Отношения между несовместимыми схемами высказываний

ЛОГИКА. Предмет логики как науки

Логическая схема – это та её сторона, которая не зависит от конкретного содержания, но служит для связи, упорядочения и преобразования его элементов.

Виды логических схем. Рассуждения правильные, рискованные и абсурдные.

Логический закон-схема, которая при любом содержании принимает только истинные значения, а соответствующее ей рассуждение – правильное.

Выполнимая схема - логическая схема, которая при одних подстановках преобразуется в истинные, а при других в ложные выражения, а соответствующее ему рассуждение – рискованное.

Противоречивая схема - логическая схема, которая при любой подстановке преобразуется в ложные выражения, а соответствующее ему рассуждение - абсурдное.

Соотношение правильности и истинности

Мысль истинна, если она соответствует действительности. Правильность характеризует мысль с точки зрения внутренней связи между её элементами. Соблюдение правильности при истинных исходных данных всегда ведет к истинным результатам.

Познавательные ошибки в рассуждениях

Познавательные ошибки, связанные с неверными представлениями о действительном положении дел, называются содержательными.

Ошибки, связанные с нарушениями правильности мышления, называются формальными, или логическими. Они делятся на паралогизмы и софизмы.

Паралогизм – это непреднамеренная логическая погрешность. Софизм – преднамеренное нарушение требований логики, прием интеллектуального мошенничества, связанный с попыткой выдать ложь за истину, или наоборот.

РАЗДЕЛ 1. ВЫСКАЗЫВАНИЯ

Общая характеристика логики высказываний

Высказывание - языковое выражение, о котором можно сказать только одно из двух: истинно оно или ложно.

Высказывания (как и соответствующие им схемы построения) делятся на простые и сложные. Сложное высказывание можно разбить на простые. Простое высказывание на более простые не расчленяется. При построении схем в качестве переменных для простых высказываний обычно используются строчные буквы латинского алфавита: p,q,r,s,…; для любых же (иногда нам безразлично, простое это высказывание или сложное) - прописные буквы этого алфавита: A,B,C,D, ...

Схема высказывания принимает логическое значение – «истинно» или «ложно».

Логическое значение сложной схемы высказывания в современной логике ставится в зависимость (является функцией) от логических значений простых схем.

Определения важнейших схем логики высказываний

Сложные высказывания и соответствующие им схемы образуются с помощью особых выражений, которые называются функторами (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция (слабая и сильная), импликация, эквиваленция). Сложную схему принято называть именем функтора, с помощью которого оно образовано, т.е. если, например, схема образуется с помощью конъюнкции, то и сама она называется конъюнкцией.

Отрицанием A называется схема, обозначаемая выражением ØA (читается: «не-A», «неверно, что A»), которая принимает значение «истинно», если и только если A принимает значение «ложно». Данное определение можно выразить с помощью следующей таблицы (таблицы истинности), где «и» обозначает «истинно», а «л» – «ложно»:

Таблица 1

A	Ø A
и	л
л	и

Конъюнкция A и B - схема, обозначаемая выражением AÙB, которая принимает значение «истинно», если и только если значение «истинно» принимает как A, так и B (см. 3-й столбец табл. 2). Выражение A Ù B читается: «A и B».

Таблица 2

A	B	A Ù B	A Ú B	A Ú B	A ® B	A « B
и	и	и	и	л	и	и
л	и	л	и	и	и	л
и	л	л	и	и	л	л
л	л	л	л	л	и	и

Дизъюнкция слабая А и В - схема, обозначаемая выражением AÚB, которая принимает значение «истинно», если и только если значение «истинно» принимает хотя бы одно из A и B (см. 4-й столбец табл. 2). Выражение AÚB читается: «A или B».

Дизъюнкциия сильная А и В - схема, обозначаемая выражением AÚB, которая принимает значение «истинно», если и только если значение «истинно» принимает лишь одно из A и B (см. столбец 5-й табл. 2). Выражение AÚB читается: «либо A, либо B».

Импликация A и B - схема, обозначаемая выражением A®B, которая принимает значение «ложно», если и только если A принимает значение «истинно», а B – значение «ложно» (см. 6-й столбец табл. 2). Выражение A®B читается: «Если A, то B».

Эквиваленция A и B – схема, обозначаемая выражением A«B, которая принимает значение «истинно», если и только если логические значения A и B совпадают (см. 7-й столбец табл. 2). Выражение A«B читается: «A тогда и только тогда, когда B».

Алфавит логики высказываний включает символы:

1.p, q, r, s, … – символы, которые обозначают переменные для простых высказываний; A, B, C, D, … - символы, которые обозначают переменные для любых высказываний;

2.Ù, Ú, Ú, ®, «, Ø - символы для обозначения логических союзов;

3.(, ) – скобки как указатели совершения логических действий.

Никаких других символов в логике высказываний нет.

Осмысленное выражение языка логики высказываний определяется следующим образом:

1.Всякая переменная есть осмысленное выражение;

2.Если А – осмысленное выражение, то ØA, A Ù B, A Ú B, A Ú B, A®B, A«B - тоже осмысленные выражения;

3.Никаких других осмысленных выражений в логике высказываний нет.

Законы логики высказываний

Для выявления форм, являющихся логическими законами, можно воспользоваться таблицами истинности. Схема, порождающая только истинные сложные высказывания, является ЛОГИЧЕСКИМ ЗАКОНОМ.

Наиболее простыми законами логики высказываний являются законы, которые можно выразить с помощью одной переменной – закон исключенного третьего, закон противоречия, закон тождества, закон удаления двойного отрицания, введения двойного отрицания и др.

Закон исключенного третьего– схема AÚØA – два отрицающих друг друга высказывания не являются вместе ложными, выполняется одна из возможностей: если ложно одно из этих высказываний, то истинно его отрицание, а что-либо третье исключено.

Закон противоречия - схема Ø(AÙ ØA) - два отрицающих друг друга высказывания не являются вместе истинными, одно их них ложно.

Закон тождества – схема A«A – всякое высказывание является эквивалентным (тождественным) самому себе, следовательно, в правильном рассуждении оно согласуется с самим собой.

Закон удаления двойного отрицания– схема ØØA®A - отрицание дважды некоторого высказывание образует его утверждение.

Закон введения двойного отрицания– схема A ® ØØA-утверждение некоторого высказывание образует его двойное отрицание. Справедливость рассмотренных законов с одной переменной легко проверяется табличным способом (см. таблицу 5).

Таблица 5

A	A Ú ØA	Ø(A Ù ØA)	A « A	ØØA ® A	A ® ØØA
и	и	и л	и	и	и
л	и	и л	и	и	и

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СХЕМАМИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Логические отношения между высказываниями устанавливаются через отношения схем, которые наполняются содержанием этих высказываний. Будем считать, что две схемы a и b находятся в отношении сопоставимости лишь тогда, когда существует хотя бы одна переменная, содержащаяся как в a, так и в b.

Основные отношения – это отношения совместимости и несовместимости. Совместимость схем определяется наличием хотя бы одного случая, когда при одинаковых логических значениях переменных эти схемы одновременно получают значение «истинно». При отсутствии такого случая схемы несовместимы.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СОВМЕСТИМЫМИ

СХЕМАМИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.

Отношение следования (подчинения) -логические схемы a и b находятся в отношении следования (из a следует b), если и только если при одинаковых значениях переменных не бывает так, что схема a получает значение «истинно», а схема b получает значение «ложно».

Отношение полной совместимости (равнозначности) -схемы a и b находятся в отношении полной совместимости, или равнозначности, если и только из схемы a следует схема b, и наоборот; иными словами, в этом случае при одинаковых значениях переменных схемы a и b принимают одинаковые логические значения и их таблицы истинности полностью совпадают.

Если отношение равнозначности обозначить знаком Û, то верны следующие утверждения:

(1) Ø(A Ù B) ÛØA Ú ØB;

(2) Ø(A Ú B) Û ØA Ù ØB;

(3) A Ú B Û (A Ù ØB) Ú (ØA Ù B);

(4) A ® B ÛØB ® ØA;

(5) A ® B Û Ø(A Ù Ø B);

(6) Ø(A ® B) ÛA ÙØ B;

(7) A ® B ÛØA Ú B;

(8) A « B Û (A ® B)Ù(B ® A);

(9) Ø(A « B) Û AÚB;

(10) A Û ØØA;

(11) A Û AÙ(AÚB);

(12) A Û (AÚB)Ù(A ÚØB);

(13) A Û (AÙB)Ú(AÙØB);

(14) (A Ú C) Ù (B Ú ØC) Û (AÚC)Ù(BÚ ØC)Ù(AÚB);

(15) (A Ù C) Ú (B Ù ØC) Û (AÙC)Ú(BÙØC)ÚAÙB);

(16) AÙ AÛ A;

(17) AÚ AÛ A;

(18) AÙØAÛ л;

(19) AÚØAÛ и;

(20) A Ù (B Ù C) Û (A Ù B)ÙC;

(21) A Ú (BÚ C) Û (A Ú B)ÚC.

Отношение частичной совместимости - схемы a и b находятся в отношении частичной совместимости, если и только если при одинаковых значениях переменных они вместе получают значение «истинно», но не получают значение «ложно».

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НЕСОВМЕСТИМЫМИ СХЕМАМИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Отношение противоречия -схемы a и b находятся в отношении противоречия, если и только если при одинаковых значениях переменных они получают разные логические значения. Это значит, что с их помощью порождаются высказывания, которые не могут быть вместе истинными, как и не могут быть вместе ложными.

Отношение противности -схемы a и b находятся в отношении противности, если и только если при одинаковых значениях они вместе получают значение «ложно», но не получают значение «истинно».

РАЗДЕЛ 2. ИМЕНА

Основные характеристики имени

Имя - выражение языка, обозначающеё отдельный предмет или множество, совокупность предметов.

Множество (совокупность, класс) предметов, обозначаемых именем, называется объёмом имени. Отдельные предметы, входящие в объём имени, называются элементами объёма имени. Подклассы объёма имени называются частями объёма.

Содержание имени- совокупность признаков тех предметов, которые обозначаются данным именем. Под признаком понимается любое свойство, любая характеристика предмета.

Признаки, составляющие содержание имени, могут быть родовыми, видовыми и индивидуальными. Если мы в пределах какого-то достаточно широкого класса объектов выделяем более узкий класс объектов, то признаки, выделяющие более широкий класс, будут считаться родовыми, а признаки, выделяющие более узкий класс, - видовыми. Индивидуальными признаками являются такие, которые однозначно выделяют данный единичный объект.

Основным содержанием имени можно называть ту минимальную часть его содержания, из которого в той теории, к которой относится имя, логически выводимо все остальное содержание имени (которое в таком случае называется производным). Совокупность же основного и производного содержаний имени является его полным содержанием.