Описание комбинационных схем

Теоретические сведения

Алгебра высказываний

Современная математическая логика представляет собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики. Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Под высказыванием (суждением) понимается повествова­тельное предложение, относительно которого можно сказать, истин­но оно или ложно.

Обозначать высказывания будем большими буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить: «А – истинно». Если высказывание Х ложно, то будем писать «Х = 0» и говорить «Х – ложно».

Основные логические операции

1. Логическое отрицание (инверсия) ­– образуется из ис­ходного высказывания с помощью добавления частицы НЕ к ска­зуемому или использованием оборота речи «неверно, что...». Инверсия обозначается: не А; А; not А; Ā.

2. Логическое умножение (конъюнкция) - это сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И». Конъюнкция обозначается: ˄;&;*;and;и.

3. Логическое сложение (дизъюнкция)– это сложное выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений в одно с помощью союза ИЛИ.

4. Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «ЕСЛИ…,ТО…».

5. Логическое равенство (эквивалентность) образуется со­единением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…». Эквивалентность обозначается: А = В; А ~ В.

Логические переменные, функции алгебры логики

Логические переменные были введены впервые вначале прошлого столетия английским математиком Д. Булем, предложив­шим своеобразную алгебру, которая оперирует с высказываниями и которая получила в дальнейшем название булевой алгебры.

Пусть имеется n двоичных переменных x₁,x₂, … x_n, так, что каждая из них может принимать любое из значений 0 или 1. Назовём двоичным набором (x₁,x₂, … x_n) совокупность зафиксированных значений переменных.

Функцией алгебры логики (булевой функци­ей) п аргументов мы будем называть функцию, определённую на множестве всевозможных наборов значений двоичных переменных (x₁,x₂, … x_n), принимающую значение 0 либо 1.

Для того, чтобы задать функцию алгебры логики от п перемен­ных, нужно указать её значение для каждого из 2ⁿ наборов значений аргументов, которые образуют область определения булевой функции. Очень часто это делается в виде таблицы с 2ⁿ строками.

Так как каждому набору аргументов (x₁,x₂, … x_n) может быть сопоставлено только два значения функции 0 или 1, то число различных булевых функций, зависящих от n аргументов, равно 2ⁿ.

Две булевых функции f(x1,x2,... ,xn) и g(x1, x2,...,xn) называются равными, если на всех возможных наборах значений аргументов они принимают одинаковые значения, т.е.

f(x1,x2,... ,xn) = g(x1, x2,...,xn).

Приложения алгебры логики в технике

Среди технических средств автоматизации значительное ме­сто занимают устройства релейно-контактного действия (РКС). Они широко используются в автоматическом управлении, в электронно-вычислительной технике и т.д. Описание и конструирование таких схем в силу их громоздкости весьма затруднительно.

Описание комбинационных схем

Под переключательной схемой понимают схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из следующих эле­ментов:

1) переключателей, которыми могут быть механические действующие устройства (выключатели, переключающие ключи, кно­почные устройства и т.д.), электромагнитные реле, электронные лампы, полупроводниковые элементы и т.п.;

2) соединяющих проводников;

3) входов в схему и выходов из неё (клемм, на которые пода­ётся электрическое напряжение). Они называются полюсами схемы.

Сопротивления, конденсаторы и т.д. на схемах не изобража­ются. Переключательной схемой принимается в расчёт только два состояния каждого переключателя, которые называют «замкнутым» и «разомкнутым».