Динамические характеристики

Дифференциальные уравнения наиболее полно описывают динамические свойства средств измерений. Общий вид уравнения с нулевыми начальными условиями:

(2.4)

где Y(t) и Х(t)– выходной и входной сигналы средств измерений как функции времени t; n - число, определяющее порядок производной, а_i и К_j – постоянные коэффициенты.

В подавляющем большинстве случаев динамическая характеристика средств измерений в линейной части функции преобразования (для средств измерений с линейной статической характеристикой во всем диапазоне преобразований) может быть приведена к уравнению вида:

(2.5)

Порядок уравнения (2.4) бывает довольно высоким, по крайней мере, выше второго. Его решение даже при известном виде функции Y(τ) весьма затруднено, а неизвестное аналитическое выражение для Y(τ) делает определение производных совершенно невозможным. Дифференциальное уравнение высокого порядка может быть представлено системой дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Такой подход означает представление сложного в динамическом смысле средства измерения совокупностью более простых, хорошо изученных динамических звеньев (нулевого, первого и второго порядков). Например, элемент нулевого порядка описывают уравнением (2.4), динамический элемент первого порядка уравнением:

, (2.6)

где Т – постоянная времени.

Уравнение (2.5), используя преобразование Лапласа, можно записать в виде:

( )Y(p) = , (2.7)

где Y(p) и Х(p)– изображение по Лапласу выходного и входного сигналов средства измерения. Их отношение является передаточной функцией W(p)

. (2.8)

Тогда уравнение (3.7) с учетом (3.8) может быть приведено к виду:

. (2.9)

Передаточную функцию W(p)можно рассматривать как коэффициент преобразования средств измерений в динамическом режиме. Передаточная функция, как и дифференциальное уравнение, является исчерпывающей характеристикой инерционных свойств средств измерения. Она позволяет определять реакцию средства измерения на входные сигналы, изменяющиеся во времени по любому закону. В общем случае, когда входной сигнал представляет собой случайную функцию времени (т.е. случайный процесс), для оценки динамической составляющей инструментальной погрешности используют передаточную функцию прибора.

Передаточную функцию средств измерений удобно использовать при анализе работы средств измерений в автоматических системах регулирования. Ее определяют обычно через переходную характеристику h(t),которая определяется как изменение во времени выходного сигнала измерительного устройства Y(t) при подаче на его вход скачкообразного сигнала, равного по значению единице входной величины. Если высота скачкообразного входного сигнала не равна единице, а имеет некоторое значение Х_А, то по переходной характеристике можно определить выходной сигнал, используя выражение

.(2.10)

Переходная характеристика описывает инерционность средства измерения, обусловливающую запаздывание и искажение выходного сигнала относительно входного. Ее определяют либо опытным путем, либо решая соответствующее дифференциальное уравнение (2.10).

Импульсная переходная характеристика g(τ) – это временная характеристика средства измерения, полученная в результате приложения к его входу сигнала в виде дельта-функции. Переходная и импульсная переходная характеристики связаны между собой уравнением

. (2.11)

Как и дифференциальное уравнение, эти характеристики в полной мере определяют динамические свойства средства измерения.

К частотным характеристикам относятся амплитудно-фазовая, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики. Частотные методы анализа основаны на исследовании прохождения гармонических колебаний различных частот через средство измерения. Если на вход линейного средства измерения подать входной сигнал , то ему будет соответствовать выходной сигнал .

Амплитудно-фазовой характеристикой G(jω) называют отношение

. (2.12)

Она описывает изменение показаний средства измерения при изменении частоты входного сигнала и характеризует только установившийся режим его работы.

Амплитудно-частотная характеристика А(ω) представляет собой зависящее от круговой частоты отношение амплитуды выходного сигнала линейного средства измерения в установившемся режиме к амплитуде входного синусоидального сигнала

. (2.13)

Фазочастотная характеристика φ(ω) – зависящая от частоты разность фаз между выходным сигналом и входным синусоидальным сигналом линейного средства измерения в установившемся режиме.

Помимо рассмотренных полных характеристик часто используют частные. Частными динамическими характеристиками могут быть от­дельные параметры полных динамических характеристик или ха­рактеристики, не отражающие полностью динамических свойств средств измерений, но достаточные для выполнения измерений с требуемой точностью. К частным динамическим характеристикам относится, например, время реакции (т.е. время установления выходного сигнала), погрешность датирования отсчета.