Логическая корректность рассуждения 4 страница

3. Если В = (С v D) и Be сп[а) , то Се сп[а) или DeCn[A).

4. Если В = ЗхС(х,у1,...,уп) и Be сп[а], то

С(у,у1,...,уп)е сп[а]для новой свободной предметной переменной у, yt встречающейся в списке Сп[А].

5. Если В = VxC(x,y1,...,yn) и ВбСп[д], то

С(у,У1,.--,Уп)<= сп[а)для каждой свободной предметной переменной у, встречающейся в списке Сп[А[.

Определение 5.12. Модельной МК[А]-конструкци-ей для формулы А называется множество альтернативных списков формул iCn[AJ1,...,Cn[A]nji построенных по правилам определения 5.11.

Определение 5.13. Список Сп[А] называется замкнутым, если он содержит формулу В такую, что

ВеСп[д]и -|ВеСп[А]. Модельная конструкция называется замкнутой, если замкнут каждый принадлежащий ей список формул из {Сп^]^.

Определение 5.14. МК-моделью для формулы А называется любой незамкнутый список формул Сп[А].

Определение 5.15. Формула А называется МК-ис-тинной, если и только если она имеет МК-модель, определенную на МК[А]-конструкции.

Определение 5.16. Формула А называется логически истинной в классической логике предикатов, если и только если ее контрдуал, то есть негативно-нормальная форма формула —iA, не является МК-истинным ни на одной из МК-моделей. Обозначается: h=A.

Теорема 5.3. l=A на модельной структуре М = (U, f) если и только если (==А на модельной конструкции МК [А].

Теорема приводится без доказательства.

С логической точки зрения метод модельных структур и метод модельных конструкций равносильны по своим результатам. В соответствии с теоремой 5.3 они приводят к одному и тому же множеству логических формул, которые считаются логически истинными. Но каждый из этих методов опирается на отличающиеся друг от друга концепции истинности. Как уже было сказано, метод модельных структур основывается на классической или корреспондентской концепции, в соответствии с которой быть истинным, значит соответствовать действительности.

В МК[А]-конструкции реализуется концепция когерентности истины. В соответствии с когерентной концепцией истины высказывание является истинным, если оно совместимо с множеством других высказываний и может быть включено в данное множество без противоречия. Безусловно, в модельные структуры и модельные конструкции вкладывается различный философский смысл относительно понятия истинности. Модельные структуры определяют семантическую категорию истинности как отношения между языком и реальностью. В модельных конструкциях категория истинности устанавливает отношения между лингвистическими объектами: формулой и списком формул. В модельных структурах основными семантическими понятиями являются понятия предметного универсума и определенного на нем множества предикатов, то есть, в целом, — понятие состояния объекта. В модельных конструкциях

таким основным понятием является понятие списка формул, а также множества атомарных подформул списка, образующих описание состояния.

Пример 1. Доказать методом модельных конструкций логическую истинность формулы

Зх(А(х)л В(х)) -> (ЗхА(х) л ЗхВ(х)). Доказательство. Приведем данную формулу в негативно-нормальную форму методом эквивалентных преобразований.

1. А = эх(а(х) л В(х)) -> (ЭхА(х) л ЭхВ(х)).

2. -,Зх(А(х) л b(x)) v (ЗхА(х) л ЗхВ(х)). КЛВ

3- А° = Vx(-nA(x) v -.В(х)) v (ЭхА(х) л ЗхВ(х)), %>у(,

где А° — негативно-нормальная формула для А. 4. Контр. А[А] = Эх(А(х)лВ(х))л(Ух-,А(х)уУх-,В(х)), где Контр. А[А] — контрдуал для формулы А°.

Модельная конструкция контрдуала для формулы А° строится в соответствии с правилами 1—5 определения 5.11.

1. Контр. А[А] (1)

2. Зх(А(х)дВ(х)) (2)

3. Vx-,A(x) v Vx-,B(x) (2)

4. (А(у)лВ(у)) (4)
5- А(у) (2)
6. В(у) (2)
7.1. Vx-,A(x) 7.2. Vx^B(x) (3)
8.1. ^А(у) 8.2 ^в(у) (5)
(5-8.1)— противоречие; (6-8.2) — противоречие.

Следовательно, по определениям 5.12—5.16:

Пример 2. Проверить логическую корректность следующего силлогизма методом модельных конструкций.

Только философы эгоисты.

Нет циника, который не был бы эгоистом.

Следовательно, все циники — философы.

Решение. Данный силлогизм имеет следующий перевод на формальный язык (см. пример к упр. 5.1) Vx(a(x) -» Ф(х)), -Вх(ц(х) л -.Э(х)) => Vx(li;(x) -» Ф(х)).

Данный перевод силлогизма на формальный язык имеет следующую негативно-нормальную форму (см. пример к упр. 5.2.)

Vx(-O(x) v Ф(х))л Ух(-Щ(х)л Э(х))л Зх(ц(х) v -пФ(х)). Построим модельную конструкцию для контрду-ала формулы А в негативно-нормальной форме, используя условия 1-5 определения 5.11.

1.	Vx(-,afx)v Ф(х))л Ух(-^ц(х)л Э(х))л Эх(ц(х) v -,ф(х))	(1)
2.	Ух(-тЭ(х)уф(х))	(2)
3.	Ух(-,Ц(х)лЭ(х))	(2)
4.	Эх(ц(хК-,ф(х))	(2)
5.	ц(у)у-,ф(у)	(4)
6.	-,ц(у)лЭ(у)	(5)
7.	-,Ц(у)	(2)
8.	э(у)	(2)
9.1.	ц(у) 9-2- ->ф(у)	(3)
	7-9.1 -® Ю.2. -,э(ууф(у))	(5)
	11.2.1. _,э(у) 11.2.2. ф(у)	(3)

8-11.2.1 — ® 9.2-11.2.2 —<

Модельная конструкция для контрдуала замкнулась. Следовательно, силлогизм логически корректен.

Упражнения

5.8. Проверьте логическую корректность силлогизмов, приведенных в упр. 5Л, методом модельных конструкций.

5.9. Докажите логическую истинность формул упр. 5.6 методом модельных конструкций.

5.10. Опровергните логическую истинность формул упр. 5.7 методом модельных конструкций.

5.3. Теория доказательств классической логики предикатов

Теоретическую логику иногда называют формальной к огромному неудовольствию большинства исследователей в области логической науки и ее истинных почитателей. Такая неудовлетворенность в терминологии вызвана прежде всего тем, что под термин «формальная логика», преднамеренно или по незнанию, подводят всю современную структуру логики в целом, отказывая ей в какой-либо содержательной значимости. Однако это, конечно, не так. Теория моделей классической логики предикатов — образца современной логической теории — обнаруживает глубинный содержательный смысл, заложенный в такие семан-

тические категории, как понятие модели или истинности. Содержательные аспекты логического исследования были подробно рассмотрены и изучены в предшествующем разделе.

И все же профессиональный исследователь в области логического познания, изгоняя крамолу допущения некоторой «содержательной логики», отличной от изучаемой и развиваемой им, всегда готов признать, что значительная часть теоретической логики занимается исключительно формальными проблемами, никак не связанными непосредственно с изучением и моделированием реальности. Эта часть логики называется теорией доказательств, в которой анализируются проблемы эффективной и регулярной выводимости одних логических структур из других, не заботясь о том, какие содержательные интерпретации могли бы быть для них подходящими.

Теория доказательств, в первом приближении, исследует логические правила образования формальных структур, то есть формализованного языка теории, а также правила преобразования этих структур в другие формальные структуры. Последние являются логическими правилами вывода и доказательства. В разделе 4.2, относящемся к классической логике высказываний, уже затрагивались эти вопросы в рамках изучения дедуктивной теории натурального вывода.

В этом разделе будут сформулированы некоторые вводные положения и замечания, связанные с рассмотрением аксиоматического метода в теории доказательств классической логики предикатов. Аксиоматический метод является древнейшим в логических исследованиях и методологии научного познания. Еще два с половиной тысячелетия назад аксиоматический метод стал образцом систематизации

научного знания и основным ответом на вопрос о принципах его построения.

Аксиоматический способ построения научной теории основывается существенным образом на различении ее исходных и производных элементов. Исходные утверждения теории, не анализируемые в ней содержательно, обычно называют аксиомами или постулатами. Исходные понятия теории — это ее концептуальные допущения, взятые без определений. Из аксиом и постулатов теории в процессе доказательства выводится по логическим правилам вывода система дедуктивно-замкнутых утверждений — теорем теории. Из концептуальных допущений, принятых в теории, по определениям и дефинициям задаются новые, производные понятия, связанные дефиници-ально с исходными и образующие вместе с ними единую концептуальную структуру.

Теория доказательств классической логики предикатов в аксиоматической форме может быть представлена следующим образом.

Аксиомы КЛП-исчисления

АО Все тезисы классической логики высказываний (КЛВ).

А1 Р(у)->ЗхР(х) А2 VxP(x)->P(y)

Логические правила вывода в КЛП-исчислении

П1 Если I—А —В и h-A,TO I—В.

П2 Если А содержит переменные р.,, ..., рп, а В

получается из А подстановкой в А формул

С.,,..., Сп вместо pv ..., рп соответственно, то

I—А влечет I— В. ПЗ Если С есть подформула формулы А, Д есть

подформула формулы В, а В получается из А

заменой С на Д, то из С <-> Д следует, что

А<->В. П4 Если В ->А(х) и формула В не содержит

переменной х, то (— • В-» ухА(х). П5 Если i — А(х) -» В и формула В не содержит переменной х, то \— ЗхА(х) -» В.

Определение 5.17. Доказательством в КЛП-ис-числении называется последовательность формул КПП-языка, каждая из которых является либо одной из аксиом АО-А2, либо формулой, полученной из предшествующих в последовательности по одному из правил вывода П1-П5. Конечная формула последовательности доказательства называется доказуемой формулой КПП-исчисления или КЛП-тезисом. Обозначается: (—А.

Следующие утверждения являются тезисами КЛП-исчисления.

Tl. VxP(x) -» -,Зх-,Р(х)

1. VxP(x)-> Р(у)

2. -,Р(у) -> -,VxP(x)

3. 3x-rP(x) -> -,VxP(x)

4. VxP(x) -+ -ax-nP(x)

Т2. -,Vx-iP(x) -^ ЗхР(х)

1. Р(у)-> ЗхР(х)

2. -1ЗхР(х) -+ -,Р(у)

3. -,ЗхР(х)-> Vx-,P(x) 4- -,Vx-,P(x) -> 3xP(x)

А2

Из (1) по КЛВ Из (2) по П5 Из (3) по КЛВ