Краткие сведения из теории. Лабораторная работа №5 Исследование функциональных узлов ЭВМ комбинационного типа

Лабораторная работа №5 Исследование функциональных узлов ЭВМ комбинационного типа

Цель работы: Практическое изучение логических функций и функциональных узлов их реализующих.

Краткие сведения из теории

Логической функцией f(x₁, x₂, … , x_n) называется функция, которая принимает два значения 0 или 1 в зависимости от переменных х_i , каждая из которых может также принимать только два значения 0 или 1.

В таблице наборы переменных расположены в определенном порядке, который совпадает с порядком возрастания наборов, рассматриваемых как двоичные числа. Этим упорядочиванием будем пользоваться и дальше.

Рассмотрим основные функции алгебры логики.

1. Логическое отрицание (инверсия) обозначается чертой над аргументом. Это функция одной переменной.

(1.1)

Схема, реализующая логическое отрицание, называется логическим элементом НЕ.

Графическое обозначение элемента.

2. Логическое сложение (дизъюнкция). Это функция нескольких переменных. Функция обозначается следующим образом.

f(x₁,x₂) = x₁ V x₂ V x₃…

Для двух переменных таблица истинности имеет вид.

Таблица 1.1 – Таблица истинности ИЛИ

x1	x2	f(x1,x2)

Условное графическое обозначение схемы ИЛИ.

2. Логическое умножение (конъюнкция). Это функция нескольких переменных. Функция обозначается следующим образом.

f(x1x2) = x1 /\ x2 /\ х3 …

(1.2)

Функция определяется следующей таблицей истинности для двух переменных.

Таблица 1.2 – Таблица истинности И

x1	x2	f(x1,x2)

Условное графическое обозначение схемы И.

4. Функция Шеффера – реализует умножение с отрицанием. Определяется для двух переменных следующей таблицей истинности. Это функция нескольких переменных.

Таблица 1.3 – Таблица истинности

x1	x2	f(x1,x2)

Функция имеет вид.

(1.3)

Условное графическое обозначение схемы И-НЕ.

5. Функция Пирса реализует логическое сложение с отрицанием. Определяется следующей таблицей истинности для двух переменных.

Таблица 1.4 – Таблица истинности

x1	x2	f(x1,x2)

Функция имеет вид.

(1.4)

Условное графическое обозначение схемы ИЛИ-НЕ.

Функции дизъюнкции и конъюнкции могут быть не только функциями двух переменных. В общем случае произвольного числа аргументов.

6. Сложение по mod 2. Выполняет логическую операцию XOR. Это функция нескольких переменных и определяется следующей таблицей истинности для двух переменных.

Таблица 1.5 – Таблица истинности ИЛИ

x1	x2	f(x1,x2)

Функция имеет вид .

(1.5)

Условное графическое обозначение элемента исключающее ИЛИ.

Всякая логическая функция “n” переменных может быть задана таблицей, в левой части которой перечислены все 2ⁿ наборов значений переменных, а в правой части – значения функции на этих наборах. Например, таблица для 3-х переменных представлена в таблице 1.6.

Таблица 1.6 – таблица истинности для 3-х переменных

x1	x2	x3	Y

Наборы (строки) х на которых функция Y=1 называют единичным набором. Наборы х на которых Y=0, называют нулевым набором Y.

Составим логическую функцию из таблицы значений. Для этого возьмем конъюнкции аргументов в той строке, где функция равна единице. Причем, если аргумент равен нулю – он берется с инверсией. Если аргумент равен единице – он берется без инверсии. Полученные конъюнкции соединяем дизъюнкцией. Для нашего примера имеем три конъюнкции (три строки таблицы, где функция равна единице). Логическая функция имеет вид.

(1.6)

Инверсия обозначается чертой над аргументом. В первой конъюнкции аргумент Х1 b X2, взяты с инверсией, так как их значения во второй строке таблицы равны нулю. Во второй конъюнкции аргументы Х1 и Х3, взяты с инверсией, так как их значения в третьей строке таблицы равны нулю. В третьей конъюнкции аргумент Х2 и Х3 взяты с инверсией, так как их значения в пятой строке таблицы равны нулю. Полученные конъюнкции объединены операциями дизъюнкции.

Основные законы алгебры логики:

1. Переместительный закон. Коммутативность (лат. – менять, переменять);

X₁ v X₂ = X₂ v X₁ X₁= X₂=X₂ X₁

2. Сочетательный закон. Ассоциативность (лат. – соединять);

X₁ v (X₂ v X₃) = (X₁ v X₂) v X₃

X₁ (X₂ X₃) = (X₁ X₂) X₃

3. Распределительный закон. Дистрибутивность;

X₁ (X₂ v X₃) = (X₁ X₂) v (X₁ X₃)

X₁ v (X₂ X₃) = (X₁ v X₃) (X₁ v X₃)

4. Закон поглощения;

X₁ v (X₁ X₂) = X₁ X₁ (X₁ v X₂) = X₁

5. Закон склеивания;

X₁X₂ v X₁X₂ = X₁ (X₁ v X₂)(X₁ v X₂) = X₁

6. Правило де Моргана;

Выполнение логических операций производится в соответствии с приоритетами. В таблице представлены приоритеты выполнения логических операций.

Таблица 1.7 – Таблица приоритетов

приоритет	операция
	инверсия конъюнкция дизъюнкция сложение по mod 2

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка выполнения операций могут использоваться скобки.

Содержание работы:

1. Выбрать вариант в задании 1 из таблицы 1.8 и составить логическую функцию. Для первого варианта берутся значения Y1, для второго варианта берутся значения Y2 и т.д.;

2. Разработать принципиальную электрическую схему, реализующую логическую функцию и сохранить ее в формате gif или jpeg;

3. Исследовать работу комбинационной схемы;

5. По заданной принципиальной схеме составить таблицу истинности и логические функции;

Содержание отчета:

1. Постановка задачи;

2. Краткие сведения из теории;

3. Результаты выполнения заданий;

4. Ответы на контрольные вопросы.

Задание 1

Таблица 1.8 – Варианты заданий

X1

X2

X3

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Y7

Y8

Y9

Y10

Y11

Y12

Y13

Y14

Y15

Y16

Y17

Y18

Y19

Y20

Y= (X₁ X₂ X₃) v (X₁ X₂ X₃)v (X₁ X₂ X₃)v (X₁ X₂ X₃ )

Задание 2

По заданной принципиальной схеме составить таблицу функционирования и логические функции.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение Булевой функции;

2. Назовите основные функции алгебры логики;

3. Составить таблицу истинности для функции Пирса;

4. Какие значения может принимать Булева функция;

5. Составить таблицу истинности для функции Шеффера;

6. Какой вид имеет функция Пирса;

7. Составьте таблицу истинности для логической операции XOR;

8. Найти значение функции при х₁=0,х₂=1;

9. Перечислите основные законы алгебры логики;

10. Какая логическая операция имеет высший приоритет;

11. Найти значение функции Y=x1×x2 v x1×x2 при х1=1,х2=1;

12. Найти значение функции при х₁=1,х₂=1.

Литература:

1. Сергеев Н.П., Вашкевич Н.П. Основы вычислительной техники. Учеб. Пособие для вузов. М.: высш. шк., 1988.-311с;

2. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов: Учебник.СПб: Питер 2002. - 304 с;

3. Яворский В.В., Кан О.А.Дискретная математика для информационных систем. Учебник. Министерство образования и науки РК. КарГТУ, 2007.-197с.