ричности двух половин ряда относительно положения разрыва. Однако некоторые испытуемые правильно и без колебаний (А-реакции) применяют метод в задачах ти­па а), тогда как в задачах типа b) и с) они колеблются, не­смотря на то, что составные части этих рядов, несомнен­но, больше похожи на первоначальный ряд 1+2+3+4+ +5+6, чем ряд а). Они строго различают эти типы, ищут требуемую симметрию и в большинстве своем находят соответствующие, более сложные действия, например вос-

станавливая симметрию в b) путем исключения числа 4, добавляя недостающее в с) число 5 или меняя 4 на 5 и т. д.

Приведем следующие примеры А—B-пар в задачах типа d:

1+2+3+4+5+6

А 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 А 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 В 1+2+3+4+11+13 В 1+2+3+7+9+11

Хотя явно бессмысленно в B-случаях применять метод Гаусса (особенно если ряд длинный), тем не менее неко­торые испытуемые слепо используют его. В то же время другие испытуемые разумно отвергают B-задачи или ре­шают их с помощью громоздкого метода, в то время как с A-задачами справляются вполне осмысленно.

Таким образом можно выявлять, изучать и проверять, какие из структурных свойств задачи Гаусса являются «существенными», какова внутренняя структурная связь между операциями и формой, какие факторы являются периферическими. В различных типах задач существен­ными были:

в b — независимость структурных факторов от поло­жения начала ряда;

в с — обязательная симметрия ряда, проверяемая по наличию и месту разрыва;

в d — независимость структурных особенностей от ве­личины постоянной разности членов;

в е — независимость внутренней структурной связи от характера конкретных операций, о чем свиде­тельствует перенос на структурно сходные слу­чаи с умножением.

Особенно интересно исследовать, какие формы задач лучше способствуют открытию метода с помощью учителя или без него. И с теоретической точки зрения очень важ­но было установить, что более короткие ряды отнюдь не являются самыми лучшими и даже что ряд 1 + 2 + 3 + 4+ + 5 + 6 не обязательно лучше ряда 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11.

Не следует забывать следующий тривиальный факт: неупорядоченные ряды с переставленными членами вызы­вают особые затруднения и при применении метода, и при его открытии. Правильный порядок делает ряд умо­постигаемым, указывает на необходимую согласованность членов ряда. Однако некоторые изменения порядка не

являются, по-видимому, неблагоприятными. Важна, ве­роятно, не величина отдельного отклонения от первона­чального ряда; помогать или мешать ясному видению це­лого может скорее определенный тип упорядоченности. В случае

1+10+2+9+3+8+4+7+5+6

испытуемый иногда останавливается и восклицает: «Тут есть последовательность: эти числа возрастают, а эти — убывают», показывая

Рис. 78

или образует пары:

Рис. 79

Последний прием приближается к хорошо известным приемам «быстрого счета», которыми пользуются бухгал­теры, складывая большие числа. Вместо того чтобы счи­тать, последовательно складывая числа, они считают па­рами или тройками, образуя легко запоминаемые круглые числа. Этим приемам, конечно, недостает понимания свя­зи с «принципом» построения ряда.

III

Столкнувшись с задачей определения суммы ряда и не получив никакой помощи, многие не могут найти гаус­сова решения. Почему? Что делает эту задачу для мно­гих столь трудной? Что кроется за словами: «Чтобы ре­шить эту задачу, нужно обладать гением юного Гаусса»? Но почему тогда это сделал маленький мальчик из упо­минавшихся примеров, причем сделал это последовательно и с легкостью? Что с психологической точки зрения ле­жит в основе таких творческих достижений?

Задачи Гаусса связаны со структурными трудностями. И чтобы преодолеть эти трудности и, несмотря на них,

увидеть путь к решению, требуются некоторые условия. На основании своего опыта могу сказать, что существен­ными чертами подлинного решения является то, что продуктивно мыслящий человек

не скован, не ослеплен привычками; не просто рабски повторяет то, что выучено; не действует механически;

обращает внимание не на отдельные части задачи, а на задачу в целом;

его действия не являются произвольными, случай­ными, он открыто, свободно подходит к проблемной ситуации, рассматривает ее в целом, старается по­нять, как связаны условия задачи и то, что требует­ся определить;

пытается понять и проследить внутреннюю связь между формой задачи и поставленной целью, постичь суть проблемы, понять и сделать прозрачными ос­новные структурные особенности упорядоченных рядов, несмотря на существующие трудности.

Задача Гаусса действительно является структурно сложной, и главная трудность заключается, видимо, в сле­дующем: увидеть внутреннюю связь между формой и за­данием (суммой) трудно, 1) потому что скрыты компен­сирующиеся разности, 2) потому что

Психологически

сильный порядок прогрессии должен быть разбит на требуемые симметричные части: → и ← .

А что если бы мы упростили структуру данной ситуа­ции, не просто предлагая ряды с меньшим числом членов, но используя задачи, в которых структурные особенности не так скрыты?

Некоторые формы задач, сходные с предыдущими примерами, явно упрощают дело, например:

99,8+99,9+100+100,1+100,2=?

273³/₅+273⁴/₅+274+274¹/₅+274²/₅=?

или

271+272+273+274+275=?

Но давайте действовать радикально. Будем использовать задания, в которых компенсирующиеся разности не мас­кируются структурой. Решение становится естественным, если, например, спросить, какова сумма — 3—2—1 + 1 + + 2 + 3 ¹.

Конечно, некоторые в этом случае будут действовать заученным образом, слепо, постепенно. Но большинство испытуемых, рассматривая ряд целостно, смеются или удивляются столь внушительно выглядящей, но триви­альной задаче. Это происходит практически со всеми ис­пытуемыми. В таких случаях иногда получаешь ответ, даже не задавая вопроса, не спрашивая, какова сумма. Если ряд длинный, решение часто достигается не в ре­зультате формирования отдельных пар, а в результате осознания структуры целого, элементы которого образуют прогрессию. Если добавляется член, который явно не вписывается в ряд, как, например, в

9-5-4-3-2-1+1+2+3+4+5 или в

-5-4-3-2-1 + 1 + 9 + 2 + 3 + 4 + 5,

то он часто выделяется, сам себя изолирует.

Наш случай приближается к заданиям типа т+а—а пли m+а—а+b—b+с—с. Операция 1 требует прибавле­ния а к т, операция 2 — вычитания а, но операция 2 внут­ренне связана с операцией 1, являясь ее противополож­ностью. Операция 2 появляется в этом контексте в ответ на требование уничтожить результат операции 1, н наобо­рот. В этом заключается их структурное значение. Обе операции рассматриваются и функционируют не как про­стая сумма двух операций, а в их внутренней связи, ко­торая делает ненужной, совершенно бессмысленной каж­дую из них в отдельности.

¹ См. также пример f на с. 150. Решит ли читатель его быстрее, чем задачи е, bе или даже с и bd ?.

Осознание этой связи, отказ производить действия, ко­торые компенсируют друг друга, связаны с естественным, осмысленным пониманием. Образованный психолог мо­жет даже вспомнить в этой связи о закономерностях по­ведения крыс. По-видимому, очень трудно, а часто просто невозможно научить крыс двигаться по лабиринту так, чтобы они проходили один и тот же путь в противопо­ложных направлениях (см. рис. 81).

Не следует забывать, однако, что в некоторых случаях определенный тип противоположных действий становится вполне разумным — например, в ритмической игре, в рит­мическом танце, подобных ряду —1 + 1, —1 + 1 и т. д. или ряду —1 + 1, —2 + 2, —1 + 1, —2 + 2 и т. д. Здесь сим­метрия противоположных движений играет важную пози­тивную роль.

В 1931 г. во Франкфуртском институте я поручил Мисс Симссен изучить психологические различия между осмыс­ленной и бессмысленной работой. В отличие от осмыслен­ной расстановки книг на полках мы использовали внеш­не сходные с ней сизифовы задания: ставить книги на полки в ряд, затем снимать их, ставить на прежние ме­ста, затем опять расставлять на полках и т. д. ... В обоих случаях действия наблюдались в течение примерно полу­часа. Испытуемые выполняли бессмысленное задание довольно вежливо, хотя и неохотно и с явным затрудне­нием. Со временем сопротивление нарастало и дело доходило до открытого протеста. Но иногда в ходе выпол­нения задания происходило нечто поразительное: у неко­торых испытуемых характер задания менялся и стано­вился чем-то более привлекательным — действия стано­вились похожими на ритмический танец, книги снимались и ставились на прежнее место размеренными танцеваль­ными движениями, продолжать действия уже было не-

столь обременительно, задание превратилось в шутливую игру. Однако даже такие действия не могли продолжать­ся длительное время.

Вернемся к обсуждаемой нами проблеме: роль осмыс­ленного упорядочения, особенности разумной группиров­ки становятся технически ясными, когда мы даем детям следующие задачи и сравниваем их подходы и реакции:

1. m + а—а + b—b + с—с

2. т+а+b—с—а+с—b

3. m + a + b + c—а—b—с

или 4. т+а + b+с—с—b—а и т. д. с m или без него ¹.

В первом случае мы от большинства испытуемых по­лучаем быстрые ответы: «Конечно, сумма равна т», иног­да с замечаниями типа: «Какой смысл делать что-нибудь, чтобы тут же уничтожить результат действия?» - и они разумным образом группируют следующие пары

m |+а—а|+b—b| +с—с

и никогда

т+а| —а+b| —b+с| —с²

Сходным образом, но более решительно в случае, когда имеется ряд

т—а + а—b + b—с + с...

¹ Другие конкретные случаи:

96+77-77+134-134,

или 96+77-134-77+134,

или 48+79-124-79+124,

или 48+79-79+124-124.

В последнем случае слепая процедура:

48+79=127

127-79=48

48 + 124 и т. д.

² Чтобы проиллюстрировать теоретические представления о проблеме переноса, рассмотрим А— B-случаи в элементарной форме:

1) Сначала показываем, заучиваем a+b—а. Например 35 + 14—35

2) A-форма c + d—c 87+69—87

3) B-форма а + b—с 35+14—87

4) A-форма а + b—b 35+14—14

В 1) процедура группировки первого члена с последним «по­казывается, заучивается». Во 2) все члены изменены, но сохраняется структура оригинала. В 3) изменений меньше; этот пример более сходен с заученным образцом с точки зрения поэлементного анализа, с позиций представлений о простой сумме, стимуле — ре­акции. Но если имеется какое-нибудь понимание, то ребенок совершит перенос на задания 2) и 4), но не на задание 3).

мы получаем

т |— а + а| — b + b|— c + c...

но не т—а| +а—b| + b—с | +c...

Большинство испытуемых даже не пытаются искать сум­му т+а или разность т—а. Или, если пытаются, скоро досадуют на это, восклицая: «Как глупо, что я не уви­дел!»

Во второй задаче мы обнаруживаем больше не свя­занных между собой слепых действий. Часто наблюда­ются колебания, беспокойство, замечания вроде: «Это нужно упорядочить», «Здесь нет порядка», и дети пере­писывают ряды, образуя осмысленные пары.

Третий тип задач кажется проще второго и приводит к быстрому нахождению соответствующих половин: за­дачи решаются легче, если числа не являются произволь­ными, а используется определенный принцип, как в т—1—2—3 + 3 + 2 + 1 и других подобных примерах.

Простым экспериментальным приемом изучения та­ких разумных способов группировки является так назы­ваемый «квадратный набор». Требуется сложить четыре числа, два из которых при сложении дают круглое число или взаимно уничтожаются

Набор 1) обычно понимается и решается как состоящий из горизонтальных пар, набор 2 — в виде вертикальных. Так же обстоит дело и в случаях, когда два или более числа не компенсируют друг друга, а составляют круглое число:

	a	b
Если обозначать четыре члена в таких наборах			,	то
	c	d

предпочтительным способом группировки в наборах типа 1 будет ab/cd, а в наборах типа 2 — ac/bd. Психолог знает, что эти закономерности были установлены в результате исследований роли организации в восприятии, которые

привели к открытию так называемых «гештальттенден­ций» в группировке ¹.

В этих экспериментальных исследованиях (в них ис­пользовались в основном наборы точек или простые фигу­ры) была обнаружена сильная тенденция к восприятию согласованных друг с другом целостных свойств, «разум­ные способы группировки», признаки которых опреде­лялись внутренней структурой ситуации — так называе­мым фактором «хорошего гештальта».

Эти исследования показали, что тенденция к «разум-лому» восприятию коррелирует с осмысленными законо­мерными математическими свойствами ситуаций — хотя и с некоторыми ограничениями, вследствие того, что в вос­приятии важны не столько «законы образования клас­сов», сколько свойства целого (см. с. 284 и сл.).

Проблемы, которыми мы здесь занимаемся, не связа­ны лишь с арифметикой или с обучением арифметике. Примером фигур, похожих на арифметический квадрат­ный набор, является следующая оптическая констелля­ция, в особенности констелляция сплошных фигур — на­пример, черных фигур на белом фоне. Набор 1 обычно рассматривается в виде вертикальных пар, а набор 2 — в виде горизонтальных ².

ⁱ См.: Wertheimer M. Untersuchungen zur Lehre von der Gestalt.—"Psychologische Forschung", 1923, Vol. 4, S. 322—323; См. также: E11 i s W. D. Op. cit., p. 82, или B e a r d s l e e D. C., W e r-t h e i m e r M., Op. cit, p. 128. Например,

Рис. 82 Рис. 83

Рис. 82 мы видим как ad/bc, а не как ab/cd. И рис. 83 рассмат­риваем как bcfgkl.../adehi, а не как acegi.../bdfhk..., практически не­возможно воспринять изображение на рис. 83 как целостную фигуру.

² Ср. экспериментальные исследования движения с помощью специально подобранных квадратных наборов.

Schiller P. v. Stroboskopische Alternativversuche. — "Psycho­logische Forschung", 1933, Vol. 17, S. 179—214.

Рис. 84

Рис. 85

Или рассмотрим такую ситуацию:

Рис. 86

При работе с такими наборами — скажем, кубиков — даже у маленьких детей обнаруживается сильная тенден­ция к действиям в разумном направлении. Они часто на­ходят это направление спонтанно, «улучшая», «исправ­ляя» ситуацию. При этом нет необходимости в языке — они просто разумно соединяют объекты, пригоняя их друг к другу. Нередко для осмысленного действия нет необходимости даже давать задание: оно определяется внутренней динамикой ситуации. Мы опять сталкиваем­ся здесь с ролью «нарушения», «пробела», «именно того, что требуется» как частей единого целого. Эти особенно­сти, по-видимому, являются наиболее важными при эффективном обучении арифметике ¹.

Простой иллюстрацией нашей проблемы является следующая фигура, вызывающая сильное желание уб-

¹ Благодаря многолетнему опыту изучения детей д-р Катрин Штерн разработала приемы и методы обучения арифметике, в ко­торых важную роль играет подлинное открытие в структурных по

рать квадрат, или остаток, оттуда, где квадратов «слиш­ком много», и поместить туда, где его не хватает.

Рис. 87

Сходные соображения, по-видимому, имеют первосте­пенное значение при обучении геометрии. Так, например, для осмысленного определения величины угла важно рас­сматривать его в качестве части единого целого, равного 360°. Если с углами в 182° и 180°, 355°, 360°, 363° обра­щаться просто как с любыми углами, как с углами одного ранга, то можно не заметить их структурного положения, их функционального значения. Здесь я напомню экспе­рименты с детьми, которых просили повернуть большую стрелку часов несколькими последовательными вращения­ми ¹. Задание было похоже на задачу Гаусса. Например: каким будет конечное положение стрелки, если ее повер-

природе задачах. Результаты такого обучения, которое доставляет большое удовольствие, кажутся в сравнении с обычным обучением (путем заучивания), которое делает основной упор на формиро­вание ассоциативных связей, чрезвычайно хорошими. Эти методы и исследования опубликованы в: S t е г n С. Children discover arith­metic. — Прим. Майкла Вертгеймера.

¹ Wertheimer M. Über das Denken der Naturvölker, Zahlen und Zahlgebilde.—"Zeitschrift für Psychologie", 1912, Vol. 60, S. 321—378

нули сначала по часовой стрелке на 7°, потом на 90