Понятие логического следования

Логику высказываний мы получаем, определив для формул в языке логики высказываний отношение логического следования и понятие закона логики.

В практике научного познания отношение логического следования употребляется обычно в применении к высказываниям. В языке логики высказываний это полностью интерпретированная формула. В ней определены все логические связки и все переменные в составе формулы имеют определенные истинностные значения. При этом все выражение истинно или ложно. Из таких высказываний могут выделяться их логические формы в результате отвлечения от истинностных значений пропозициональных переменных. А из этих логических форм могут образоваться новые высказывания при различных распределениях истинностных значений для составляющих их переменных.

Пусть А* и В* какие-то высказывания данного языка, А и В соответственно – их логические формы. Тогда из А* следует В*, что выражается в виде А*╞ В* – если и только если это отношение имеет место между логическими формами этих высказываний, то есть между А и В. «╞» – знак логического следования, А в этом отношении – посылка, а В – заключение следования.

╞

следование

«следовательно», «значит» «А ╞ В» – «из А следует В»

Отношение следования для логических форм А и В (А╞ В) имеет место, если и только если для любых высказываний, которые могут быть образованы из данных логических форм. Исключено, чтобы при истинности А* было ложно В*. Иначе говоря, для любых значений пропозициональных переменных в А и В при истинности возникающего высказывания А* истинно В*. Таким образом, наличие или отсутствие отношения логического следования между высказываниями зависит от их логических форм.

Основные формально-логические законы

Законом логики высказываний называется формула, которая при любых распределениях истинностных значений, входящих в нее пропозициональных переменных (то есть для любых высказываний, которые могут быть получены из данной формулы), принимает значение И – истинно.

Формула, которая представляет собой закон логики высказываний, всегда истинна. Такие формулы называют тождественно-истинными.

К основным законам логики высказываний относят:

Закон тождества – (р p).

Закон исключенного третьего – (p p).

Закон противоречия – (p & p).

Важно иметь в виду, что каждый закон логики имеет бесконечное множество вариантов. Например, простые варианты закона исключенного третьего: (p₁ p₁); (p₂ p₂); (p₃ p₃) и т.д. Другие формулы получаем подстановкой вместо каких-либо его пропозициональных переменных любых формул данного языка (вместо всех вхождений одной и той же переменной должна, конечно, подставляться одна и та же формула). Так, получаем, например: (p q) (p q); (p₇ q₂) (p₇ q₂) и т.д. В полученные выражения снова можно совершать подобные подстановки вместо пропозициональных переменных.

Определяя отношение логического следования, закон логики, используя схемы высказываний, мы задаем тем самым неявным образом бесконечное множество случаев отношения логического следования и законов логики.

Не все формулы языка логики высказываний являются тождественно-истинными. Имеются также так называемые тождественно-ложные формулы – формулы, принимающие значение Л (ложь) при любых распределениях значений имеющихся в них пропозициональных переменных. Любая тождественно-ложная формула представляет собой отрицание закона логики. Имеет место и обратное – отрицание тождественно-ложной формулы есть закон логики. А также имеются формулы не тождественно-истинные и не тождественно-ложные – такие, которые при одних распределениях значений пропозициональных переменных истинны, а при других – ложны: (p q); (p₁ p₂); (p (q & r)). Их называют обычно выполнимыми – принимающими значение «истина» при каких-нибудь значениях переменных – таковыми являются и тождественно-истинные формулы.

Понятие логического следования является центральным понятием логики. Оно существенно для выяснения многих понятий логики и для решения многообразных задач логического характера, главная же его роль состоит в том, что оно составляет основу правильных рассуждений и доказательств.

Например, «Если на данное движущееся тело не действуют никакие силы или равнодействующая всех действующих сил равна нулю, то оно движется равномерно; данное тело движется неравномерно, следовательно, равнодействующая всех сил, действующих на тело, не равна нулю». Задача состоит в том, чтобы определить, правильно ли это рассуждение.

Обозначим через:

р высказывание «на данное тело действуют какие-то силы» (тогда « р» означает «на данное тело не действуют никакие силы»);

q – «равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю»;

r – «данное тело движется равномерно».

Тогда все указанное рассуждение в языке логики высказываний запишется так: (( р q) r), r╞ q.

Под рассуждением часто подразумевается процесс выведения некоторого высказывания из какого-либо множества высказываний, как это имеет место в предложенном для анализа примере. В таком случае правильность рассуждения сводится к вопросу о логическом следовании. Если рассуждение, в котором человек выводит некоторое высказывание В из некоторого множества высказываний Г правильно, то Г ╞ В. А это значит, что если последнее неверно (из Г логически не следует В), то рассуждение неправильно.

Рассуждения (выводы) осуществляются по определенным правилам. Сложное рассуждение – сложный вывод – может представлять собой последовательность применения нескольких правил. Само правило вывода – это простой, или непосредственный вывод. Простой вывод некоторого высказывания В из А правилен, если и только если А ╞ В. Таким образом, мы имеем критерий правомерности тех или иных правил рассуждения: правило, позволяющее выводить В из А правомерно, если и только если А ╞ В.

Применяя аппарат логического исчисления мы можем решить задачу не просто ссылкой на интуицию, а решить доказательно. Значительно упрощает процедуру решения применение табличного способа логического анализа рассуждений – выводов. В его основе лежит табличное определение логических связок. При этом способе явно выражается характеристика этих связок как некоторых функций, соотносящих истинностным значениям составных частей сложного высказывания значение всего высказывания. Т.е. мы рассматриваем логические формы возможных высказываний – неинтерпретированные формулы языка логики высказываний – (А & В), (А В), (А В), А. Перебирая все возможные распределения истинностных значений проформул, составляющих эти формулы (А и В в трех первых случаях и А – в последнем), указываем для каждого распределения значение всей формулы.

Значение функций (логических констант):

А & В	А В	А В	А В	А В	А
и и и л л и и л л л л л	и и и л и и и и л л л л	и л и л и и и и л л л л	и и и л и и и л л л и л	и и и л л и и л л л и л	л и и л

Прежде всего, при построении истинностных таблиц надо определить число возможных распределений значений для данного перечня переменных, то есть число строк в таблице. Число строк в таблице зависит от числа переменных. При n количестве переменных количество строк = 2ⁿ. Если переменных 3, то количество строк в таблице будет –2ⁿ = 2³ = 8. Также принимается определенный принцип перебора возможных распределений истинностных значений переменных: через одну строку, через 2, через 4, 8, 16, 32 и т.д. строк.

Суть подобного словарно-лексического способа построения таблицы состоит в том, что при понимании последовательностей истинностных значений в строках как слов (иии, иил и т.д.) в двухбуквенном алфавите И и Л, эти слова оказываются расположенными по алфавиту (так как они должны бы быть расположенными в словаре).

Для решения вопроса, следует ли заключение из посылок, надо в соответствии с определением логического следования установить, имеются ли такие строки (распределения значений), в которых все посылки истинны, а заключение ложно. При отсутствии таковых ответ положителен. При наличии указанных строк отношения логического следования нет (а значит, и рассуждение неправильно).

По таблице истинности также выясняется является ли формула тождественно-истинной, тождественно-ложной или выполнимой. Это означает выяснение условий истинности и ложности некоторого данного высказывания в зависимости от распределения истинностных значений пропозициональных переменных в его логической форме.

Изложенные методы логического анализа являются мощным средством для решения многообразных задач логико-гносеологического характера и применимы в весьма нетривиальных случаях практико-исследовательской деятельности. Возможно применение, когда имеется значительное количество высказываний, из которых нужно извлекать следствия или решать вопросы о том, являются ли некоторые утверждения следствиями из них. Большое количество информации может быть получено при социологических опросах, при расследовании преступлений, при описании всякого рода автоматических устройств.

Например, если в автоматическом устройстве имеется несколько взаимодействующих механизмов p, q, r, s и т.д., возникают описания вида:

1) если сработал механизм р и не сработал механизм r;

2) если не сработал механизм r, то сработал р;

В таких случаях наиболее существенными являются вопросы типа: Что будет (то есть какие механизмы сработают или нет), если не сработал один и сработал другой?

Это означает, что необходимо вывести следствия относительно взаимодействия других механизмов. Является ли следствием из двух указанных высказываний, а также из того, что не сработал механизм r, высказывание о том, что сработал механизм q?