Круговые диаграммы для проверки валидности рассуждений

Один из способов проверки истинности заключения основан на использовании круговых диаграмм, которые отражают связи между тремя терминами (А, В, С или любыми элементами, которые мы вставим на пропущенные места). Степень наложения кругов друг на друга отражает отношения включения или исключения между классами понятий.

Существует несколько различных методов рисования диаграмм для изображения связей между терминами силлогизма. Один из этих методов назван в честь английского математика и логика Венна, который жил в XIX в. и первым предложил использовать подобные диаграммы. Диаграммы Венна — это те же самые диаграммы, которые вы, возможно, рисовали на уроках математики, если изучали теорию множеств. (Этот способ обучения «новой математике» пользовался большой популярностью, но потом был заброшен, и педагоги вернулись к «старой математике».) Второй вариант диаграмм для отображения связей — это диаграммы Эйлера. Согласно популярной легенде, швейцарский математик Леонард Эйлер, живший в XVIII в., придумал этот метод, когда получил задание обучить немецкую принцессу искусству силлогистических рассуждений. Поскольку принцесса испытывала трудности при понимании задач, Эйлер изобрел простой метод, помогающий понять отношения между терминами и проверить правильность рассуждений. Третий метод заключается в изображении трех перекрывающих друг друга кругов. Во всех этих методах круги отражают принадлежность к какому-либо классу. Различия между данными методами для нас не имеют значения, и в целом такая методика проверки заключений носит название круговых диаграмм. Если вы уже изучали другой метод рисования круговых диаграмм (например, на уроках теории множеств или логики) и привыкли к нему, то продолжайте им пользоваться.

Внимательно рассмотрите рис. 4.4. В левом столбце перечислены четыре наклонения, которые могут иметь суждения силлогизма. Рядом с каждым изображена круговая диаграмма, которая правильно отражает связи между терминами силлогизма. Сделайте перерыв в чтении и как следует изучите рис. 4.4. Один из кругов изображает все, что является А, а другой — все, что является В. При проведении дедуктивных рассуждений не имеет значения, что именно представляют собой А и В. В примере, приведенном на рис. 4.4, А обозначает ангелов, а В — лысых, но эти буквы могли бы обозначать все что угодно. Я могла бы с таким же успехом обозначить буквой А студентов колледжей, а буквой В — панк-рокеров.

Посмотрите, как расположены круги, чтобы создать «картинку» того, что описано словами. Давайте начнем с середины таблицы, поскольку общее отрицание является самым простым примером. Когда мы говорим «Ни одно А не есть В», то это означает, что ни одно понятие, относящееся к классу А, не принадлежит также и к классу В. Такая связь между понятиями отражается путем изображения кругов с пометками А и В, которые не касаются друг друга и не перекрываются. Существует

Общеутвердительное наклонение. Все А есть В. (Все ангелы являются лысыми.)	или Все А есть В, и Все А есть В, и некоторые В не есть А. все В есть А.
Частноутвердительное наклонение. Некоторые А есть В. (Некоторые ангелы являются лысыми.)	или или Все А есть В, и Все Л есть В, и некоторые В не есть /4. все в есть ^ или Все В есть Л, и Некоторые А есть В, и некоторые А некоторые В есть /4. не есть В. Также некоторые А не есть б, и некоторые В не есть/4.
Общеотрицательное наклонение Ни одно А не есть В. (Ни один ангел не является лысым.)	Ни одно А не есть 5, и ни одно £ не есть А.
Частноотрицательное наклонение Некоторые А не есть В. (Некоторые ангелы не являются лысыми.)	или или Ни одно А не есть В, и ни одно В не есть А Все В есть Л, и некоторые Л не есть В. или Некоторые А есть В, и некоторые В есть А. Также некоторые А не есть В, и некоторые В не есть А.

Рис. 4.4. Круговые диаграммы, правильно отражающие взаимосвязи между посылками в силлогизмах

Обратите внимание, что кванторное слово «все» может иметь две правильные интерпретации, кванторное слово «некоторые» — четыре правильные интерпретации, кванторное слово «ни один» имеет одну правильную интерпретацию, а кванторное слово «некоторые не» — три.

только один способ изображения этой связи. Заметьте, что когда мы говорим «Ни одно А не есть В», мы одновременно утверждаем, что «Ни одно В не есть Л». Видите ли вы это, рассматривая круговую диаграмму?

Рассмотрим теперь общее утверждение «Все А есть В». Вновь воспользуемся двумя кругами — один с пометкой Л, а другой с пометкой В. И опять нам нужно нарисовать круги таким образом, чтобы они отражали связь, при которой все, что относится к классу А, относится и классу В. Как видно из рис. 4.4, существуют два различных способа изображения такой связи, поскольку существует две возможные правильные трактовки смысла этой связи. Нарисовав круг А внутри круга В, мы отразим случай, когда «Все А есть В, но существуют некоторые В, не являющиеся А» (некоторые лысые не являются ангелами). На рисунке рядом показан случай, когда «Все А есть В, и все В есть А» (все лысые являются ангелами). Когда нам говорят, что «Все А есть В», может быть верна любая из этих интерпретаций.

Если вам показалось, что это трудно, не падайте духом. Скоро станет легче, по мере того как вы поработаете над примерами и осмыслите материал. Рассмотрим оставшиеся две возможности, изображенные на рис. 4.4. Частное отрицание (Некоторые А не есть В) можно изобразить тремя способами, а частное утверждение (Некоторые А есть В) — четырьмя. Рассмотрим, как вообще могут быть расположены круги. Существует пять различных вариантов размещения двух кругов относительно друг друга, и каждый из них отражает свой смысл!

1 А и В не накладываются друг на друга

2 А и В полностью совпадают.

3 А находится внутри В

4. В находится внутри А.

5. А и В частично перекрываются:

Давайте нарисуем круговые диаграммы, отражающие связи между терминами первого силлогизма. Первые две фразы являются посылками. Выпишите каждую из посылок и нарисуйте рядом с ней соответствующую круговую диаграмму. Например, в первой посылке утверждается, что «Все люди, получающие социальные пособия, бедны». В структурной форме она имеет вид «Все А есть В», где А обозначает «людей, получающих социальные пособия», а В — «бедных». Вы уже можете распознать тип этой посылки — общеутвердительный. Посмотрите на рис. 4.4, найдите строку с общеутвердительным наклонением и вы увидите, что существует два возможных способа расположения кругов, соответствующих этой посылке. Повторите эти же действия со второй посылкой: «Некоторые бедные люди являются нечестными». Вы уже решили, что А = «люди, получающие социальные пособия», а В = «бедные». Новый термин — «нечестные» — можно обозначить буквой С. Тогда вторая посылка принимает вид «Некоторые В есть С». Это пример частного утверждения. Посмотрите на строку рис. 4.4 с частноутвердительным наклонением и вы увидите, что существует четыре возможных способа расположения кругов, соответствующих этой связи. Единственное отличие заключается в том, что во второй посылке мы пользуемся для обозначения классов буквами В и С. Таким образом, круговые диаграммы первых двух посылок будут иметь следующий вид:

А = люди, получающие социальные пособия, В = бедные, С = нечестные. 1. Все люди, получающие социальные пособия, бедны (Все А есть В).

2. Некоторые бедные люди являются нечестными (Некоторые В есть С).

Чтобы проверить истинность заключения, мы будем систематически комбинировать каждую из фигур посылки 1 с каждой из фигур посылки 2. Если найдется хотя бы одно сочетание, которое не соответствует заключению, то можно остановиться и сделать вывод, что заключение не является валидным. Если мы переберем все возможные сочетания фигур посылок 1 и 2 и все они не будут противоречить заключению, то заключение является валидным. Другими словами, если все сочетания посылки 1 с посылкой 2 подтверждают заключение, то оно валидно. Первые несколько раз эта процедура может показаться вам трудоемкой, но вскоре вы будете «видеть» ответы и находить способы сокращения процесса проверки всех возможных сочетаний.

Вот заключение:

Некоторые люди, получающие социальные пособия, являются нечестными

(Некоторые А есть С.)

Посылку 1 можно изобразить двумя способами, а посылку 2 — четырьмя. Я обозначила два рисунка для посылки 1 номерами 1а и 1б, а четыре рисунка для посылки 2 — номерами 2а, 2б, 2в и 2г. Чтобы работать систематично, вам необходимо использовать правила комбинаторного рассуждения, изложенные в предыдущем разделе. Начните с рисунка 1а и комбинируйте его по очереди с 2а, 2б, 2в и 2г. Затем повторите эту же процедуру с рисунком 1б, проверяя его сочетания с 2а, 2б, 2в и наконец с 2г. Конечно, есть надежда, что не придется проводить всю эту процедуру до конца, потому что можно остановиться, как только вы найдете первое сочетание, которое противоречит заключению о том, что «Некоторые А есть С». Давайте попробуем вместе.

При сочетании этих двух изображений я получу рисунок, где Л будет внутри В, а В внутри С:

Это сочетание соответствует заключению о том, что «Некоторые А есть С» (вариант А). Продолжим!

Сочетая 1 а с 26, я получаю рисунок, на котором А находится внутри круга, изображающего В и С:

Это не противоречит заключению о том, что «Некоторые А есть С» (вариант А). Продолжим!

Здесь ситуация несколько более запутанная, поскольку существует несколько возможных способов сочетаний 1а с 2в, и нам необходимо проверять эти способы, пока мы не переберем все сочетания или не найдем хотя бы одно, противоречащее заключению. Давайте нарисуем все варианты взаимного расположения кругов, при котором А находится внутри В и С находится внутри В.

А и С — это один и тот же круг, находящийся внутри В.

Этот результат по-прежнему не противоречит тому, что «Некоторые А есть С» (вариант Б). Продолжим!

Круги А и С находятся внутри В и частично накладываются друг на друга.

Этот результат по-прежнему не противоречит тому, что «Некоторые А есть С» (вариант Г). Продолжим!

Круги А и С — два отдельных круга, находящихся внутри В.

Этот результат не согласуется с заключением о том, что «Некоторые А есть С» (такого варианта рисунка для заключения у нас нет).

Можно остановиться! При данных двух посылках заключение «Некоторые люди, получающие социальные пособия, являются нечестными» нельзя считать валидным.

Я знаю, что проделанная работа кажется очень трудоемкой, но после того как вы решите несколько подобных задач, вы научитесь сразу находить комбинации, которые указывают на то, что заключение не валидно, поэтому не потребуется проверять все возможные комбинации. Но до тех пор, пока вы этому не научитесь, проверяйте систематически все комбинации. Перечень шагов, необходимых для проверки истинности заключения с помощью круговых диаграмм, приводится в табл. 4.2. Сделайте паузу и изучите эти шаги. При работе над остальными силлогизмами пользуйтесь этой таблицей.

Таблица 4.2. Последовательность проверки истинности заключения с помощью круговых диаграмм

1. Выпишите каждую посылку и заключение силлогизма

2. Рядом с каждым утверждением изобразите все возможные правильные диаграммы, пользуясь рис. 4.1.

3. Систематически комбинируйте каждую из диаграмм посылки 1 со всеми диаграммами посылки 2. Начните с комбинации посылки 1а (первая диаграмма посылки 1) и посылки 2а (первая диаграмма посылки 2). Затем проверьте комбинации посылки 1а со всеми остальными диаграммами посылки 2, после чего переходите к посылке 1б, сочетая ее со всеми диаграммами посылки 2. Продолжайте действовать аналогичным образом (посылка 1в со всеми диаграммами посылки 2, затем посылка 1г со всеми диаграммами посылки 2), до тех пор, пока...

4. ...не найдете хотя бы одно сочетание, которое не согласуется с заключением, или

5....проверите все комбинации диаграмм посылок 1 и 2._____________________

Примечание. Иногда существует несколько способов сочетания диаграмм посылок 1 и 2. Обязательно проверьте все возможные варианты.

При проверке всех возможных комбинаций помните, что существует пять возможных вариантов взаимного расположения двух кругов, а) А находится внутри В\ б) В находится внутри А, в) А и В частично накладываются друг на друга; г) А и В не накладываются друг на друга (два отдельных круга), и д) А и В полностью совпадают (изображаются одним кругом) Эти пять вариантов показаны на рисунке.

Давайте перейдем ко второму силлогизму А = родители В = понимают детей С = учителя

1. Ни один из родителей не понимает детей (Ни одно А не есть В).

2. Некоторые учителя понимают детей (Некоторые С есть В)

Ни один из родителей не является учителем (Ни одно А не есть С)

Поскольку посылка 1 является общеотрицательной, то для нее существует только один вариант диаграммы, и данная связь изображается в виде двух отдельных кругов. На диаграмме эта фигура обозначена 1а. Посылка 2 является частноутвердительной, что изображается на диаграмме с помощью четырех возможных фигур (2а, 2б, 2в и 2г). Заключение является общим отрицанием, поэтому оно изображается одной фигурой в виде двух отдельных кругов. Теперь будем комбинировать 1а+2а, 1а+2б, 1а+2в и 1а+2г. Как только вы найдете хотя бы одно сочетание, которое противоречит заключению, вы можете остановиться и принять решение о том, что заключение не валидно, или вам придется проверить все комбинации, чтобы прийти к выводу о валидности заключения.

А и В — отдельные круги, и С находится внутри В. Продолжим!

А и В — отдельные круги, и круги С и В совпадают. Продолжим!

А и В — отдельные круги, и круги С и В совпадают. Хорошо, продолжим!

Существует несколько возможных сочетаний 1а и 2в, и нам надо проверить все способы взаимного расположения кругов, при которых А и В — два отдельных круга, и В находится внутри С. Если вы найдете хотя бы одну комбинацию 1 а+2в, которая противоречит заключению «Ни одно А не есть С», то вы можете прекратить процесс проверки комбинаций и сделать вывод о том, что заключение не валидно.

Остановимся на этом месте! Существует такое возможное размещение кругов, когда А и С не являются отдельными кругами. Заключение не валидно! На основе данных двух посылок мы не можем заключить, что «Ни один родитель не является учителем».

Ниже приводится разбор остальных трех силлогизмов. Поработайте над ними самостоятельно, не заглядывая в книгу, а потом сравните свою работу с приведенными примерами

А= юристы, В = умные С = богатые

1 Некоторые юристы не умны (Некоторые А не есть В)

2. Некоторые умные люди богаты (Некоторые В есть С).

Заключение: Некоторые юристы богаты (Некоторые А есть С).

Чтобы проверить истинность заключения, проверьте сочетания 1а+2а, 1а+2б, 1а+2в, 1а+2г, 1б+2а, 16+26, 1б+2в, 1б+2г, 1в+2а, 1в+2б, 1в+2ви 1в+2г.

На основе данных двух посылок мы не можем заключить, что «Некоторые юристы богаты».

Следующая задача

А- физики; В = хорошо разбираются в математике; С = студенты.

1. Все физики хорошо разбираются в математике (Все А есть В).

2. Некоторые студенты являются физиками (Некоторые С есть Л).

Некоторые студенты хорошо разбираются в математике (Некоторые С есть В).

Если вы понимаете, что делаете, то диаграмму для заключения рисовать не обязательно.

(192:)

Следующая задача

1 Всем американцам необходима медицинская страховка (Все А есть В)

2 Все, кому необходима медицинская страховка, должны за нее голосовать

Заключение Все американцы должны голосовать за медицинскую страховку (Все/1 есть С)