Развитие логики в древней Греции до Аристотеля 7 страница

Кант существенно развил учение о понятии. Именно благодаря Канту данная проблема получила достаточно подробную разработку в работах последующих логиков. До него чаще всего использовался такой неопределенный термин, как идея, которая обозначала вообще "все, что наличествует в нашем уме, когда мы можем сказать, что мыслим вещь, как бы мы ее ни мыслили"^[67]. Кант же во многом упоря­дочил употребление уже известной терминологии и предложил "тео­рию идей" - достаточно стройную и законченную систему различных понятий^[68].

Несомненной заслугой Канта является признание ограниченно­сти формальной логики и выход за ее узкие рамки. Он разрабатывает трансцендентальную логику, которая имеет философский характер. Если формальная логика, по Канту, изучает формы мышления, абст­рагируясь от анализа предметного содержания, то трансценденталь­ная логика выясняет те условия, которые придают нашим знаниям априорный (доопытный) характер и обеспечивают возможность без­условно всеобщах и безусловно необходимых истин. "Предполагая, - пишет Кант, - что возможны понятия, a priori относящиеся к предме­там не как чистые или чувственные наглядные представления, а только как действия чистого мышления, т.е. понятия, происходящие не из опыта, и не из чистой чувственности, мы уже заранее устанав­ливаем идею науки о чистом знании, посредством которого предме­ты мыслятся вполне a priori. Такая наука, определяющая происхож­дение, объем и объективноё значение подобных знаний, должна на­зываться трансцендентальной логикой, потому что она имеет дело исключительно с законами рассудка и разума, но лишь постольку, поскольку они a priori относятся к предметам, в отличие от общей логики, которая исследует отношение их и к эмпирическим знаниям, и к чистым знаниям разума без различия"¹. Стало быть, трансценден­тальная логика должна была ответить на вопрос о том, как возможно научное знание, какие предпосылки нужны для его достижения. В русле транцендентальной логики Кант ставит и решает проблему уровней знаний, предпринимает анализ рассудка и разума как спосо­бов, форм и этапов познавательной деятельности, развивает учение о трансцендентальном сознании, обосновывает классификацию кате­горий (как первоначальных чистых понятий синтеза) и систему осно­воположений рассудка, обращается к проблеме антиномичности ра­зума и т.д.

Идея Канта о трансцендентальной логике служила обоснованию творческой сущности человеческой личности, ее неразрывной связи с потенциалом духовной культуры всего человечества. Обсуждение этой идеи в философской и логико-методологической литературе способствовало становлению и развитию диалектической логики и теории познания.

Литература

Источники

Кант И. Критика чистого разума. СПб., 1993.

Кант И. Логика. Пособие к лекциям // Кант И. Трактаты и письма. М., 1980.

Исследования

История диалектики. Немецкая классическая философия. М., 1978. ЛоужДж. Пстарычныя уводзшы у фшасофцо навуи. Mr, 1995. Маковельский А О. История логики. М., 1967. Попов П. С. История логики Нового времени. М., 1960. Попович М.В. Очерк развития логических идей в культурно-историче- охом контексте. К., 1979.

Три направления в формальной логике Нового времени

В Новое время (особенно в XIX веке) в развитии формальной логики достаточно четко обозначились три направления. Первое из них шло по пути сближения логики с психологией и оформилось в виде так называемой психологической логики; второе - по пути сближения логики с философией и сформировалось в виде так назы­ваемой гносеологической логики; третье - по пути сближения логики с математикой и в конечном счете, оформилось в виде математиче­ской логики^[69].

Первое направление особенно отчетливо представлено в работах Д.Локка, Д.Юма, Г.Спенсера, Дж. Ст. Милля, Х.Зигварта. Согласно представителям этого направления, логика - эмпирическая наука, своими теоретическими основаниями целиком обязанная психоло­гии. Психологисты даже не ставили вопросов об отношении мышле­ния к бытию и таким образом исключили возможность объективного объяснения природы логических форм и законов. Характерная черта психологизма в логике - всеиндуктивизм, критика (как правило, предвзятая) и отрицание ценности дедуктивных методов в научном познании.

Английский философ Джон Стюарт Милль (1806-1873) - вид­нейший представитель психологического направления в логике. Он писал, что "логика не есть наука, отличная от психологии... По­скольку логика вообще есть наука, она есть часть или ветвь психоло­гии"^[70].

Опираясь на методологию Ф.Бэкона и других индуктивистов, Милль предложил своеобразную логическую систему. Ее ядро со­ставляют методы исследования причинных связей, известные под названием канонов Милля, - метод единственного сходства, метод различия, соединенный метод сходства и различия, метод остатков и метод сопутствующих изменений. Правда, эти методы были уже из­вестны и ранее, но заслуга Милля состоит в том, что он тщательно обработал формулировки этих методов и с помощью доходчивых примеров проиллюстрировал их методологическую ценность в ис­следовании причинных связей на эмпирическом уровне познания.

Второе направление в развитии логики наиболее рельефно за­фиксировано в работах В. Виндельбанда, А.И.Введенского, А. Шуппе и др., которые исходили из того, что между логикой и теорией по­знания имеется неразрывная связь. Шуппе писал: "Логический ана­лиз может иметь успех только тогда, когда он исходит из определен­ной теоретико-познавательной точки зрения, соединяя таким образом логику и теорию познания в одну науку"[71].

В общей постановке такое понимание отношения между логи­кой и теорией познания не вызывает возражения. Действительно, логика тесно связана с гносеологией, теорией познания. Чтобы под­линно знать предмет логики, следует раскрыть природу логических законов и форм, их познавательное значение. Для этого также необ­ходимо установить место и роль логики в построении научных зна­ний. Сама по себе логика эти вопросы решить не может. Такую про­блему следует рассматривать в гносеологическом плане, пользуясь теорией познания.

Но Шуппе, Виндельбанд, Введенский и др. ставили цель не только установить связь логики с теорией познания. Они, по сути, вводили формальную логику к гносеологии, к теории познания. Одну из своих работ Введенский так и называет - "Логика как часть тео­рии познания"[72]. Это означает, что формальная логика теряет статус самостоятельной науки, не имеет своей специфики, а ее важнейший вопрос - теория формального вывода - подменяется другими вопросами, взятыми из области теории познания. Да и теория познания в таком случае теряет свое лицо.

Третье направление в развитии логики можно связать со средневековой логикой, когда вопросу формализации придавали существенное значение. Но особенно ярко оно представлено в трудах Г. Лейбница, Дж. Буля, О. де Моргана, Э.Шредера, П Порецкого, Г. Фреге и др., где логика сближается с математикой. Более того, происходит математизация логики, давшая весьма плодотворные результаты, которые выразились в бурном развитии самой логической науки и значительном увеличении ее роли в построении современных научных знаний. Другие направления в логике (психологическое, гносеологическое) оказались отодвинутыми на задний план, что не означает их абсолютной непригодности.

На процессе математизации логики остановимся более подробно.

Литература

Источники

Введенский А. Логика как часть теории познания. П., 1917.

Зигварт X. Логика. СПб., 1908-1909. Т. 1 и 2.

Лейбниц Г.В. История идеи универсальной характеристики Н Лейбниц Г.В. Соч. в 4-х т. М., 1984. Т.№ 3.

Милль Дж. Ст. Система логики силлогистической и индуктивной. М., 1914.

Фрезе Г. Мысль: логическое исследование // Философия, логика, язык. М„ 1987.

Исследования

Брюшинкин В.Н. Логика, мышление, информация. Л., 1988.

Мышление: процесс, деятельность, общение. М., 1982.

Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М., 1969.

Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования, М., 1958.

Смирнова Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики. М., 1986.

Сорина Г. Б. Логико-культурная доминанта. Очерки теории и истории психологизма и антипсихологизма в культуре. М., 1993.

Математизация формальной логики

Кант не предполагал, что через какие-нибудь полвека после его смерти начнется "второе дыхание" в развитии формальной логики. Происшедшее носило революционный характер и уже на первом этапе (вторая половина XIX - первая четверть XX в.) имело среди своих результатов ряд основополагающих открытий общенаучного и даже общекультурного значения. Суть новаций состояла в том, что решение логических проблем стало связываться с применением ма­тематических методов. В частности, языковые конструкции стали рассматриваться в качестве функций. "Решающую роль в формиро­вании нового механизма функционироваия естественных языков сыграло то, - пишет известный математик и логик Н.А. Шанин, - что для многих выражений естественных языков, интуитивно восприни­маемых в качестве "осмысленных" выражений, был "нащупан" прин­ципиально новый метод анализа их структуры, основанный (вообще говоря) не на апеллировании к правилам "обычного" синтаксиса, а на восприятии таких выражений как некоторых "составных функций"^[73].

В результате логика превратилась в математическую логику - логику по предмету, математику по методу.

Многие идеи математической логики были изложены уже в тру­дах великого немецкого математика, философа и логика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716). Согласно его собственным вос­поминаниям, уже в ранней молодости в нем зародилась идея логиче­ского исчисления: "...я поневоле натолкнулся на ту замечательную мысль, что можно придумать некий алфавит человеческих мыслей и с помощью комбинации букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, все может быть и открыто и разрешено. Когда я это понял, я возликовал; я радовался какой-то детской радостью, ибо тогда я еще не осознавал всего величия этого дела. Но впоследствии, чем большего прогресса я достигал в познании вещей, тем больше утверждался в своем решении посвятить себя столь великому делу"[74].

И Лейбниц готов был сколь угодно долго трудиться над созда­нием всеобщего логического метода, который бы дал возможность заменить содержательное рассуждение формальным вычислением.

Основатель кибернетики Н.Винер писал: "Философия Лейбница концентрируется вокруг двух основных идей, тесно связанных меж­ду собой: идеи универсальной символики и идеи логического исчис­ления"[75]. Разрабатывая эти идеи, Лейбниц получил немало ценных результатов. Они были достаточно вескими основаниями для того, чтобы признать его родоначальником математической логики. Он написал диссертацию "О комбинаторном искусстве", где изложил свою теорию открытия, и ряд работ по теории доказательства, или аналитике. В основе комбинаторики лежит идея о создании новых понятий на основе известных простых, а имея все простые, можно получить и все сложные. Использовав комбинаторику, Лейбниц со­ставил полный список модусов ассерторических силлогизмов. Ана­литике он также придавал большую роль, так как она ведет к открытию самих принципов наук. В целом же комбинаторика и аналитика, по Лейбницу, есть открытый им способ построения всеобщей науки и универсальной философии, способ "такой же ясный и неопровержимый, как способ построения арифметики"[76]. Лейбниц стремился к тому, чтобы логика сделала процесс умозаключения независимым от размышления о содержательном смысле знаков, входящих в этот процесс, подобно тому, как процесс математического вычисления не зависит от размышления о содержательном смысле знаков, которые применяются в нем. В перспективе, по Лейбницу, искомый метод должен был "стать чем-то вроде все­общей алгебры и дать возможность рассуждать посредством вычис­лений; таким образом, вместо того чтобы спорить, можно будет ска­зать: подсчитаем! И тогда станет ясно, что ошибки в рассуждениях суть не что иное, как ошибки, связанные с вычислениями, и их мож­но будет обнаружить путем проверки, как в арифметике"^[77]. Таким образом, Лейбниц выразил надежду на существование всеобщего метода решения задач. Идея открытия такого метода оказалась несо­стоятельной, но это стало ясно значительно позже, благодаря дости­жениям логики лишь в 30-е годы XX века.

Н.И. Стяжкин, автор одной из лучших книг в отечественной ли­тературе по истории логики, следующим образом излагает основные принципы логики Лейбница:

1."Каждое понятие может быть сведено к фиксированному на­бору простых (т.е. неразложимых далее) понятий. Этот набор берется из некоторого числа элементов, образующих "алфавит мыслей".

2. Сложные понятия выводятся из простых лишь с помощью операции логического умножения, соответствующего конъюнкции в исчислении высказываний и операций пересечения объемов понятий в логике классов.

3. Набор простых понятий должен удовлетворять критерию не­противоречивости.

4. Любое высказывание является предикативным в том смысле, что оно может быть эквивалентным образом переведено в другую форму, в которой предикат уже подразумевается в субъекте.

5. Всякое истинное утвердительное предложение является ана­литическим в том смысле, что его предикат содержится в субъекте (естественно, для интенсиональной интерпретации)"^[78].

Лейбниц несколько раз предпринимал попытки построения ло­гических исчислений, но они не достигли совершенства и изящества позднейших алгебр логики. Причину этого Н. Решер видел в его "привязанности к традиционной логике, которая побуждала стано­виться на путь скорее узкологических, нежели широких алгебрологических рассмотрений"^[79]. Но значение идей Лейбница оказалось ог­ромным. Они были предвестниками головокружительных результа­тов, полученных при создании и разработке формализованных сис­тем в современной логике и ее практических приложениях. Правда, работы Лейбница по математической логике не публиковались при его жизни и не были известны широкой научной общественности.

Поэтому они не оказали непосредственного влияния на ту ин­тенсивную разработку этой дисциплины, которая началась со второй половины XIX века.

Математическая логика была открыта вторично через сто с лишним лет после смерти Лейбница. При этом решающую роль сыг­рали труды выдающегося английского логика и математика Джорджа Буля (1815-1864). "Можно сказать, - пишет Х.Карри, - что современная математическая логика началась с основных работ Буля, Опубликованных в 1847 и 1854 гг." (речь идет о работах "Математи­ческий анализ логики", 1847 г., и "Исследование законов мысли",1854г.)[80]

Буль исходил из идеи аналогии между алгеброй и логикой. Он стал рассматривать логику как алгебру лишь с нулем и единицей, в которой существуют все четыре операции арифметики. Основными операциями у Буля являются:

1. Сложение, обозначаемое знаком "+"; в исчислении классов (объемов понятий) булевой формуле х+у соответствует объединение классов х и у с исключением их общей части; в исчислении высказываний - т.н. строгая дизъюнкция, приблизительно соответствующая употреблению грамматического союза "либо" (либо х, либо у).

2.Умножение, обозначаемое знаком "•"; в исчислении классов : операции соответствует пересечение, в исчислении высказываний - конъюнкция, приблизительно соответствующая употреблению грамматического союза "и". Выражение х•у Буль употребляет также в смысле "те х, которые суть у" (т.е. знак " •" играет здесь роль оператора «тот который»".

3. Дополнение до единицы, обозначающееся записью 1-х; в исчеслении классов формула 1-х означает дополнение к классу х, в исчислении высказываний - отрицание х, т.е. "не-х".

Буль выясняет свойства введенных им операций, устанавливая коммутативный закон умножения х•у=у•х, ассоциативный закон умножения x• (y• z)= (x•y) •z, дистрибутивный закон умножения относительно сложения z•{x+y)=(z•x)+{z•y) и др.

Существенное различие между логикой и алгеброй Буль видел в первой всегда имеет место закон идемпотентности х• х=х (например, "белый и белый" есть просто "белый"), в то время как во второй равенство х•х=х верно лишь при значениях х=1 или х-=0, являющихся корнями уравнения х• х-х=0.

Наиболее общую проблему логики Буль формулирует так: зада­но логическое уравнение, содержащее символы х, у, z, w. Требуется найти логически интерпретируемое выражение для выяснения отно­шения класса, обозначенного через w, к классам, обозначенным через x,y,z и т.д.

Исходное уравнение Буль решает сначала по правилам элемен­тарной алгебры, а затем дает логическое истолкование полученного результата с помощью вводимых с этой целью специальных "правил интерпретации".

Новации Буля открывали возможности к исчислению тех ари­стотелевских модусов, с помощью которых получаются заключения общего характера. Вместе с тем, достижения пионера математиче­ской логики выходят далеко за пределы аристотелевской силлоги­стики - хотя бы благодаря введению понятий дополнения к терми­нам, универсального и нулевого (пустого) класса^[81].

Логические результаты Буля подверглись переработке и обоб­щению в трудах его ученика Уильяма Стэнли Джевонса (1835-1882) и немецкого математика и логика Эрнста Шредера (1841-1902). Джевонс создал систему логики, основанную на принципе замеще­ния равных. Благодаря его исследованиям булева алгебра приобрела современный вид. В исчислении, которое разработал Буль и которое истолковывалось им прежде всего как исчисление классов, использо­валась, как мы видели, не операция сложения классов в ее нынешнем понимании, а так называемая симметрическая разность (сложение двух классов с исключением их общей части), а в случае интерпрета­ции, на высказываниях - сильная дизъюнкция, соответствующая сою­зу "или" в исключающем смысле. В результате в его системе оказы­вались неверными многие весьма полезные равнозначности (на­пример, "проваливались" оба закона Де Моргана). Это значит, что фактически у самого Буля булевой алгебры еще не было. Она появ­ляется лишь у Джевонса.

Джевонс известен как создатель оригинальной "мыслительной машины", позволяющей воспроизвести механически некоторые про­цессы человеческой мысли. В этом плане он выступает продолжате­лем идей Луллия, Лейбница и др., которые верили в возможность "дать миру полный компендий всех искусств и наук" (Дж.Свифт) или создать "универсальный язык", с помощью которого человеческое знание, включая мораль и философские истины, может получаться автоматически. Машина Джевонса была основана на более детально разработанной формализованной логике (как благодаря работам са­мого Джевонса, так и его предшественников Буля, Де Моргана и др.), чем логические исчисления; которые строил Лейбниц. Машина Дже­вонса "умела" не только выводить заключения из посылок, но и представлять логические выражения в виде набора конституэнт, про­верять равносильность выражений, упрощать логические формулы, устанавливать, какие утверждения о данном классе можно выразить в терминах некоторых других классов, устанавливать гипотезы, из которых следует данное выражение, проверять правильность силло­гизмов и т.д. Эта машина не освобождала, однако, логический вывод - от участия "человеческой логики": результат, который выдавала ма­шина, нуждался в интерпретации.

Джевонсу принадлежит одна из первых попыток применения ,логико-математического аппарата к анализу экономических явлений.

В работах Шредера не только продолжена разработка логиче­ских идей Буля, но и дается оценка результатов его последователей. В отличие от Буля, который положил в основу своего исчисления *Л|ношение равенства, Шрёдер построил свою систему на базе отно- 1ения включения класса в класс. Он ввел понятие нормальной формы, открыл принцип двойственности, сформулировал аксиому ингерентности (неизменности в рамках данной системы) знаков, средствами булевой алгебры исследовал модусы простого категорического силлогизма. В его трудах впервые встречается термин "логическое исчисление".

Почетное место в развитии новых идей занимают исследования русского логика, астронома и математика Платона Сергеевича Порецкого (1846-1907). Он впервые в России начал читать курс математической логики в Казанском университете. Именно Порецкому нежит утверждение, что математическая логика по своему предмету является логикой, а по методу - математикой. Порецкий существенно усовершенствовал методы решения логических равенств, предложенных Булем, Джевонсом и Шредером. Главный результат Порецкого - нахождение в рамках алгебры логики оригинального алгоритма, позволяющего эффективно получать все следствия (определенного вида) из заданных посылок; все гипотезы, из которых может следовать данное заключение; все различные эквивалентные формы, в которых могут быть представлены данные выражения - посылки и заключения. Таким образом, во многом содействуя упрощению предшествующих достижений в области алгебры , Порецкий впервые получил ряд результатов, которые сыграли важнейшую роль в возникновении современной формы алгебры логики и не потеряли поэтому своего значения и в наши дни.

Алгебраическую традицию в математической логике продолжил некий философ, логик, математик и естествоиспытатель Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914). Отталкиваясь от булева логическо­го исчисления, он отличал строгую дизъюнкцию своего предшест­венника от неразделительной дизъюнкции, использовал табличную разрешающую процедуру в качестве общего метода решения про­блемы разрешения в логике высказываний, указал на возможность ее построения с помощью одной единственной операции - отрицания неразделительной дизъюнкции (впоследствии знак, обозначающий эту операцию, стали называть стрелкой Пирса). Наряду с материально-импликативной Пирс допускал содержательную трактовку отно­шения логического следования, что позволяет считать этого ученого предшественником льюисовской теории строгой импликации. В свя­зи с введением кванторов Пирс обстоятельно исследовал роль пере­менных в научном языке. Он выдвинул принцип, согласно которому содержание понятия целиком исчерпывается представлением о его возможных последствиях.

Пирса можно рассматривать как основоположника семиотики, зачинателя логико-семантических исследований. Он пытался иссле­довать языки науки как частный случай знаковых систем. В зароды­ше у него имеется моррисовское расчленение семиотики на прагма­тику, семантику и синтактику.

В последней четверти XIX в. независимо от традиции, восходя­щей к алгебро-логическим работам Буля, идеи математической логи­ки формировались и развивались в силу внутренних потребностей самой математики (особенно по причине необходимости аксиомати­ческой трактовки ее основ). Пальма первенства здесь принадлежит немецкому логику, математику и философу Готлобу Фреге (1848- 1925). Его не случайно называют основоположником логицизма, тече­ния, опирающегося на идею выведения математики из логики. Фреге отвергал как кантовский тезис о синтетическом характере математи­ческих истин, так и миялевскую трактовку общих законов арифмети­ки как индуктивно-эмпирических утверждений. Будучи после­довательным логицистом, противником субъективистского априо­ризма Канта и наивного эмпиризма и психологизма Милля, Фреге рассматривал математику как чисто аналитическую науку, все поня­тия которой можно определить в рамках дедуктивной логики без ис­пользования каких-либо положений нелогического характера. В про­тивоположность Булю, полагавшему, что логика есть часть матема­тики, Фреге ставил своей целью вывести всю содержательную мате­матику из формальной логики. По существу, это была попытка воз­родить "универсальную характеристику" Лейбница.

Фреге создал первую аксиоматику логики высказываний и пре­дикатов, построил первую систему формализованной арифметики.

Построение исчисления предикатов, в которое исчисление вы­сказываний входит как часть, составляет выдающуюся заслугу Фре­ге. К исследованиям этого ученого восходят распространенные в со­временной логике истолкования понятия переменной, функции, предиката (как логической функции), квантора. Фреге сформулировал исходные положения логической семантики, исследовав отношение равенства и связь обозначающего и обозначаемого, ввел обобщенное понятие имени в логике, о его значении и смысле; обобщил понятие функции, допустив в качестве ее аргументов любые предметы; изучил отношение между предметом, понятием (как одноместным пре­дикатом) и объемом понятия, который трактовал в качестве предмета; анализируя выражения естественного языка, выделил неэкстенсиональные, в частности косвенные, контексты.

Несмотря на скрупулезность работы, в процессе которой Фреге пытался свести математику к логике, ему не удалось избежать парадоксов. Их обнаружил выдающийся английский философ, логик, математик и общественный деятель Бертран Рассел (1872-1970). Суть дела состояла в следующем.

Логическая теория Фреге позволяла в принципе вводить в рассмотрение предикаты от предикатов (то есть свойства предикатов и отношения между предикатами), предикаты от предикатов, определенных на предикатах, а также множества множеств, множества множеств множеств и т.д. Это допускало в теорию такие образования как "свойство, которым оно само не обладает" или "множество, входящее в самого себя в качестве элемента". Скажем, множество абстрактных понятий содержит себя в качестве элемента, так предикат "быть абстрактным понятием" есть тоже абстрактное не - в отличие, например, от множества людей, которое не содержит самого себя как элемент (множество людей не есть человек). Поэтому, если быть последовательным в проведении логикомножественного подхода, то придется допустить законность понятия во всех множеств, не включающих себя в качестве элемента".

Рассел нашел, что в указанном понятии заключено логическое противоречие (впоследствии оно было названо "парадоксом Рассела»). В 1902 году в письме к Фреге он писал: "Вы утверждаете, что функция (т.е. предикат. - Авт.) не нуждается в прямом определении. Я раньше так думал, но сейчас такая точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. Пусть w есть предикат «быть предикатом, который не относится к самому себе». Относится ли этот предикат к самому себе? Из любого ответа на этот вопрос вытекает противоположный ответ. Поэтому мы можем заклю­чить, что w не есть предикат. Точно так же не существует такого множества (рассматриваемого как целое), элементами которого яв­ляются множества, не содержащие самих себя. Отсюда я заключаю, что при определенных условиях понятию множества не соответству­ет ничего такого, что может рассматриваться как объект"[82]. (Юмори­стической парафразой этого противоречия может служить высказы­вание "Деревенский брадобрей бреет всех, кто не бреется сам".)

Последствия письма Рассела были для Фреге трагическими. Хо­тя ему было тогда лишь 55 лет и он прожил после этого более два­дцати лет, он больше не опубликовал ни одной значительной работы по логике. Возникшие трудности ему разрешить не удалось.

Рассел не остановился лишь на обнаружении указанного пара­докса. Он проделал большую работу, чтобы его устранить. Результа­ты своих исследований он изложил в фундаментальном трехтомном труде "Principia Mathematica" (1910—13), созданном совместно с кем­бриджским математиком А. Н. Уайтхедом. В нем развиты математи­ческая логика способом аксиоматизации и формализации исчисления высказываний и исчисления предикатов, а также теория типов как способ преодоления логических парадоксов. Согласно теории типов множество (класс) и его элементы относятся к различным логиче­ским типам, тип множества выше типа его элементов, что устраняет " парадокс Рассела" (теория типов был использована Расселом и для решения знаменитого семантического парадокса "Лжец", а также других, обнаруженных в канторовской теории множеств, парадок­сов). Многие математики, однако, не приняли расселовское решение, считая, что оно накладывает слишком жесткие ограничения на мате­матические утверждения.

Возникшие трудности вынудили ученых серьезно заняться ис­следованиями оснований математики. Появилась идея по-новому взглянуть на процесс математического доказательства и прежде все­го проанализировать лежащие в его основе допущения. Началась великая переоценка математических ценностей, которая дала цен­нейшие плоды не только в математике и логике, но и в осмыслении проблем человеческого познания, его возможностей и которая, б ко­нечном счете, привела к революционным сдвигам в структуре произ­водительных сил общества.

Литература

Источники

Лейбниц Г.В. Об универсальной науке, или философском исчислении // Лейбниц Г.В. Соч. в 4-х т. М., 1984. Т.З.

Лейбниц Г.В. Элементы универсальной характеристики // Там же. Лейбниц Г.В. Исследования универсального исчисления // Там же. Лейбниц Г.В. Основания логического исчисления // Там же. Джееонс Стэнли. Элементарный учебник логики дедуктивной и индук­тивной. СПб., 1881.

Фреге Г. Шрифт понятий/ Методы логических исследований. Тбилиси, 1987.