Раздел 2. МОДЕЛИ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

СТРУКТУРА КУРСА

Раздел 1. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Тема 1. Основные понятия и задачи теории принятия решений

1.1. Теория принятия решений как раздел системного анализа. Основные понятия системного анализа: система, цель, структура. Классификация систем. Методика и методологические принципы системного анализа. Основные понятия и обобщенная классификация задач принятия решений. Формальное описание моделей принятия решений.

Тема 2. Экспертные оценки

2.1. Методологические основы и предпосылки применения методов экспертных оценок.

2.2. Основные типы шкал и методы проведения экспертизы.

2.3. Качественные экспертные оценки и их особенности.

2.4. Этапы работ по организации экспертной оценки.

2.5. Отбор экспертов и их характеристики.

2.6. Методы опроса экспертов.

2.7. Методы обработки экспертной информации, оценка компетентности и согласованности мнений экспертов.

Задание 1.

Тема 3. Детерминированные модели и методы принятия решений

3.1. Постановки многокритериальных задач принятия решений.

3.2. Методы формирования исходного множества альтернатив. Морфологический анализ.

3.3. Характеристики приоритета критериев. Нормализация критериев.

3.4. Принципы оптимальности в задачах принятия решений. Оптимальность по Парето. Принципы идеальной и антиидеальной точки. Принципы равномерности. Принципы справедливой уступки. Принцип выделения главного критерия. Лексикографические принципы.

3.5. Постановка задач оптимизации на основе комбинирования принципов оптимальности.

3.6. Теория полезности. Аксиоматические методы многокритериальной оценки.

3.7. Метод аналитической иерархии.

3.8. Методы порогов несравнимости ЭЛЕКТРА.

3.9. Диалоговые методы. Метод ограничений.

3.10. Диалоговые методы деформируемых конфигураций.

3.11. Диалоговый метод выбора наилучшей паретовской точки.

3.12. Качественные методы принятия решений (вербальный анализ).

Задание 2.

Тема 4. Статистические модели и методы принятия решений в условиях неопределенности

4.1. Статистическая модель однокритериального принятия решений в условиях неопределенности.

4.2. Построение критериев выбора решений для первой ситуации априорной информированности ЛПР.

4.2.1. Критерий Байеса-Лапласа.

4.2.2. Критерий минимума среднего квадратического отклонения функции полезности или функции потерь.

4.2.3. Критерий максимизации вероятности распределения функции полезности.

4.2.4. Модальный критерий.

4.2.5. Критерий минимума энтропии математического ожидания функции полезности.

4.2.6. Критерий Гермейера.

4.2.7. Комбинированный критерий. Объединение критериев Байеса-Лапласа и среднего квадратического отклонения функции полезности (потерь).

4.3. Построение критериев выбора решений для второй ситуации априорной информированности ЛПР.

4.3.1. Максиминный критерий Вальда.

4.3.2. Критерии минимаксного риска Сэвиджа.

4.4. Построение критериев выбора решений для третьей ситуации априорной информированности ЛПР.

4.4.1. Критерий Гурвица.

4.4.2. Критерий Ходжеса-Лемана.

4.5. Построение комбинированного критерия выбора решений для различных ситуаций априорной информированности ЛПР.

4.6. Пример оценки отдельных характеристик качества информационной системы в условиях неопределенности.

4.7. Статистическая модель многокритериального принятия решений на основе принципов оптимальности в условиях неопределенности.

4.7.1. Двухуровневая модель принятия решений в условиях неопределенности. Постановка задачи.

4.7.2. Постановка задач оптимизации на основе комбинирования принципов оптимальности.

4.8. Пример многокритериальной оценки качества информационной системы.

Задание 3.

Тема 5. Задачи и алгоритмы принятия коллективных решений на основе голосований

5.1. Введение в принятие коллективных решений на основе голосований.

5.2. Основные процедуры голосования.

5.3. Задача принятия группового решения.

5.4. Аксиомы и парадокс Эрроу.

5.5. Правила большинства.

5.6. Правило суммы мест альтернатив.

5.7. Правило Борда.

5.8. Правила вычеркивания.

5.9. Пример принятия коллективных решений.

Задание 4.

Раздел 2. МОДЕЛИ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Тема 6. Задачи и методы поисковой однокритериальной оптимизации

6.1. Введение в вопросы оптимизации. Математические сведения. Примеры задач оптимизации. Тест-функции. Недифференцируемые овражные функции Рыкова.

6.2. Методы одномерной минимизации. Унимодальные функции. Методы последовательного сужения интервала неопределенности. Методы деления отрезка пополам, золотого сечения. Методы стохастической аппроксимации.

6.3. Методы безусловной минимизации гладких функций. Классификация методов безусловной оптимизации. Скорости сходимости. Методы первого порядка. Градиентные методы. Методы второго порядка. Метод Ньютона. Методы первого порядка. Квазиньютоновские методы. Методы сопряженных градиентов. Конечно-разностная аппроксимация производных.

6.4. Методы нулевого порядка (прямого поиска). Методы покоординатного спуска, Хука-Дживса, сопряженных направлений, случайного поиска. Методы деформируемых конфигураций. Симплексные методы. Комплекс-методы. Решение задач многокритериальной оптимизации методами прямого поиска.

Задание 5.

Тема 7. Модели и численные методы поисковой условной оптимизации

7.1. Численные методы поисковой условной оптимизации. Основные подходы к решению задач с ограничениями. Методы сведения задач с ограничениями к задачам безусловной оптимизации. Методы внешних и внутренних штрафных функций. Методы проектирования. Метод проекции градиента. Метод условного градиента. Метод возможных направлений.

7.2. Специальные методы решения задач условной оптимизации. Метод зеркальных построений. Метод скользящего допуска. Комбинированный метод проектирования и штрафных функций.

Тема 8. Численные методы решения специальных классов задач оптимизации

8.1. Задачи и методы недифференцируемой оптимизации. Липшицевы функции. Сглаживание функций. Метод обобщенного градиентного спуска. Методы прямого поиска для минимизации липшицевых функций. Усреднение направлений спуска. Методы случайного поиска. Методы решения негладких задач с ограничениями.

8.2. Задачи и методы стохастического программирования. Стохастические квазиградиентные методы. Прямые и непрямые методы. Метод проектирования стохастических квазиградиентов. Методы конечных разностей в стохастическом программировании. Методы стохастической аппроксимации. Методы с операцией усреднения. Методы случайного поиска. Стохастические задачи с ограничениями вероятностной природы. Прямые методы. Стохастические разностные методы. Методы с усреднением направлений спуска. Специальные приемы регулировки шага.

Задание 6.

Домашнее задание 1.

1. Ответить на вопросы 1‑14 С. 233 [1], вопросы 1-14 тема 1 из файла «Вопросы и задачи» раздаточного материала [4].

2. Ответить на вопросы 1‑16 С. 234 [1] или вопросы 1-16 тема 2 из файла «Вопросы и задачи» раздаточного материала [4].

3. Решить задачи 18-94 С. 234-271 [1] или задачи 18-95 тема 2 из файла «Вопросы и задачи» раздаточного материала [4].

4. Предложить пример задачи, решаемой методами экспертных оценок,и решить ее.

Домашнее задание 2.

1. Ответить на вопросы 1‑17 С. 272-273 [1] или вопросы 1-17 тема 3 из файла «Вопросы и задачи» раздаточного материала [4].

2. Решить задачи 18-47 С. 273-282 [1] или задачи 18-50 тема 3 из файла «Вопросы и задачи» раздаточного материала [4].

3. Предложить пример задачи, сводимой к задаче многокритериальной оценки альтернатив при определенности и решить ее.

Домашнее задание 3.

1. Ответить на вопросы 1‑14 С. 283-284 [1] или вопросы 1-14 тема 4 из файла «Вопросы и задачи» раздаточного материала [4].

2. Решить задачи 15-29 С. 284-292 [1] или задачи 15-42 тема 4 из файла «Вопросы и задачи» раздаточного материала [4].

3. Предложить пример задачи, сводимой к задаче многокритериальной оценки альтернатив при статистической неопределенности и решить ее.

Домашнее задание 4.

1. Ответить на вопросы 1‑11 С. 293 [1] или вопросы 1-11 тема 5 из файла «Вопросы и задачи» раздаточного материала [4].

2. Решить задачи 12-64 С. 293-318 [1] или задачи 12-64 тема 5 из файла «Вопросы и задачи» раздаточного материала [4].

3. Предложить пример задачи, решаемой методами коллективного принятия решений и решить ее.

Домашнее задание 5.

1. Ответить на вопросы и решить задачи 1-209 тема 6 из файла из файла «Вопросы и задачи» раздаточного материала [4].

2. Предложить задачу, сводимую к задаче безусловной оптимизации и решить ее.

Домашнее задание 6.

1. Ответить на вопросы и решить задачи 1-69 тема 7 и 1-18 тема 8 из файла «Вопросы и задачи» раздаточного материала [4].

3. Предложить задачу, сводимую к задаче условной оптимизации, недифференцируемой оптимизации или стохастического программирования и решить ее.

Литература:

1. Рыков А.С. Системный анализ. Издательский дом МИСиС, 2009.

2. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений, Наука, 1979.

3. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа, Наука, 1981