Классические парадоксы, софиты, логические задачи и упражнения

4. «Человек свободный, живущий среди невежд, старается, насколько возможно, отклонять от себя их благодеяния» (Б. Спиноза)

5. «Благоразумный человек считает себя ответственным только за то, что налагается на него обязанности» (А.Смит).

Когда его день рождения?

В день рождения Мареева собирались его друзья и родственники. Кроме сестры хозяина Елены и ее брата Евгения, присутствовал известный путеше­ственник Петрашкевич и много друзей Мареева.

Кто-то спросил Петрашкевича, что он делал год тому назад. Тот взял блокнот и со свойственной ему педантичностью написал на нем: «Точно год тому назад я вышел из палатки на восходе солнца, пошел прямо на юг, свернул на запад и через несколько часов, ничего не подстрелив, повернул на север. Своих соб­ственных следов я не пересекал и, идя на север вышел к палатке». Когда день рождения Мареева?

Из описания дороги путешественника следует, что его палатка стояла на Северном полюсе. В этом месте земного шара восход солнца бывает только раз в году — в день весеннего равноденствия, т.е. 21 марта. Это и есть день рождения Мареева.

Задача 1. Пронырливый журналист прорвался в приемную к министру по поводу необходимой информации. Быстро прошмыгнув мимо склонившейся над детективом секретарши, он ворвался в кабинет.

— Я сейчас занят, — взревел министр, отрываясь от кофе с тостами. — Об­ратитесь к секретарю.

— Я ничего не знаю по этому вопросу, — сказала девушка, с сожалением оторвавшись от книги. — Но если эта информация не известна министру, то его заместитель обязательно должен быть в курсе дела. Вот его кабинет, напротив кабинета министра.

— Не следует думать, что если я не владею информацией, то ею не владеет ни министр, ни секретарь, — глубокомысленно изрек замминистра. — Это все, что я могу сказать.

Журналист был несколько обескуражен он так и не понял, кто владеет нужной ему информацией. Немного подумав, журналист понял, что если верить этим двоим, то ситуацией владееттолько министр. Обреченно вздохнув, он снова направился к министерскому кабинету. Почему журналист решил, что информа­цией владеет только министр? Решение. Для решения задачи следует перевести утверждения секретаря и замминистра, а затем проанализировать логические условия их истинности в случае, когда оба утверждения истинны. Если С — «Се­кретарь владеет информацией», 3 — «Замминистра владеет информацией» и М — «Министр владеет информацией», то анализируемые высказывания имеют следующий формальный вид.

По условиям истинности С - ложно, 3 - ложно, М - истинно. Следовательно, только министр владеет необходимой информацией. 144 Основы логики с задачами и упражнениями

Задача 2.В городе избирали нового мэра. Журналист обратился с вопросом «Кто будет избран на пост мэра?» к кандидатам на пост мэра А, В и С.

— Я не выиграю выборы, — волнуясь, сказал А, — и, если С не выиграет " выборы, то и В не стане мэром, а выборы признают недействительными. Ведь если на выборы придет менее 25% избирателей, они будут приказаны несо­стоявшимися.

— А просто боится выборов, — сказал В. — Я думаю, что если А не изберут мэром, то все же неверно полагать ситуацию, в которой мое неизбрание авто­матически влечет неизбрание С.

— Выборы, конечно, состоятся, поддержал его С. — А, по-моему, проиграет выборы, а мэром станет либо В, либо я.

«Каждый высказался вполне искренне, — подумал журналист. — Но кто же по их прогнозам станет мэром, если все они сказали правду?»

Решение.Перевод утверждений А, В и С следующий.

Постройте полные таблицы логических условий истинности для высказыва­ний А, В, С. Выделите логически возможную ситуацию, то есть строку таблицы, в которой А, В, и С совместно принимают значение «истинно». Тогда, если простые высказывания интерпретировать как: А - «А станет мэром», В - «В станет мэром» и С - «С станет мэром» получим для них следующие значения истинности в со­ответствующей строке: А = 0, В = 0 и С = 1. Следовательно по прогнозу мэром станет С.

Задача 3.Журналисты обратились к известным политикам, депутатам с просьбой дать прогноз о следующем президенте. На просьбу отозвались трое: Ж, Ни С.

— Ели верить С, то следующим президентом будет либо П, либо 3, — со свойственным ему сарказмом ответил Ж.

— Если П не останется президентом на новый срок, то все же ни 3 не станет президентом, и ни, тем более, Ж, сказал Н.

— Во-первых, не следует ни в коем случае верить Н. Уже однажды поверили, теперь расхлёбываемся. Но все же, думаю, Ж не станет следующим президентом, заявил С.

— Ж, как всегда, прав, — заметил один из журналистов, обращаясь к своим коллегам. - Конечно, у этих политиков очень разные взгляды и им невозможно прийти к общему мнению, но никто из них не дал прямо свой прогноз. Все ска­занное ими очень туманно.

— Во-первых, ты правильно заметил,»Ж, как обычно, показал себя хитрецом-дипломатом, — сказал другой журналист. — Он привык резать правду-матку для любых возможных ситуаций. Правда, всегда ее формулирует в условной форме.

Во-вторых, Ж, конечно, никогда не пойдет на союз с Н, но, наступив на свою песню, он все же может скооперироваться во мнении с С. Тогда туман рассеится и можно будет определить общий прогноз.

Классические парадоксы, софизмы, логические задачи и упражнения 145

В-третьих, за исключением Ж, все политики обычно лгут. Поэтому можно было бы выяснить совместный прогноз о следующем президенте, который дают Н и С, учитывая, что они оба лгут.

Наконец, в - четвертых, С - значительная, фигура в парламенте и имеет среди политиков большой авторитет. Поэтому было бы полезно выяснить мнение С, когда, конечно, он говорит правду.

Таким образом, можно сформулировать три вопроса задачи.

1. Почему Ж всегда прав, то есть действительно ли в любой возможной ситуации, которая складывалась бы относительно прогноза, его утверж­дение истинно?

2. Каким будет прогноз о следующем президенте, если рассматривать ситуацию, в которой Ж и С объединяются в общем мнении?

3. Каким будет прогноз о следующем президенте, если рассматривать ситуацию, в которой С и Н объединены в общем ложном мнении?

1. Найдите тезис, аргументы, укажите способ доказывания:

а) «Славное место эта долина: со всех сторон горы непреступные, крас­новатые скалы, обвешанные зеленым плющом и увенчанные купами чинар, желтые обрывы, исчерченные промоинами, а там высоко-вы­соко золотая бахрома снегов, внизу Арагва, обнявшись с другой без­ымянной речкой, шумно вырывающейся из черного, полного мглою ущелья тянется серебряной нитью и сверкает, как змея своей чешуей». (М.Лермонтов);

б) страсти вводят нас в заблуждение, так как они сосредотачивают все наше внимание на одной стороне рассматриваемого предмета и не дают нам возможности исследовать его всесторонне».

(К.Гельвеций);

в) «Смерть для человека — ничто, так как когда мы существуем, смерть не присутствует, а когда смерть присутствует, тогда мы не существуем» (Эпикур);

г) «Воздержанность и труд — вот два истинных врача человека; труд обо­стряет его аппетит, а воздержанность мешает злоупотреблять им». (Ж. Руссо);

д) «Назойлив только глупец: умный человек сразу чувствует, приятно его общество или наскучило, и уходит за секунду до того, как станет ясно, что он —лишний.

(ЖЛайбрюйер). 2. В приведенных высказываниях найдите тезис и аргументы. Какие правила доказательства нарушены в рассуждениях и какие логические ошибки возникли при этом?

а) Человек — разумное животное, потому что он рассуждать может. А рассуждать он может потому, что он разумное животное;

б) Магомет — пророк божий. Это подтверждается,тем, что он написал Коран. Коран — книга божественная, так как ее содержание внушил146

Основы логики с задачами и упражнениями

Магомету Аллах. По крайней мере, сам Магомет уверяет, что это так. А он может лгать, так как он — пророк божий;

в) «Пчелы никогда не жалят дураков. Ноя этому не верю, потому что часто имел дело с пчелами, и они ни разу меня не ужалили, а я себя дураком не считаю» (рассуждение Г .Финна героя повести М.Твена);

г) Горький университет не кончал, Чапаев тоже не учился в военной акаде­мии. Значит, лучшие писатели и полководцы те, кто не обременял себя наукой;

д) — Это, однако ж, странно, — сказала во всех отношениях приятная дама,

— чтобы такое могли значить эти мертвые души? Я, признаюсь, тут ровно ничего не понимаю...

— Я, признаюсь, тоже — произнесла не бее удивления просто приятная дама», А что ж, вы полагаете, здесь скрывается ?

— Это просто выдумано только для прикрытия, а дело вот в чем, он хочет увезти губернаторскую дочку.

Приятная дама, услыиав это, так и окаменела на месте...

— Ах боже мой, — вскрикнула она всплеснув руками... — Но каково же после этого, Анна Григорьевна, институтское воспитание! Ведь вот невинность! До чего достигла наконец безнравственность « (Н.Гоголь).

3. Определите способ опровержения.

а) «Вы, кажется, человек довольно умный, владеете сведениями образован­ности. Ведь предмет просто: фу-фу. Что ж он «стоит»?. Кому он нужен ?

— Да вот вы же покупаете, стало быть, нужен. Здесь Чичиков: закусил губу и не нашелся, что отвечать». (Н.Гоголь);

б) на заседании в Академии наук было предложено избрать в действи­тельные члены малограмотного военного министра Арачеева. Когда один из академиков указал на отсутствие у него неучдач и заслуг», ему ответили: «Зато он близок и государю». В таком случае прошу избрать и кучера Илью Войкова», — возразил академик. (Способ опровержения оказался настолько эффективным, что академик попал в ссылку).

4. Решите следующие задачи:

а) В романе И.Тургенева «Отцы и дети» есть диалог: «Базаров; — Да на что нам эта логика? Мы и без нее обходимся. Павел Петрович: — Как так? Базаров: — Да так же. Вы, я надеюсь, не нуждаетесь в логике для того, чтобы положить себе кусок хлеба в рот, когда вы голодны. Куда нам до этихотвлеченностей? Павел Петрович взмахнул руками. Сформулируйте тезис Базарова,Найдите способ его опровержения:

б) приведите пример двух взаимоисключающих точек зрения на предмет мысли в той области, которая вас интересует. Определите характер аргументов в защиту той точки зрения, которая вам представляется убедительной (т.е. являются ли аргументы достаточными для тезиса);

в) существует мнение: в юности время тянется медленнее, чем в старости. В самом деле, с 30-м годом протекает одна тридцатая жизни, с 40-м —

Классические парадоксы, софизмы, логические задачи и упражнения

сороковая и т.д. А так как одна тридцатая больше одной сороковой, одна пятидесятая больше одной шестидесятой, то понятно, что на 6-ом году жизни человек переживает отрезок времени вдвое короче, чем на 30-м. Поэтому продолжительность года для него будет меньше, чем для тридцатилетнего. Какая здесь логическая ошибка?

г) Наташа Ростова, полюбив А.Курагина, слишком доверяя своим чувствам, принимает свою красоту за красоту души: «Я с первой ми- нуты полю­била его. Значит, он добр, благороден, и прекрасен». Сформулируйте ее ошибки в тезисе и аргументе;

д) группа ученых на вопрос «Может ли ЭВМ обладать сознанием?» ответила так: ЭВМ нельзя рассматривать как мозг, поэтому она не может обладать и свойством, характеризующим эту наиболее развитую ступень материи, — сознанием. С таким же успехом можно сказать: «Лошадь — не корова, поэтому она не может иметь четырех ног». Составьте силлогизм. К какой ошибке в доказательстве сводится ошибка в этом силлогизме?

е) если бы не было Колумба, Америка все равно была бы открыта.

Если не было бы Ньютона, закон бы всемирного тяготения был бы най­ден другим. Если бы не было Менделеева, периодический закон открыл бы кто-нибудь другой. Этот ряд можно продолжить, а вывод вытекает следующий: каждого великого человека можно заменить другим; а если это так, то человечество может обойтись без великих людей. Сформулируйте ошибку в рассуждении. 5. Определите непозволительные способы аргументации:

а) во времена инквизиции представитель церкви, опровергая тезис воль­нодумца «Земля вертится вокруг Солнца», говорит: «А вот в Священном писании сказано, что Солнце вращается вокруг Земли». Вольнодумец доказывает, что Священное писание не аргумент, тогда его противник заявляет: «Так вы еретик, если так думаете». Вольнодумец вспоминает инквизицию и перестает возражать (С.Поварнин);

б) однажды в Москве судили священника, совершившего тяжкие престу­пления. В его защиту выступил знаменитый адвокат Ф.Плевако: «Про­курор во всем совершенно прав. Все эти преступления подсудимый совершил. О чем тут спорить? Но я обращаю ваше внимание вот на что. Перед вами сидит человек, который тридцать лет отпускал вам на исповеди ваши грехи. Теперь он ждет от вас: отпустите ли вы ему его грех? Присяжные оправдали священника.

«Неевклидова геометрия Лобачевского была не понята и не принята его современниками, так: Чернышевский в письме к сыну следующим об­разом аргументировал против этой геометрии: «...Не даром, вся Казань знает, как Лобачевский верхом на свинье ездил, так что не приходится сомневаться, что он безумец». 148

Основы логики с задачами и упражнениями

в) перед вступительными экзаменами в вузе было вывешено следующее оживление: «Даю уроки» математики для поступающих в вузы. Платят за обучение только те, кто прошел в институт по конкурсу». Какие могут встретиться варианты, связанные с оплатой согласно этому объявлению?

6. Проанализируйте парадокс:

а) «Генерал и брадобрей». Каждый солдат может бриться сам или у друго­го солдата. Генерал издал приказ о назначении специального солдата

— брадобрея, у которого брились бы солдаты, которые сами не бреются. А как должен бриться сам солдат-брадобрей? Если он хочет самостоя­тельно бриться, он этого не должен делать, поскольку назначен брить только тех солдат, которые ними не бреются. Если же не будет сам брить­ся, он должен бриться у специально назначенного солдата-брадобрея, то есть у себя. Итак, он не может ни брить себя, ни не брить себя. Есть ли выгода?

7. Найдите логические ошибки в софизмах.

а) однажды китайский софист Гунь Сунлун верхом на белой лошади подъ­ехал к пограничной страже. Ему сказали, что пройти могут только люди, а лошадей проводить не разрешается. Софист нашел выход из положения с помощью рассуждения, которое сводится к силлогизму:

Лошадь может быть рыжей

Белая лошадь не может быть рыжей

Белая лошадь — не лошадь

Начальник стражи, удивленный таким рассуждением, пропустил софиста

вместе с его лошадью.

б) «знаешь ли ты этого закрытого (тканью) человека? — Нет.

— Это твой отец. Значит, ты не знаешь своего отца»;

в) «вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего

— дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего»;

г) «лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, нужно принимать как можно больше ле­карств»;

д) «знаете ли вы, о чем я хочу вас спросить? — Нет. — Неужели вы не знаете, что лгать нехорошо? — Конечно, знаю. - Но именно об этом я и собирался вас спросить, а вы ответили, что не знаете; выходит вы знаете то, что вы не знаете»;

е) «Кто лжет, говорит то, чего не знает. Но о том, чего нет, нельзя сказать. Следовательно, никто не может лгать». Один воскликнул:

— На мне черный! Как он догадался?

8. «Наука не только устанавливает границы возможного, но и безжалостно отделяет догадки; пусть даже правдоподобные, от доказанных утверждений. Иначе она потонула бы в суевериях и шатких предположениях». Требования какого закона логики формулирует академик?

9. В одной из пьес антигерой выдвигает лозунг: «Чтобы сохранить мир, все средства хороши, даже война». Какая ошибка в его высказывании?

Классические парадоксы, софизмы, логические задачи и упражнения

10. На одном спектакле актер произносит: «Пойду приму душ или покончу с собой». Какая логическая ошибка лежит в основе юмористического эффекта этого высказывания?

11. «Наши желания выискивают подкрепляющие их доводы и имеют тенден­ции игнорировать те аргументы, которые не находятся в соответствии с ними» На­зовите правила доказательства, которыми принебрегают в подобных случаях.

12. В истории богословия известны пять классических доказательств бытия Бога. Все они несостоятельны с логической точки зрения. Найдите ошибки в этих рассуждениях.

а) Онтологическое (греч. Ontos — бытие) доказательство. Когда мы мыслим бога, то мы мыслим его как совокупность всех совершенств. Но к этой совокупности всех совершенств принадлежит прежде всего существо­вание, ибо существо, не имеющее существовония, по необходимости несовершенно. Следовательно, в число совершенств бога мы должны включить и существование. Следовательно, бог должен существовать.

б) Историческое доказательство. Религия всегда существовала и существу­ет у всех народов. Но не могут же все они ошибаться. Поэтому следует признать, что мысль о существовании бога истинна.

в) Космологическое доказательство. Если все имеет свою причину,, то и мир в целом должен иметь причину, которая находится вне его и пред­шествует ему. А такой причиной может быть только бог. Следовательно, бог существует.

г) Телеологическое (греч. teleo — цель) доказательство.

В мире существует абсолютная целесообразность, гармония, разумность. Все богатства природы, условия жизни созданы сообразно с потребностями человека. Это и свидетельствует о наличии премудрого творца.

Задачи.

Предлагаются задачи двух типов. Для решения одних — достаточно знания логики, для решения других — знание логики необходимо, но не достаточно:

1. Против какой ошибки предостерегает автор высказывания? «Ты схватил жизнь в некий момент и, полагая, что такова она в норме навсегда, все отклоне­ния стараешься подгонять под эту норму, а глядь — норма уже не та».

2. Карл II задал Королевскому обществу вопрос: «Почему мертвая рыба не увеличивает, а живая рыба увеличивает вес сосуда с водой?»

Дайте логическую характеристику вопроса.

3. Выдающемуся математику Д.Гильберту принадлежат слова: «Разрешите мне принять, что дважды два — пять, и я докажу, что из печной трубы вылетает ведьма». При допущении какой ошибки в аргументе возможно доказательство ложного тезиса? Какой закон логики запрещает подобные допущения?

4. Возможны ли следующие ситуации?

а) на перроне особа в черном встречает человека и говорит ему: «Вчера ве­чером ваша мать умерла». Молодой человек — сын особы в черном; 150 Основы логики с задачами и упражнениями

б) у двух зрячих один брат слепой, но у этого слепого нет зрячих братьев;

г) он мой дед, но я ему не внук;

д) я тебе дочь, ноты мне не мать;

е) у меня есть сестра, а у моей сестры нет сестры;

ж) пять в квадрате — двадцать пять; семь в квадрате — сорок девять; двенадцать в квадрате — сто сорок четыре; угол в квадрате — ?

5. Три мудреца вступили в спор, кто из них более мудр. Спор помог решить случайный прохожий, предложивший им испытание на сообразительность.

— Вот видите, — сказал он, — у меня пять колпаков, из них три черных и два белых, закройте глаза!

С этими словами он надел каждому мудрецу по черному колпаку, а два белых спрятал в мешок.

— Можете открыть глаза, — сказал прохожий. — Кто угадает, какого цвета колпак украшает его голову, тот вправе считать себя самым умным. Долго сидели мудрецы, глядя друг на друга. Наконец, мира, т.е. бога.

Нравственное доказательство. У всех людей имеются представления о добре и зле, чувства моральной ответственности, долга, совести, справедливости. Но природа не может дать людям никаких моральных чувств и оценок. Следова­тельно, они от бога, который, таким образом, существует.

4. Для облегчения критической задачи составьте соответствующие доказа­тельные структуры и проанализируйте их составные элементы.

Задачи по логике счета:

1. Рейс через океан.

Каждый день ровно в полдень отправляется пароход из Гавра через Атлан­тический океан в Нью - Йорк и в то же самое время пароход той же компании отправляется из Нью - Йорка в Гавр. Переезд в том и другом направлении со­вершается ровно за семь дней. Сколько судов своей компании, идущих противо­положном направлении, встречает пароход из Гавра в Нью - Йорк?

Напрашивается ответ «семь», конечно же, не верен. Нужно учитывать какте суда, которые уже плывут в Гавр, так и те суда которые еще будут отправляться в путь.

В момент выхода пароходов из Гавра в пути, направляясь в Гавр, находится 8 судов компании (одно из них входит в Гавр и одно выходит из Нью - Йорка). Наш пароход встретил все эти 8 судов. Кроме того, в течение его семидневного плавания из Нью - Йорка выйдет еще 7 судов (последнее в момент прихода па­рохода в Нью - Йорк). Они также будут встречены пароходом. Итак, правильный ответ 15 судов.

2. Сколько ударов в сутки делают часы с боем?

Наибольшее количество ударов, отбиваемых обыкновенными часами, есть 12. Задача сводится к тому, чтобы узнать сумму чисел от 1 до 12. А это мы знаем, будет половина двенадцать раз взятых тринадцати. Но в сутках два раза 12 часов, или 24 часа. Значит, часы сделают ровно 12 раз по тринадцать ударов т.е. 156 ударов.

ТЕМЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ