Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как

Рефлексивность: .

Антирефлексивность (иррефлексивность): .

Симметричность: .

Антисимметричность: .

Транзитивность: .

Связность: .

Асимметричность: . Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.

Виды отношений

Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.

Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.

Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка.

Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.

Полное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением линейного порядка.

Антирефлексивное асимметричное отношение называется отношением доминирования.

5. Высказывания и логические операции над ними. Повествовательные предложения.

Логическая операция — в программировании операция над выражениями логического (булевского) типа, соответствующая некоторой операции над высказываниями в алгебре логики. Как и высказывания, логические выражения могут принимать одно из двух истинностных значений — «истинно» или «ложно». Логические операции служат для получения сложных логических выражений из более простых. В свою очередь, логические выражения обычно используются как условия для управления последовательностью выполнения программы.

Логические операции с понятиями — такие мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объёма понятий, а также образование новых понятий.

К операциям, которые связаны преимущественно с изменением содержания понятий, относятся:

отрицание;

ограничение ;

обобщение ;

деление.

К операциям, которые связаны преимущественно с объёмами понятий, относятся:

сложение;

умножение;

вычитание.

Данные операции могут быть записаны математически с помощью теории множеств.

Переход же к математической логике связан с понятием суждений и установлением операций над ними с целью получения сложных суждений.

Высказывание в математике -это повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.

6. Основные операции над множествами.

Бинарные операции.

Ниже перечислены основные операции над множествами:

пересечение:

объединение:

Если множества A и B не пересекаются: , то их объединение обозначают также: .

разность (дополнение):

симметрическая разность:

Декартово или прямое произведение:

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Унарные операции

Абсолютное дополнение:

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (универсальное множество U, которое содержит A):

Относительным же дополнением называется А\В (см.выше):

Мощность множества:

| A |

Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное).

Множество всех подмножеств (булеан):

Обозначение происходит из того, что в случае конечных множеств.

Сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения, объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

7. Декартово произведение множеств.

Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах.

8. Числовые множества. Принадлежность.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

N={1; 2; 3; ...; n; ... } — множество натуральных чисел;

Zo={0; 1; 2; ...; n; ... } — множество целых неотрицательных чисел;

Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} — множество целых чисел;

Q={m/n} — множество рациональных чисел.

R—множество действительных чисел.

9. Элементы комбинаторики. Перестановки. Сочетания. Размещения.

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».