Табличное построение логики высказываний
Логика высказываний -раздел символической логики, поэтому в ней используется язык символов.
Символы этого языка:
1) P, r, q… - пропозициональные символы;
2) «Не», «и», «или» - логические термины;
3) Скобки;
Определение формулы:
1. Пропозициональная переменная есть формула;
2. Если А есть формула и В есть формула, то «не А», «А и В»…. – формулы;
3. Ничто иное не есть формула.
Незаверешенные высказывания – не формулы.
Число строк в таблице, где под каждым действием пишется его результат, равно 2n, где n – число переменных формуле.
Тождественно истинная формула или общезначимая– формула, которая при любом значении переменных принимает значение истины.
Тождественно-ложная формула и противоречие – формула, при любых значениях переменной принимающая значение «ложь».
Формула, принимающая хоть когда-то значение «истина» называется выполнимой.
Формула, принимающая хоть иногда значение «ложь» называется опровержимой.
Отношение логического следования –из посылок Г следует заключение В, если импликация, имеющая анцедентом конъюнкцию формул, соответствующую заключению, а консеквентом – формулу, соответствующую заключению, является тождественно-истинной. Для определения правильности рассуждения требуется:
1) Обозначить символами простые высказывания, содержащиеся в рассуждении;
2) Перевести на язык логики высказываний посылки и заключение;
3) Формулы, являющиеся переводом посылок, соединить знаком конъюнкции;
4) Присоединить к полученной формуле знаком импликации формулу, являющуюся переводом заключения.
5) Построить таблицу истинности.
Еще один способ установления логического отношения следования:
1) Перевести суждения на язык логики высказываний;
2) Построить таблицы истинности для формул, соответствующих суждениям;
3) Установить виды отношений между суждениями на основе следующих определений:
ü Суждения совместимы по истинности, если и только если в сравнимых таблицах есть строка, в которой все формулы имеют значение «истина»;
ü Суждения совместимы по ложности, если и только если в сравнимых таблицах есть строка, в которой все формулы имеют значение «ложь»;
ü Из одного суждения следует другое, если в сравнимых таблицах нет строки, в которой все формулы, являющиеся основаниями следования имеют значение «истина», а формула-следствие имеет значение «ложь».
Исчисление высказываний, система натурального вывода.
| Введение конъюнкции | Удаление конъюнкции-1 | Удаление конъюнкции-2 | Отрицание конъюнкции | Введение дизъюнкции-1 | Введение дизъюнкции-2 | Удаление дизъюнкци-1 | Удаление дизъюнкци-2 | Отрицание дизъюнкции | Удаление импликации-1 | Удаление импликации-2 | Отрицание импликации | Введение эквивалентности | Удаление эквивалентности-1 | Удаление эквивалентности-2 | Введение двойного отрицания | Удаление двойного отрицания |
Непосредственные умозаключения.
1) Превращение категорического суждения – изменение его качества одновременно с заменой предиката на противоречащий ему термин.
2) Обращение – перемена местами субъекта и предиката. А: все С суть П, значит некоторые П суть С.
3) Противопоставление предикату – превращение категорического суждения и обращение результата превращения.
4) Противопоставление субъекту – обращение категорического суждения и превращение результата обращения.
Affirmо – a – общеутвердительные, i – частноутвердительные.
Nego – е – общеотрицательные, о – частноотрицательные.
Частноотрицательное суждение не обращается.
Простой категорический силлогизм – это умозаключение, в котором из двух категорических суждений выводится третье категорическое суждение – заключение. Термины заключения – крайние, термины посылки, не входящие в заключение средние. Простые категорические силлогизмы – умозаключения через средний термин.
Это умозаключение, которое состоит из трех терминов, двух посылок и одного заключения.
Способы проверки правильности –
1) Проверка соблюдения правил силлогизма:
одна из посылок должна быть общим суждением
при одной частной посылке заключение должно быть частным суждением
одна из посылок должна быть утвердительной
если есть отрицательная посылка, то заключение должно быть отрицательным.
2) Правила терминов:
средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок
термин, не распределенный в посылках, не должен быть распределен в заключении.
Второй метод – метод фигур. Метод не является абсолютным.
1) Правила первой фигуры:
большая посылка должна быть общим суждением
Меньшая посылка должны быть утвердительным суждением.
2) Правила второй фигуры:
Большая посылка должна быть общим суждением
Меньшая посылка должна быть отрицательным суждением.
3) Правила третьей фигуры
Меньшая посылка должна быть утвердительным суждением
Заключение должно быть частным суждением
Третий метод проверки правильности силлогизма – семантический. Силлогизм является правильным, если на всех семантических схемах, на которых истинны посылки истинно и заключение. Силлогизм не является правильным, если существует хотя бы одна семантическая схема, на которой посылки истинны, а заключение ложно.
Энтимема силлогизма.
Энтимема – рассуждение, в котором одна из посылок или заключение опускаются, а иногда пропускаются и одна посылка, и заключение.
Индуктивные умозаключения.
В индуктивные умозаключениях посылки подтверждают вывод. Индуктивные умозаключения делятся на научную и ненаучную логику. В ненаучных пользуются здравым смыслом и т.д. а в научных – научной методологией. Разрабатывали Сократ. Платон и Аристотель. Затем она умерла почти. А вот в эпоху Возрождения она применялась очень активно. Бэкон создал таблицы открытия. Метолы установления причинных связей – методы Бэкона-Милля. Основные виды индукции:
1) Обратная дедукция. Требуется обосновать заключение А. Из А следует ряд высказываний Б, В, Г… или конъюнкция этих высказываний. Методологические требования, повышающие степень правдоподобности вывода:
- Находить разнообразные следствия, так как они подтверждают умозаключение лучше.
- Находить наиболее сильные следствия
- Выводить «неожиданные» последствия
Из таблицы истинности вычеркиваются высказывания, в которых ложно суждение, предполагаемое истинным. Высчитывается вероятность исходного высказывания.
2) Обобщающая индукция
Обобщающая индукция – это умозаключение, в котором осуществляется переход от знания о подклассе к знанию о клас-се в целом.
- Статистическая
Исследуются случайные массовые явления. Относительная частота – апостериорная вероятность события. Схема статистической неполной индукции такова:
«предметы класса С обладают свойством А с относительной частотой ф(А). класс С включает класс К. значит, предметы класса К обладают свойством А с относительной частотой ф(А).
Методологические требования, соблюдение которых необходимо при применении статистической индукции:
1) Статистическую индукцию правомерно применять при исследовании предметов, объединенных в одно целое по общим признакам, целям и т.д. Обозначим выделенную по признаку группу К.
2) Свойство К, по которому образован класс должно хотя бы гипотетически зависеть от переносимого свойства А. Если такого нет, класс К нужно ограничить такой зависимостью.
3) Подкласс С должен образовываться не по переносимому свойству.
4) Подкласс С должен быть отобран так, что все элементы К равноценно могли попасть в выборку.
5) Должен соблюдаться принцип пропорциональности.
6) Определить число изучаемых объектов. Закон больших чисел: закономерности, которым подчиняются случайные массовые явления, могут быть обнаружены лишь при достаточно большом числе наблюдений.
7) При переносе на класс следует учитывать неточности.
- Нестатистическая обобщающая индукция
Полная – от знания об отдельных предметах класса к знанию обо всем классе,
Неполная – от знания о некоторых к знанию обо всех
1) Через отбор:
Множества на основе признаков
Зависимость от переносимого свойства
Выбор не по переносимому свойству
Равная возможность попасть в выборку
2) На основе общего – неполная индукция, дополненная методологией, представляющей собой теорию. Вывод о свойствах целого на основе части целого.
3) Методы установления причинных связей между умозаключениями, заключениями по аналогии.
- Причинно-следственная связь является объективной
- Необходимая связь
- Всеобщая связь
- Причина предшествует следствию по времени
Умозаключения по аналогии – рассуждение, в котором из сходства двух объектов в некоторых признаках делается заключение об их сходстве в других признаках. Есть аналогия отношений и аналогия свойств.
Функции аналогии:
1) Эвристическая – открывать новые факты
2) Объясняющая
3) Доказательная
4) Гносеологическая
5) Моделирования