Роль математических методов в промысловой ихтиологии

Одной из наиболее характерных особенностей объектов рыболовства является их полная или частичная недоступность методам прямого визуального исследования или контроля. В отличие от охотничьего, лесного или сельского хозяйства для суждения о состоянии эксплуатируемых запасов исследователь вынужден, не видя самого объекта, пользоваться некоторыми выборками, которые характеризуют генеральную совокупность с некоторой ошибкой. Именно это послужило в значительной степени стимулом для внедрения методов математического анализа и теории вероятностей в рыбохозяйственные исследования.

Другой причиной, обусловливающей важность применения математического аппарата в промысловой ихтиологии, является широкое применение методологии моделирования. Для разработки мероприятий по рациональному использованию продукционных свойств популяций рыб нужно знать, какая величина улова может быть получена при той или иной интенсивности и селективности промысла, и выбрать оптимальное сочетание этих параметров. Необходимо также гарантировать сохранение запаса и обеспечение достаточного воспроизводства молоди. Очевидно, что решение данной задачи не может быть найдено путем проведения натурного эксперимента — варьирования параметров рыболовства. Результат эксперимента может быть весьма негативным как по соображениям охраны биологического ресурса (при очень высокой интенсивности промысла стадо может быть просто уничтожено), так и ввиду технической сложности и высокой стоимости изменения режима рыболовства. В связи с этим единственным подходом к исследованию закономерностей динамики эксплуатируемых популяций рыб и разработке принципов рационального использования является метод моделирования.

Сущность моделирования: наряду с системой (оригиналом) рассматривается ее модель, которой выступает некоторая другая система, представляющая собой образ (подобие) оригинала. Модель, как правило, представляет собой упрощенный образ оригинала, который учитывает только наиболее существенные или важные компоненты и структуру объекта, но так, чтобы они достоверно отражали свойства оригинала.

Как будет показано ниже, в моделях, применяемых в промысловой ихтиологии, принимают во внимание крайне ограниченный список параметров, характерных для самой популяции, и всего два параметра — интенсивность и селективность, описывающих промысел.

Стратегия моделирования: путем упрощения получить модель, свойства и поведение которой можно было бы эффективно изучать, в то время как сам оригинал непосредственно изучить невозможно. Обязательное условие — модель должна оставалась сходной с оригиналом, так, чтобы результаты исследования были применимы и к оригиналу. Обратный переход от модели к оригиналу называется интерпретацией [62, 53].

В зависимости от целей, наличия первичной информации, доступных способов реализации и задач различаются несколько классов моделей (рис. 3).

Реальные или натуральные (физические, аналоговые) модели являются уменьшенным образом оригинала. Например, аквариум как модель экосистемы водоема. Реальные модели достаточно полно отражают свойства экосистемы, но имеют существенные ограничения технического характера.

Знаковые модели представляют собой условное описание системы оригинала с помощью некоторого языка, слова которого интерпретируются как образы свойства состава и структуры изучаемой системы. Вполне понятно, что возможности знаковых моделей не ограничиваются никакими техническими показателями, а также количеством рассматриваемых факторов.

Рис. 3. Схематическая классификация моделей

Концептуальные модели — формализованный и систематизированный вариант традиционного естественнонаучного описания изучаемой экосистемы. Это описание может состоять из текста, описывающего систему, таблиц (например численность и плотность популяций различных видов в экосистеме), графиков (например график зависимости биомассы планктонных ракообразных от биомассы рыбы), блок-схем, показывающих структуру экосистемы и связи между ее компонентами.

Концептуальная модель обычно подводит итог полевым наблюдениям и экспериментам и служит обобщенным описанием экосистемы. Преимущества концептуальных моделей: простота, универсальность, гибкость, богатство средств выражения. Недостатки — неоднозначность решений, статичность, которая затрудняет описание динамичных систем.

Математические модели описывают состояние и динамику системы с помощью языка математики.

Аналитические— описывают экосистемы в виде аналитических уравнений, решение которых позволяет получить однозначную оценку изучаемого параметра в виде некоторого выражения. Например, уравнение В. С. Ивлева [34] — зависимость величины рациона рыбы R от концентрации пищи В:

где: R^m3x — максимально возможный рацион; г — коэффициент.

Аналитический подход обычно принимает во внимание очень небольшое количество параметров и позволяет получить качественную картину поведения системы в целом, не затушевывая ее множеством частных подробностей. В этом смысле он является основой для большинства теоретических построений.

Имитационные модели описывают поведение системы в виде дифференциальных уравнений. Например, модель «хищник—жертва» может быть представлена системой уравнений:

где: Np N² — численность хищника и жертвы соответственно; — коэффициенты.

Имитационная модель не имеет аналитического решения, т. е. результат моделирования не может быть представлен в виде какого-либо уравнения. Поиск решения осуществляется с использованием ЭВМ в численном виде с заданной степенью точности. Имитационные модели значительно более гибкие по сравнению с аналитическими моделями, и в современных условиях при наличии мощной вычислительной техники их исследование не представляет труда.

Каждый из классов математических моделей — аналитические и имитационные — может включать различные подходы к описанию процессов, проходящих в системах. Выделяют следующие альтернативные варианты подходов:

1. Модели непрерывные и дискретные различаются способом представления поведения системы во времени: в непрерывных моделях состояние системы можно определить в любой момент времени, в дискретных— только в начале и конце заданного временного шага, например, года. При уменьшении шага времени дискретные модели приближаются к непрерывным. Пример такого подхода — описание судьбы одного поколения рыбы в течение всей его жизни.

2. Модели детерминированные и стохастические различаются формой представления результатов моделирования — в виде единственного значения, характеризующего состояние системы в заданный момент времени либо в виде вероятности достижения этого состояния с некоторой ошибкой. Примером стохастической модели может служить описание роста рыб с учетом вариабельности массы одновозрастных особей.

3. Модели точечные и пространственные описывают систему с учетом либо без учета пространственного распределения параметров системы. В пространственных моделях поведение системы зависит не только от времени, но и от положения в пространстве. Пример: можно рассматривать динамику во времени численности популяции рыбы, а можно учесть еще неравномерность распределения рыбы по акватории водоема за счет миграция. Ясно, что второй подход точнее опишет динамику системы, но для него необходима дополнительная информация.

4. Модели статические и динамические описывают либо состояние системы в данный момент, либо ее динамику во времени.