Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов III курса специальности 280201 – «Охрана окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов».

Многие направления профессиональной деятельности в области охраны окружающей среды и рационального использования природных ресурсов предполагают проведение статистичес­кой обработки различных результатов наблюдений.

Одним из способов обработки статистических данных является математическое моделирование, включающее в себя графичес­кое представление статистических данных и установление математической модели функции распределения результатов наблюдений.

В практической работе последовательно излагаются основные теоретические положения и порядок выполнения работы, приводится список контрольных вопросов и требования к содержанию отчета.

Защита работы осуществляется по контрольным вопросам. К защите представляется отчет, аккуратно оформленный чернилами одного цвета. В тексте не допускается применять сокращения слов, кроме установленных ГОСТ 7.12–77.

Работа

УСТАНОВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Цель работы: практически ознакомиться с порядком установления математической модели распределения погрешностей измерений для многократных наблюдений определения концентрации вредного вещества в окружающей среде.

Основные теоретические положения

Математическую обработку статистических данных выполняют в следующем порядке:

1. Определяют центр распределения погрешностей. При этом выбирают одну из четырех оценок, эффективность которой максимальна для данного класса распределения погрешностей:

1) определяют среднее арифметическое по формулам:

; (1)

(2)

где β ∙n ≤ l ≤ β ∙n + 1; β = 0,05 или β = 0,1 для случая, когда с каждого конца вариационного ряда (ряд значений погрешностей, расположенных в порядке возрастания) исключают по l значений для получения более устойчивой оценки центра распределения погрешностей;

2) определяют медиану Ме – значение случайной величины погрешности, при котором Р(X < Ме) = Р(Х > Ме) = 1/2, по формулам:

если n – четное,

; (3)

если n – нечетное,

; (4)

3) определяют центр размаха по формуле

; (5)

4) определяют центр срединного размаха по формулам:

если n – кратно 4,

; (6)

если n – четное,

; (7)

если (n–1) – кратно 4,

; (8)

если (n+1) – кратно 4,

. (9)

Наиболее эффективными оценками центра распределения погрешностей являются:

– для симметричных экспоненциальных распределений погрешностей при 0 < k < 0,45 – медиана Ме;

– для распределения погрешностей, близких к нормальному закону, при 0,45 ≤ k ≤ 0,67 – среднее арифметическое ; (0,05); (0,1), занимающее медианное положение;

– для распределения погрешностей с крутыми спадами, близкими к законам равнопеременной плотности и арксинусоидальному, при 0,67 ≤ k < 1 – центр размаха Х_R;

– для распределения погрешностей при 0,67 ≤ k < 1 – центр срединного размаха Х_R2.

2. Определяют моменты распределения погрешностей. Формулы для определения начальных α_k и центральных μ_k моментов и соотношения между ними приведены в табл. 1.

Таблица 1

Формулы для определения начальных и центральных моментов

αк	μk	μk = f (αk)
		;
		μ2 = α2 – α12
		μ3 = α 3 – 3 α 2 α 1 + 2 α 13
		μ4 = α4 – 4 α 3 α 1 + 6 α 2 α 12 – – 3 α 14

3. Определяют параметры рассеивания погрешностей. Несмещенную оценку дисперсии и среднего квадратического отклонения определяют по формулам:

(10)

. (11)

4. Определяют параметры островершинности распределения погрешностей. Эксцесс определяют по формуле

(12)

Коэффициент эксцесса определяют по формуле

γ_э = μ₄/σ⁴ + 3. (13)

Контрэксцесс определяют по формуле

(14)

где 0 < k < 1.

5. Определяют границы промахов. Промахами (грубыми погрешностями) считают погрешности, отклонения которых от центра распределения существенно превышают значения, оправданные объективными условиями измерения, и для которых выполняются неравенства Х_г— > Х_i и Х_г+ < Х_i, где Х_г— и Х_г+ - границы промахов, определяемые из выражения

, (15)

где – центр распределения погрешностей, определенный в зависимости от значения k.

После исключения из выборки промахов повторяют вычисления по пп. 1–5.

6. Определяют параметры асимметрии распределения погрешностей. Коэффициент асимметрии распределения погрешностей определяют по формуле

(16)

Среднее квадратическое отклонение коэффициента асимметрии определяют по формуле

(17)

Распределение погрешностей симметрично, если выполняется условие

(18)

7. Определяют показатель формы распределения погрешностей. Показатель формы распределения погрешностей измерения связан с эксцессом Э функциональной зависимостью

(19)

и определяется по графику зависимости показателя формы α от эксцесса Э, представленному на рис. 1.

8. Графически представляют статистические данные. Законы распределения погрешностей измерения и средств измерений определяют экспериментально на основании статистических данных.

Допустим, определяется закон распределения погрешности измерения или средства измерений при ручной обработке информации. Гистограмма (ступенчатый многоугольник, служащий для наглядного представления об эмпирическом распределении и оценки качества произведенного группирования), являющаяся ступенчатой аппроксимацией плотности вероятностей погрешностей, строится в следующем порядке:

1) значения погрешностей располагают в вариационный ряд Х₁; Х₂; …; Х _S ; …; Х_n, где Х _S-1 ≤ Х_S ≤ Х _S+1;

Э

a

Рис. 1. Зависимость показателя формы α от эксцесса Э

2) определяют число интервалов группирования погрешностей, используя вычисленное значение контрэксцесса k:

(20)

Значение m округляют до большего нечетного числа;

3) определяют ширину интервала группирования:

(21)

4) группируют погрешности по интервалам:

(22)

где Г_j - левая граница j-го интервала группирования (j = 1, 2, …, m);

5) определяют вероятность р_i попадания погрешностей в j-й интервал группирования:

(23)

где j = 1, 2, …, m.

Сумма вероятностей по всем интервалам равна

(24)

На каждом интервале, как на основании, строят прямоугольник, площадь которого равна вероятности этого интервала, высота – вероятности, деленной на ширину интервала. Масштаб графика выбирают таким образом, чтобы отношение высоты гистограммы к ее основанию составляло примерно 0,6.

Полигон (ломаную линию) распределения погрешностей строят, соединяя середины верхних сторон прямоугольников гистограммы. Гистограмме обычно отдают предпочтение, потому что ее площадь всегда равна объему выборки, а площадь под полигоном этим качеством не обладает.

Гистограмма или полигон может иметь не одну, а две или несколько вершин, наличие которых трудно объяснить случайными колебаниями. Тогда следует предположить, что вариационный ряд составлен при существенно разных условиях. В этом случае тщательно анализируют условия наблюдения.

9. Определяют информационные характеристики распределения погрешностей. Энтропийное значение погрешности определяют по формуле

(25)

Энтропийный коэффициент, определяющий форму вершины распределения погрешностей, определяют по формуле

(26)

На основании вида гистограммы и полигона, а также сравнения оценок параметров и характеристик эмпирического распределения погрешностей: Э; γ_э; k; γ_а; σ (γ_а); α с их критериальными значениями, приведенными в табл. 26 [5], выдвигают одну или несколько гипотез о виде математической модели эмпирического распределения погрешностей.

На основании гипотез последовательно производят вычисление теоретических плотностей распределения вероятностей погрешностей и теоретических частот следующим образом. Подставляют значения параметров табл. 26 [5] в математическую модель распределения погрешностей и, умножая полученные значения на ширину интервала группирования d, определяют плотность распределения вероятностей погрешности f (X) для значений Х_j (i = 1, 2, …, m), равных серединам интервалов группирования. Теоретические частоты n¢_i определяют в каждом интервале группирования, умножая вычисленные значения плотности распределения погрешностей f (X _i) на объем выборки n.

После этого проверяют соответствие эмпирического распределения погрешностей выбранной математической модели. Проверку производят в зависимости от объема выборки. Для объемов выборок 50 > n > 15 проверку проводят по составному критерию, для объемов выборок 50 < n < 200 проверку на соответствие эмпирического распределения математической модели проводят по критерию Мизеса – Смирнова (ω²), для выборки с n > 100 рассчитывают критерий Пирсона (c²).

Составной критерий состоит из двух составляющих.

Критерий 1. Определяют значение отношения по формуле

(27)

где S^* - смещенная оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

(28)

Распределение результатов наблюдений считают нормальным, если

(29)

где и – квантили распределения, определяемые в соответствии с прил. 1 по n, q₁/2 и (1 - q₁/2), причем q₁ – заранее выбранный уровень значимости критерия.

Критерий 2. Результаты наблюдений считают нормальными, если не более m разностей (Х_i - ) превзошло значение Z_P/2 S, где Z_P/2 – верхняя квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности Р/2; S – оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

(30)

Значения Р определяют в соответствии с прил. 2 по выбранному уровню значимости q₂ и числу результатов наблюдений n.

Если при проверке соответствия опытных данных теоретичес­ким для критерия 1 выбран уровень значимости q₁, а для критерия 2 – q₂, то результирующий уровень значимости составного критерия равен q = q₁ + q₂. Если хотя бы один из критериев не соблюдается, то гипотеза о теоретическом распределении отвергается.

Вычисления критерия Мизеса – Смирнова проводят в следующем порядке.

Определяют значение ω_n² по формуле

(31)

где Х_i (i = 1, 2, …, n) – результат наблюдений, имеющий i-й номер в вариационном ряду Х₁ ≤ Х₂ ≤ … ≤ Х_n; F (X_i) – значение функции теоретического распределения при значении аргумента Х_i, равное

(32)

где f (X_i) – плотность вероятности функции распределения.

Результаты, полученные по формуле (31), сводят в табл. 2. Вычисления проводят с точностью до пяти значащих цифр, округляя окончательный результат до двух значащих цифр. Заполнив табл. 2, получают значение ω_n² путем суммирования чисел, занесенных в графу 10 табл. 2. Затем по прил. 3 находят значение функции α(ω_n²), соответствующее вычисленному значению ω_n². Функция α(ω_n²) представляет собой функцию распределения величины ω_n².

После этого задают уровень значимости α, равный 0,1 или 0,2. Если α(ω_n²) ≥ (1 – α), то гипотезу о согласии эмпирического и теоретического распределений отвергают. Если α(ω_n²) < (1 – α), то гипотезу принимают.

Если для нескольких математических моделей нет существенного расхождения с эмпирическим распределением погрешнос­тей, то в качестве математической модели принимают ту из них, для которой получена наибольшая вероятность согласия.

Порядок выполнения работы

Студенты получают задание с исходными данными для расчета и установления математической модели распределения погрешностей измерений определения концентрации вредного вещества в окружающей среде. Работу выполняют в несколько этапов:

1. Изучают основные теоретические положения и выбирают одну из оценок центра распределения погрешностей;

2. Производят графическое построение математической модели распределения погрешностей и определяют ее характеристики;

3. Сравнивают экспериментальные и теоретические модели распределения погрешностей и выбирают закон распределения;

4. Производят проверку соответствия эмпирического распределения выбранной модели.

Пример

По данным многократных наблюдений концентрации вредных веществ выборка объемом n = 80 со значениями от 4,92 до 5,16.

На основании формул (1), (2), (11), (14), (15) определяют оценки параметров и характеристик эмпирического распределения погрешностей: = 5,0168; σ = 0,045; k = 0,54; Х_г— = 4,879; Х_г+ = 5,155.

Значение 5,16 является промахом на основании (15), а поэтому после исключения его из вариационного ряда получили:

n = 79; = 5,015; Ме = 5,020; Х_г— = 4,893; Х_г+ =5,1317;
σ = 0,042; γ_а = -0,33; 1,5σ(γ_а) = 0,4; γ_э = -0,14;
k = 0,59; Δ = 0,079; K = 1,87; m = 7 (6,07); d = 0,027.

Так как | γ_а | < 1,5 σ(γ_а), т.е. 0,33 < 0,4, эмпирическое распределение погрешностей считают симметричным и выбор математической модели осуществляют для симметричных функций.

Графическое представление эмпирического распределения погрешностей в виде гистограммы и полигона показано на рис. 2. Количество интервалов группирования значений выборки определяется по формуле (20)

Полученное значение округляют до большего нечетного числа m = 7.

На основании сравнения оценок параметров и характеристик эмпирического распределения погрешностей с их числовыми значениями для математических моделей табл. 26 [5]) выбирают две теоретические функции – нормальную (рис. 2, б) и треугольную (рис. 2, в) в качестве аппроксимирующих данное эмпирическое распределение погрешностей для дальнейшей проверки их по критериям согласия. Вычисляют значения теоретических вероятностей и заносят данные в табл. 3.

Рис. 2. Графическое представление эмпирического распределения

Таблица 3

Расчетные данные

Номер интервала	Середина интервала	Эмпиричес­кая частость	Вероятность	Теоретическая частость
Нормальная функция	Треуголь­ная функция	Нор- мальная функция	Тре- угольная функция
	4,9336		0,04	0,055	3,13	4,37
	4,9607		0,112	0,125	8,85	9,85
	4,9879		0,209	0,194	16,51	15,32
	5,0150		0,257	0,263	20,32	20,8
	5,0421		0,209	0,194	16,51	15,32
	5,0693		0,112	0,125	8,84	9,85
	5,0963		0,04	0,055	3,13	4,37

Проверку согласия эмпирического распределения с выбранными теоретическими функциями (нормальной и треугольной) проводят по критерию ω²:

(ω_n²)_норм = 3,87; (ω_n²)_треуг = 1,07.

После этого задают уровень значимости q = 0,1. По прил. 3 находят значение функции α (ω_n²), соответствующее вычисленному значению ω_n². Значения ω_n² в прил. 3 ограничены значением 2,5. При (ω_n²)_норм > 2,5 значение функции α(ω_n²)_норм > 0,95 и стремится к единице. При (ω_n²)_треуг = 1,07 α(ω_n²)_треуг будет равно 0,673. При заданном уровне значимости q = 0,1 α (ω_n²)_треуг = 0,673 >
> (1 - 0,1).

Таким образом, принимают гипотезу о законе распределения Симпсона. Математическая модель эмпирического распределения погрешностей имеет вид

где α = σ .

Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Основные теоретические положения.

3. Исходные данные.

4. Результаты расчета и их анализ.

5. Выводы по работе.

6. Список использованной литературы.

Контрольные вопросы

1. Какие характеристики могут быть выбраны в качестве оценки центра распределения погрешностей?

2. Перечислите основные этапы статистической обработки данных.

3. Каким параметром характеризуется рассеивание погрешностей?

4. Каким параметром характеризуется асимметрия распределения погрешностей?

5. Приведите особенности графического представления статистических данных.

6. Приведите характеристику составного критерия.

7. Приведите характеристику критерия Мизеса – Смирнова.

Список литературы

1. Сергеев А.Г. Метрология: Учеб. пособие для вузов. – М.: Логос, 2000. – 408 с.

2. Крылова Г.Д. Основы стандартизации, сертификации, метрологии: Учеб. для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. – 711 с.

3. Тартаковский Д.Ф., Ястребов А.С. Метрология, стандартизация и технические средства измерений: Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк., 2001. – 205 с.

4. Рабинович С.Г. Погрешности измерений. – М.: Энергия. Ленингр. отд. – 1978. – 261 с.

5. Артемьев Б.Г., Голубев С.М. Справочное пособие для работников метрологических служб. Кн. 1. – М.: Изд-во стандартов. – 1990. – 960 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Квантили распределения

n	(q1/ 2) ∙ 100 %	(1 – q1/2) ∙ 100 %
1 %	5 %	96 %	99 %
	0,9137	0,8884	0,7236	0,6829
	0,9001	0,8768	0,7304	0,6950
	0,8901	0,8686	0,7360	0,7040
	0,8826	0,8625	0,7404	0,7110
	0,8769	0,8578	0,7440	0,7167
	0,8722	0,8540	0,7470	0,7216
	0,8682	0,8508	0,7496	0,7256
	0,8648	0,8481	0,7518	0,7291
	0,8619	0,8458	0,7538	0,7323
	0,8594	0,8438	0,7557	0,7353
	0,8572	0,8420	0,7576	0,7382
	0,8552	0,8403	0,7594	0,7410
	0,8533	0,8386	0,7612	0,7438
	0,8514	0,8370	0,7630	0,7465
	0,8496	0,8354	0,7647	0,7492
	0,8478	0,8338	0,7664	0,7519
	0,8460	0,8323	0,7681	0,7545
	0,8443	0,8308	0,7698	0,7571

Приложение 2

Значения вероятности Р в зависимости от n и q₂

n	m	q2 ∙ 100 %
1 %	2 %	5 %
		0,98	0,98	0,96
11 – 14		0,99	0,98	0,97
15 – 20		0,99	0,99	0,98
21 – 22		0,98	0,97	0,96
23 – 27		0,98	0,98	0,97
28 – 32		0,99	0,98	0,98
33 – 35		0,99	0,98	0,98
36 – 49		0,99	0,99	0,98
50 – 53		0,98	0,97	0,96
		0,98	0,98	0,96
55 – 60		0,98	0,98	0,97
61 – 69		0,99	0,98	0,98
70 – 83		0,99	0,99	0,98
84 – 90		0,98	0,97	0,96
91 – 100		0,98	0,99	0,96

Приложение 3

Значение функции α (ω_n²) при втором знаке после запятой ω_n²

Значение ωn2
0,0	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
0,1	0,000	0,000	0,000	0,000	0,001	0,001	0,002	0,003	0,005	0,007
0,2	0,010	0,013	0,016	0,020	0,025	0,030	0,035	0,041	0,048	0,055
0,3	0,062	0,070	0,078	0,086	0,095	0,104	0,113	0,122	0,132	0,141
0,4	0,151	0,161	0,171	0,181	0,192	0,202	0,212	0,222	0,233	0,243
0,5	0,253	0,263	0,274	0,284	0,294	0,304	0,313	0,323	0,333	0,343
0,6	0,352	0,361	0,371	0,380	0,389	0,398	0,407	0,416	0,424	0,433
0,7	0,441	0,449	0,458	0,466	0,474	0,482	0,489	0,497	0,504	0,512
0,8	0,519	0,526	0,533	0,540	0,547	0,554	0,560	0,567	0,573	0,580
0,9	0,586	0,592	0,598	0,604	0,610	0,615	0,621	0,627	0,632	0,637
1,0	0,643	0,648	0,653	0,658	0,663	0,668	0,673	0,677	0,682	0,687
1,1	0,691	0,696	0,700	0,704	0,709	0,713	0,717	0,721	0,725	0,729
1,2	0,732	0,736	0,740	0,744	0,747	0,751	0,754	0,758	0,761	0,764
1,3	0,768	0,771	0,774	0,777	0,780	0,783	0,786	0,789	0,792	0,795
1,4	0,798	0,800	0,803	0,806	0,809	0,811	0,814	0,816	0,819	0,821
1,5	0,824	0,826	0,828	0,831	0,833	0,835	0,837	0,839	0,842	0,844
1,6	0,846	0,848	0,850	0,852	0,854	0,856	0,858	0,859	0,861	0,863
1,7	0,865	0,867	0,868	0,870	0,872	0,873	0,875	0,877	0,878	0,880
1,8	0,881	0,883	0,884	0,886	0,887	0,889	0,890	0,892	0,893	0,894
1,9	0,896	0,897	0,898	0,900	0,901	0,902	0,903	0,905	0,906	0,907
2,0	0,908	0,909	0,910	0,912	0,913	0,914	0,915	0,916	0,917	0,918
2,1	0,919	0,920	0,921	0,922	0,923	0,924	0,925	0,926	0,927	0,928
2,2	0,929	0,929	0,930	0,931	0,932	0,933	0,934	0,934	0,935	0,936
2,3	0,937	0,938	0,938	0,939	0,940	0,941	0,941	0,942	0,943	0,943
2,4	0,944	0,945	0,945	0,946	0,947	0,947	0,948	0,949	0,949	0,950

Содержание

Введение................................ 3

Работа. Установление математической модели распределения по-
грешностей................................. 4

Список литературы.......................... 19

ПРИЛОЖЕНИЯ........................... 20

Приложение 1............................. 20

Приложение 2............................. 21

Приложение 3............................. 22

Редактор Н.А. Бачурина

Компьютерная верстка: Т.С. Камыгина

Лицензия А № 001633 от 02 февраля 2004 г.

Сдано в набор 08.08.05. Подписано к печати 06.09.05 г.

Тир. 25. Уч.-изд. л. 1,03. Формат 60´84 ¹/₁₆. Усл. печ. л. 1,63.

Гарнитура Таймс. Зак. .

ГОУ ВПО Череповецкий государственный университет

162600, г. Череповец, пр. Луначарского, 5.

Таблица 2

Значения промежуточных вычислений

Номер на­блюдения в вариационном ряду		F (Xi)	ln(3)	(2) ∙ (4)	1 – (2)	1 – (3)	Įn(7)	(6) ∙ (8)	(5) + (9)
		F (X1)	ln F (X1)	´ ´ ln F (X1)		1 - F (X1)	ln [1 - F (X1)]	´ ´ ln [1 - F (X1)]	ln F (X1) + ´ ´ ln [1 - F (X1)]
		F (X2)	ln F (X2)	´ ´ ln F (X2)		1 - F (X2)	ln [1 - F (X2)]	´ ´ ln [1 - F (X2)]	ln F (X2) + + ln [1 - F (X2)]
∙	∙	∙	∙	∙	∙	∙	∙	∙	∙
i		F (Xi)	ln F (Xi)	´ ´ ln F (Xi)	1 -	1 - F (Xi)	ln [1 - F (Xi)]	´ ´ ln [1 - F (Xi)]	ln F (Xi) + + ln [1 - F (Xi)]
∙	∙	∙	∙	∙	∙	∙	∙	∙	∙
n		F (Xn)	ln F (Xn)	´ ´ ln F (Xn)	1 -	1 - F (Xn)	ln [1 - F (Xn)]	´ ´ ln [1 - F (Xn)]	ln F (Xn) + ´ ´ ln [1 - F (Xn)]

Примечание. Цифры в скобках в головке табл. 2, например (3), (4), обозначают номера граф, из которых надо брать числа для вычисления. Например, ln(3) означает, что надо вычислить натуральный логарифм числа, находящегося в графе 3.