Умозаключения по логическому квадрату.

Сравнимые простые суждения имеют одинаковые термины (субъект и предикат) и различаются по качеству или количеству. Например, «Все врут календари» и «Некоторые календари не врут».

Несравнимые простые суждения имеют различные термины. Например, «Солнце греет», «Вода течет», «Солнце скрылось».

Сравнимые суждения разделяются на совместимые и несовместимые. Различают три вида совместимости суждений: эквивалентность (полная совместимость), субконтрарность (частичная совместимость) и подчинение. Два вида несовместимости суждений – противоположность (противность, контрарность) и противоречие (контрадикторность).

Совместимые суждения могут быть одновременно истинными, а несоместимые – нет.

Эквивалентными называются сравнимые суждения, которые являются одновременно либо истинными, либо ложными. Например, «Все врут календари» и «Календари все врут».

Субконтрарные (подпротивные, частично совместимые) суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Это пара сравнимых частных суждений различного качества (I, O). Например, «Некоторые студенты отличники» и «Некоторые студенты не отличники».

Зная характеристики отношений простых суждений по истинности, можно строить непосредственные умозаключения, которые в обиходе называют умозаключениями по логическому квадрату. Так от ложности одного из подпротивных суждений можно заключать об истинности другого. Истинность и ложность суждений будем обозначать буквами «и», «л», соответственно. Тогда схемы возможных умозаключений запишутся:

Iл → Oи;

Oл → Iи.

Пример.Допустим, нам известно, что суждение «Некоторые продукты ядовиты» ложно. Отсюда, как из посылки, можно выводить истинное заключение: «Некоторые продукты не ядовиты». Языковая форма умозаключения может несколько варьироваться. Оно может быть сформулировано, скажем, так: «Неверно, что некоторые продукты ядовиты. Следовательно, некоторые продукты не ядовиты».

В отношении подчинения находятся сравнимые общие (подчиняющие) и частные (подчиненные) суждения различного качества: A-I, E-O. При истинности подчиняющего суждения подчиненное всегда истинно. При ложности подчиненного суждения и подчиняющее необходимо ложно.

Возможные схемы умозаключений:

Aи → Iи;

Eи → Oи;

Iл → Aл;

Oл → Eл.

Противоположные (противные, контрарные) суждения (А-Е) не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Истинность одного из противоположных суждений обусловливает ложность другого:

Аи → Ел;

Еи → Ал.

Пример. «Воистину, все офицеры щеголеваты. Поэтому неправда, что ни один офицер не щеголеват».

Противоречащие (контрадикторные) суждения (A-O, E-I) одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными. Если одно из противоречащих суждений истинно, то другое ложно; и если одно ложно, то другое необходимо истинно:

Aи → Oл; Eи → Iл; Ои → Ал; Iи → Ел;

Ал → Ои; Ел → Iи; Ол → Аи; Iл → Еи.

Единичные суждения могут находиться в отношении противоречия, но не могут находиться в отношении противоположности. Вы можете в этом убедиться, исследовав, например, отношения суждений в следующей паре: «Марк Шагал шестипалый. Марк Шагал не шестипалый».

Упражнение 31. (1) В каком отношении находятся следующие пары суждений? (2) Если первое из них истинно, что можно сказать об истинности второго? (3) Если второе суждение ложно, что можно сказать об истинности первого?

Пример.Никто из африканцев не краснеет. Некоторым африканцам свойственно краснеть.

Исследуя простые суждения, нужно их стандартизировать, разобраться в их составе, качестве и количестве. Здесь нам достаточно выяснить следующее:

Е: Ни один африканец (S) не есть краснеющий (Р);

I: Некоторые африканцы (S) суть краснеющие (Р).

Сравнимые суждения (имеют одинаковые термины), общеотрицательное (Е) и частноутвердительное (I), находятся в отношении противоречия (контрадикторности). Если одно из них (Е) истинно, то другое (I) наверняка ложно. И если одно ложно (по условию 3 – I), то другое (Е) наверняка истинно.

1. Бегемоты живут в Африке. Гиппопотамы – африканские животные.

2. Среди динозавров нет таких, которые знали своих бабушек. Некоторые динозавры не знали своих бабушек.

3. Александр Македонский был учеником Аристотеля. Александр Македонский не был учеником Аристотеля.

4. Многие люди не счастливы. Все люди не счастливы.

5. Слоны боятся мышей. Слоны не боятся мышей.

6. Некоторые арбузы круглы. Бывают не круглые арбузы.

7. Иная простота хуже воровства. Всякая простота хуже воровства.

Упражнение 32.Основываясь на логическом квадрате, выведите все возможные заключения из посылок:

Пример.Ворон ворону глаз не выклюет.

Стандартизируем и прочее:

Е: Ни один ворон (S) не есть таков, что выклюет глаз ворону (Р).

Если данное суждение (Е) истинно, то

– подчиненное суждение (О) истинно,

– противоположное суждение (А) ложно,

– противоречащее (I) – ложно.

На этом основании из данной посылки можно вывести следующие заключения:

Некоторые вороны не выклюют глаз ворону;

Неверно, что всякий ворон выклюет глаз ворону;

Неверно, что некоторые вороны выклюют глаз ворону.

1. Бедность не порок.

2. Неверно, что Брут не является убийцей Цезаря.

3. Журавли выстроились клином.

4. Неправда, что у каждого своя родина.

5. Копейка рубль бережет.

6. Некоторые голубоглазые кошки глухи.

7. Некоторые буддисты не являются ламами.

9. Неправда, что среди бухгалтеров встречаются неосмотрительные люди.

10. Не следует думать, что все собаки злы.

Упражнение 33.Проверьте правильность умозаключений:

Пример.Неверно, что все спартанцы храбры. Значит, также неверно, что ни один из них не храбр.

Стандартизируем:

Неверно, что все спартанцы (S) суть храбрые (Р). Следовательно, неверно, что ни один спартанец (S) не есть храбрый (Р).

Посылка и заключение – противоположные суждения (А – Е). Здесь от ложности общеутвердительного суждения (А) заключают о ложности общеотрицательного (Е). Противные суждения в принципе могут быть одновременно ложными, но они могут иметь и различные истинностные значения. Иначе говоря, если мы знаем, что одно из противоположных суждений ложно, то второе, при этом условии, может оказаться как истинным, так и ложным. В старину говорили: «из лжи следует все что угодно»; то есть из ложного основания можно выводить как истинное, так и ложное следствие. Стало быть, рассматриваемое умозаключение – неправильное.

1. Ни одна настоящая женщина не обидит мужчину. Следовательно, многие настоящие женщины не обижают мужчин.

2. «Человек есть мера всех вещей» (Протагор). Значит, и некоторые люди тоже.

3. Некоторые вороны черны, потому что они все таковы.

4. Неверно, что спартанцы не проигрывали сражений. Значит, им случалось потерпеть поражение.

5. «Позорное не полезно никогда» (Цицерон). Отсюда, неверно, что позорное полезно.

6. Согласно Цицерону, религия – это культ богов. Тогда неверно, что некоторые религии не являются культами богов.

7. «Самая большая несправедливость – желать платы за справедливость» (Цицерон). Противное ложно.

8. Иная простота хуже воровства. А если так, то неверно, что иная простота не хуже воровства.

9. «Учение о сродстве гения с помешательством — чисто французская выдумка» (В.Дильтей). Таким образом, неверно, что некоторые учения о сродстве гения с помешательством не являются чисто французской выдумкой.

10. «Нагота начинается с лица» (Симона де Бовуар). И не вздумайте, что она начинается не с лица.

11. «Не все, что дозволено, достойно уважения» (Дигесты и Кодекс Юстиниана). Это означает, что кое-что дозволенное не заслуживает уважения.

12. Пьяные рабы кажутся себе свободными. И неправда, что хотя бы некоторые из них не воображают себя таковыми.