Методические указания к решению задачи 1

Решение задачи требует знаний закона Ома для всей цепи и ее участков, законов Кирхгофа, методики определения эквивалентного сопротивления цепи при смешанном соединении резисторов, а также умения вычислять мощность и работу электрического тока. Содержания задач и схемы цепей приведены в условии, а данные к ним — в табл. 1. Перед решением задачи рассмотрите типовой пример 1.

Пример 1. Для схемы, приведенной на рис. 1 а, определить эквивалентное сопротивление цепи R_AB и токи в каждом резисторе, а также расход электроэнергии цепью за 8 ч работы.

Решение. Задача относится к теме “Электрические цепи постоянного тока”. Проводим поэтапное решение, предварительно обозначив стрелкой ток в каждом резисторе; индекс тока должен соответствовать номеру резистора, по которому он проходит.

1. Определяем общее сопротивление разветвления R_CD, учитывая, что резисторы R₃ и R₄ соединены последовательно между собой, а с резистором R₅ — параллельно: R_CD = (R₃ + R₄)R₅/(R₃ + R₄ + R₅) = (10 + 5) •10/(10 + 5 + 10) = 6 Ом (рис. 1,б).

2. Определяем общее сопротивление цепи относительно вводов CE. Резисторы R_CD и R₂ включены параллельно, поэтому R_CE = R_CDR₂/(R_CD + R₂) = 6•3/(6 + 3) = 2 Ом (рис. 1, в).

3. Находим эквивалентное сопротивление всей цепи: R_AB = R₁ + R_CE = 8 + 2 = 10 Ом (рис. 1, г).

4. Определяем токи в резисторах цепи. Так как напряжение U_AB приложено ко всей цепи, а R_AB = 10 Ом, то согласно закону Ома I₁= U_AB/R_AB= 150/10= 15 А.

Внимание! Нельзя последнюю формулу писать в виде I₁= U_AB/R₁, так как U_AB приложено ко всей цепи, а не к участку R_1.

Для определения тока I₂ находим напряжение на резисторе R₂, т. е.U_CE. Очевидно, U_CE меньше U_AB на потерю напряжения в резисторе R₁, т. е. U_CE = U_AB — I₁R₁= 150 — 15•8 = 30 В. Тогда I₂ == U_CE/R₂= 30/3= 10 А. Так как U_CE = U_CD, то можно определить токи I_3,4 и I₅. I_3,4 = U_CD/(R₃+R₄) = 30/(10 + 5) = 2 А; I₅ = U_CD/R₅ = 30/10= 3 А.

На основании первого закона Кирхгофа, записанного для узла С, проверим правильность определения токов:

I₁ = I₂ + I_3,4 + I₅, или 15 = 10 + 2 + 3 = 15 А.

5. Расход энергии цепью за восемь часов работы:

W = Pt = U_ABI₁t = 150•15•8 = 18000 Bт•ч = 18 кВт•ч

Пусть в схеме примера 1 известны сопротивления всех резисторов, а вместо напряжения U_AB задан один из токов, например I₂=2 А. Найти остальные токи и напряжение U_AB. Зная I₂, определяем U_CE = I₂R₂ =2 ×3=6 В. Так как U_CE = U_CD, то

I_3,4 = U_CD/(R₃+R₄)=6/(10 + 5) = 0,4 А;

I₅ = U_CD/R₅ = 6/10 =0,6 А.

На основании первого закона Кирхгофа I₁ = I₂+I_3,4+I₅ = 2 + 0,4 + 0,6 = 3 А. Тогда U_AB = U_CE + I₁R₁ = 6 + 3×8 = 30 В.

При расплавлении предохранителя Пр₅ и резистор R₅ выключается и схема принимает вид, показанный на рис. 1, д. Вычисляем эквивалентное сопротивление схемы: =R₁+(R₃+R₄)R₂/(R₃+R₄+R₂) = 8+(10 + 5)•3/(10 + 5 + 3) = 10,5 Ом. Так как напряжение U_AB остается неизменным, находим ток I₁ = U_AB / = 150/10,5 = 14,28 А. Напряжение U_CE = U_AB — I₁R₁ = 150 — 14,28×8 = 35,75 В.

Тогда токи

I₂ = U_CE/R₂ = 35,75/3 = 11,9A; I_3,4 = U_CE/R_3,4 = 35,75/(10+5) = 2,38A

Сумма этих токов равна току I₁: 11,9 + 2,38 = 14,28 А.

рисунок 1

Задача 2 (варианты 01—25). Неразветвленная цепь переменного тока, показанная на соответствующем рисунке, содержит активные и реактивные сопротивления, величины которых заданы в табл. 2. Кроме того, известна одна из дополнительных величин (U, I, P, Q, S). 5). Определить следующие величины, если они не заданы в таблице 2 вариантов: 1) полное сопротивление цепи Z; 2) напряжениеU, прило­женное к цепи; 3) силу тока в цепи; 4) угол сдвига фаз ф (величину и знак); 5) активную Р, реактивную Q и полную S мощности, потребляемые цепью. Начертить в масштабе векторную диаграмму цепи и пояснить ее построение. С помощью логических рассуждений пояснить, как изменится ток в цепи и угол сдвига фаз, если частоту тока увеличить вдвое. Напряжение, приложенное к цепи, считать неизменным.

Указание. См. решение примера 2.

Таблица 2

Номер вариантов	Номер рисунков	R1, Ом	R2, Ом	XL1, Ом	XL2, Ом	XC1, Ом	XC2, Ом	Дополнительная величина
					—		—	I = 10 A
					—		—	P = 120 Bт
					—		—	P2 = 100 Bт
					—		—	U1 = 72 B
					—		—	U = 40 B
					—		—	Q1 = - 96 вар
					—		—	Q = - 640 вар
					—		—	QС1 = -125 вар
					—		—	S = 80 B•A
					—		—	P1 = 32 Bт
			—				—	U = 40 B
			—				—	P = 16 Bт
			—				—	QL1 = 135 вар
			—				—	QL2 = 16 вар
			—				—	QC1 = - 20 вар
			—				—	P1 = 48 Вт
			—				—	U2 = 12 В
			—				—	QC1 = —720 вар
			—				—	I = 5 А
			—				—	S = 500 В•А
			—		—			P = 100 Вт
			—		—			UC2 = 40 В
			—		—			I = 1 А
			—		—			QC2 = —240 вар
			—		—			P1 = 432 Вт

Задача 3 (варианты 01—00). Разветвленная цепь переменного тока состоит из двух параллельных ветвей, содержащих в зависимости от варианта активные сопротивления R₁, R₂. и реактивные X_L и X_C. Полные сопротивления ветвей Z₁ и Z₂. К цепи приложено напряжение U.Токи в ветвях соответственно равны I₁ и I₂; ток в неразветвленной части цепи равен I. Ветви потребляют активные мощности P₁ и Р₂ и реактивные Q₁ и Q₂. Общие активная и реактивная мощности цепи P и Q, а полная мощность цепи S. В табл. 3 указан также номер рисунка со схемой цепи. Определить значения, отмеченные прочерками в таблице вариантов, и начертить в масштабе векторную диаграмму цепи. Перед построением диаграммы вычислите углы сдвига фаз , ; и . Какие изменения произойдут в цепи при ее включении на постоянное напряжение?

Указание. См. решение примера 3.

Таблица № 3

№ вар-та	№ рис - ка	R1, Ом	R2, Ом	ХL Ом	ХC, Ом	Z1, Ом	Z2, Ом	U, В	I1, А	I2, А	I, А	P1, Вт	Q1, вар	P2, Вт	Q2, вар	P, Вт	Q, вар	S, B•A
		»				—	—		—	—	—	»	—	—	—	—	—	—
		»		—	—	—	—	—			—	»		—	—	—	—	—
		»	—		—	—		—	—		—	»		—	—	—	—	—
		»	—		—	—	—	—	—		—	»	—	—	—		—
		»	—	—	—	—	—		—	—	—	»				—	—	—
		»	—		—	—	—	—			—	»	—		—	—	—	—
		»	—	—	—	—	—	—	—	—	1,6	»	—	—	—			—
		»			—		—		—	—	—	»	—	—	—	—	—	—
		»	—	—		—		—		—	—	»	—	—		—	—	—
		»		—	—	—	—		—	—	—	»	—	—	—			—
				»		—	—		—	—	—	»	—	—	»	—	—	—
		—	—	»		—		—			—	»	—	—	»	—	—	—
		—	—	»	—	—	—		—	—	—				»	—	—	—
		—		»		—	—	—	—	—	8,95	—	—	—	»			—
		—	—	»		—		—			—	—	—	—	—	—	—	—
		—		»	—		—		—	—	—	—	—	—	—		—	—
		—		»	—	—	—			—	—	—	—	—	»	—	—	—
				»	—		—	—	—		—	—	—	—	»	—	—	—
		—	—	»					—	—	—	—	—	—	»	—	—	—
			—	»		—	—	—		—	—	—	—	—	»	—	—
			»	»		—	—		—	—	—	—	»	»	—	—	—	—
		—	»	»		—	—	—			—	—	»	—	—	—	—	—
			»	»	—	—	—	—	—	—	—		»	—		—	—	—
		—	»	»	—				—	—	—	—	»	—	—	—	—	—
		—	»	»	—	—		—		—	—	—	»	—	—		—	—

Методические указания к решению задач 2—3

Эти задачи относятся к неразветвленным и разветвленным цепям переменного тока. Перед их решением изучите материал темы «Однофазные электрические цепи переменного тока», ознакомьтесь с методикой построения векторных диаграмм и разберите решение от примеров 2,3 в данных методических указаниях.

Пример 2. Неразветвленная цепь переменного тока содержит катушку с активным, сопротивлением R₁ = 3 Ом и индуктивным X_L = 12 Ом, активное сопротивление R₂ = 5 Ом и конденсатор с сопротивлением Хс = 6 Ом (рис. 2,а). К цепи приложено напряжение U = 100В (действующее значение). Определить: 1) полное сопротивление цепи; 2) ток; 3) коэффициент мощности; 4) активную, реактивную и полную мощности; 5) напряжение на каждом сопротивлении. Начертить в масштабе векторную диаграмму цепи.

Решение.1. Определяем полное сопротивление цепи:

2. Определяем ток цепи

I = U /Z = 100/10= 10 А.

3. Находим коэффициент мощности цепи. Во избежание потери знака угла (косинус — функция четная) определяем sin : sin = (X_L — Х_C)/Z = (12 — 6)/10 = 0,6; = 36°50'. По таблицам Брадиса определяем коэффициент мощности соs = соs 36°50' = 0,8.

4. Определяем активную, реактивную и полную мощности цепи:

P = UI = 100•10•0,8=800 Вт или P = I²(R₁ + R₂) = 10²(3+5) = 800 Вт;

Q = I²(Х_L — Х_C) = 10²(12 — 6) = 600 вар или Q = UI = 1000•10•0,6 = 600 вар;

S = UI= 100•10= 1000 В•А или S = I²Z = 10²•10= 1000 В•А

или = 1000 В•А.

5. Определяем падения напряжения на сопротивлениях цепи:U_R1 = I•R₁ =10•3=30 В; U_L = I•Х_L = 10•12 = 120 В; U_R2 = I•R₂ = 10•5 = 50 В; U_C = I•Х_C = 10•6 = 60 В.

Построение векторной диаграммы начинаем с выбора масштаба для тока и напряжения. Задаемся масштабом по току: в 1 см — 2,0 А и масштабом по напряжению: в 1 см — 20 В. Построение векторной диаграммы (рис. 2, б) начинаем с вектора тока, который откладываем по горизонтали в масштабе 10 А/2 А/см = 5 см.

Вдоль вектора тока откладываем векторы падений напряжения на активных сопротивлениях U_R1 иU_R2 - 30 В/20 В/см = 1,5 см; 50 В/20 В/см = 2,5 см.

Из конца вектора U_R2 откладываем в сторону опережения вектора тока на 90° вектор падения напряжения U_L на индуктивном сопротивлении длиной 120 В/20 В/см = 6 см. Из конца вектора U_L откладываем в сторону отставания от вектора тока на 90° вектор падения напряжения на конденсаторе U_C длиной 60 В/20 В/см = 3 см. Геометрическая сумма векторовU_R1, U_R2, U_L, U_C равна полному напряжению, приложенному к цепи.

Рисунок 2

Пример 3. Цепь переменного тока состоит из двух ветвей, соединенных параллельно. Первая ветвь содержит катушку с активным R₁ = 12 Ом и индуктивным X_L = 16 Ом сопротивлениями; во вторую ветвь включен конденсатор с емкостным сопротивлением X_C = 8 Ом. и последовательно с ним активное сопротивление R₂ = 6 Ом. Активная мощность, потребляемая первой ветвью P₁ = 48 Вт (рис. 3, а). Определить: 1) токи в ветвях и в неразветвленной части цепи; 2) активные и реактивные мощности цепи; 3) напряжение, приложенное к цепи; 4) угол сдвига фаз между током в неразветвленной части цепи и напряжением. Начертить в масштабе векторную диаграмму цепи.

Решение. 1. Активная мощность P₁ теряется в активном сопротивлении R₁. Поэтому . Отсюда

= 2 А.

2. Определяем напряжение, приложенное к цепи:

= 40 В.

3. Определяем ток:

= 4 A.

4. Находим активную и реактивную мощности, потребляемые цепью:

= 2²•12 + 4²•6 = 154 Вт;

= 2²•16 — 4²•8 = —64 вар.

Знак “—” показывает, что преобладает реактивная мощность емкост­ного характера.

Полная мощность, потребляемая цепью:

= 166,8 В•А.

5. Определяем ток в неразветвленной части цепи:

= 4,17 A

6. Угол сдвига фаз во всей цепи находим через во избежание потери знака угла:

= —64/166,8 = —0,384; = —22°35'.

Знак “—” подчеркивает, что ток цепи опережает напряжение U_AB

Для построения векторной диаграммы определяем углы сдвига фаз в ветвях:

;

;

Задаемся масштабом по току: в 1 см — 1 А и напряжению: в 1 см — 5 В. Построение начинаем с вектора напряжения (рис. 3,6). Под углом к нему в сторону отставания откладываем в масштабе вектор тока I₁; под углом в сторону опережения —вектор тока I₂. Геометрическая сумма этих токов равна току в неразветвленной части цепи.

Рисунок 3

Задача 4 (варианты 01—25). Три группы сопротивлений соединили звездой с нулевым проводом и включили в трехфазную сеть переменного тока с линейным напряжением U_НОМ. Активные сопротивления в фазах А, В и С соответственно равны R_A, R_B и R_C, реактивные — Х_A, Х_B и Х_C. Характер реактивных сопротивлений (индуктивное или ем­костное) указан на схеме цепи. Углы сдвига фаз в каждой фазе равны , и . Линейные токи (они же фазные) в нормальном режиме равны I_A, I_B и I_C. Фазы нагрузки потребляют активные мощности P_A, P_B и P_C и реактивные Q_A, Q_B и Q_C. В таблице вариантов указаны некоторые из этих величин и номер рисунка цепи. Для своего варианта начертить схему цепи; определить величины, отмеченные прочерками в табл. 4, и начертить в масштабе векторную диаграмму цепи в нормальном режиме. Начертить векторную диаграмму цепи в аварийном режиме при отключении фазы А. Из векторных диаграмм определить графически токи в нулевом проводе в обоих режимах. При вычисле­ниях принять:

Указание. См. решение примера 4.