Измерений. Совокупные и совместные измеренияпозволяют определить искомые значения величин x1, x2, , xn, не поддающиеся непосредственному наблюдению

Совокупные и совместные измеренияпозволяют определить искомые значения величин x₁, x₂, …, x_n, не поддающиеся непосредственному наблюдению, по результатам измерения значений других величин y₁, y₂, …, y_m, которые являются их функциями:

y_j = j_j (x₁, x₂, …, x_n),(6.16)

где i = 1, 2, ..., n– порядковый номер неизвестных величин X,

j = 1, 2, ..., m– порядковый номер прямых измерений величин Y.

После проведения прямых измерений значений величин Y_j результаты этих измерений подставляются в систему уравнений 6.16, решение которой позволяет найти искомые значения одноименных (при совокупных) или неодноименных (при совместных) величин x₁, x₂, …, x_n.

При совокупных измерениях непосредственно измеряют значения различных сочетаний одноименных величин, каждое из которых в отдельности измерить невозможно.

В совместных измерениях необходимо найти зависимость между несколькими неодноименными величинами.

Если в результатах прямых измерений величин Y_j содержатся случайные погрешности, то они имеются и в результатах совместных (совокупных) измерений величин X_i. Очевидно, что при m < n систему 6.16 вообще решить невозможно; при m = n такое решение алгебраически возможно, однако погрешности результатов измерений величин X_iбудут, как и при прямых однократных измерениях, велики, и числовое значение этих погрешностей останется неизвестным. При m > n система становится алгебраически неразрешимой, так как эти уравнения несовместимы, поскольку правые части уравнений 6.16 вместо точных значений Y_j содержат результата их измерений y_j = Y_j + DY_jсо случайными погрешностями DY_j. Однако в последнем случае при нормальном законе распределения ошибок измерения величин y_j (что обычно и бывает) можно найти такую совокупность значений x_i, которая с наибольшей вероятностью удовлетворяла бы исходным зависимостям 6.16. Это может быть осуществлено с помощью способа наименьших квадратов (принцип Лежандра).

Такой способ обработки экспериментальных данных при совокупных (совместных) измерениях особенно удобно применять при линейном характере функции j_j в противном случае обработка усложняется.

Рассмотрим случай, когда функции j_j линейны:

(6.17)

Эту же систему запишем более компактно:

j=1, 2, …, m. (6.18)

Здесь индексы при коэффициентах a указываются в последовательности «строка-столбец» (j – i).

Уравнения 6.17 и 6.18 называются условными. Ввиду наличия погрешностей правые части условных уравнений в действительности не будут равны нулю, а некоторым v_j (так называемым «невязкам», или остаточным погрешностям условных уравнений):

j=1, 2, …, m. (6.19)

В соответствии с принципом Лежандра наиболее вероятными значениями неизвестных величин X_i в этом случае будут такие, при которых сумма квадратов остаточных погрешностей v_jминимальна:

(6.20)

Необходимым условием такого минимума является равенство нулю производных

i=1, 2, …, n. (6.21)

Подставляя в выражение 6.21 значения v_j из соотношения 6.19, получаем после преобразований систему нормальных уравнений:

h=1, 2, …, n. (6.22)

Запишем эту же систему в развернутом виде:

(6.23)

Здесь индексы при коэффициентах b также указывается в последовательности «строка-столбец» (h – i).

Поскольку число нормальных уравнений всегда равно числу неизвестных, такая система алгебраически разрешима.

Предположим, что в результате совместных (совокупных) измерений получена такая система условных уравнений:

при n = 2

(6.24)

при n = 3

(6.25)

Система нормальных уравнений имеет вид:

при n = 2

(6.26)

при n = 3

(6.27)

Коэффициенты b_hi можно вычислить по формулам:

(6.28)

Значения c_h определяется следующим образом:

(6.29)

Для решения системы 6.23 составляем и вычисляем главный определитель данной системы уравнений:

для n = 2

(6.30)

для n = 3

(6.31)

Составляем и вычисляем частные определители D₁ и D₂, заменив в системе 6.23 коэффициенты b_hiпри соответствующих неизвестных на свободные члены c_h:

для n = 2 (6.32)

для n = 3 (6.33)

Вычисляем наиболее вероятные значения неизвестных:

для n = 2 (6.34)

для n = 3 (6.35)

Подставив вычисленные наиболее вероятные значения неизвестных в условные уравнения 6.19, можно найти v_j, затем получить v_j и сумму квадратов остаточных погрешностей .

Среднеквадратичное отклонение результатов совокупных (совместных) измерений

(6.36)

где m – число условных уравнений;

n – число неизвестных;

A_hi – адъюнкты элементов b_hi главной диагонали определителя D (при h=i), полученные вычеркиванием строки h и столбца i, соответствующих данному элементу b_hi, и последующим умножением на (-1)^h+i.

Для n = 2 адъюнкты равны

(6.37)

для n = 3

(6.38)

Задавшись доверительной вероятностью g, из приложения Б находим соответствующее значение коэффициента доверия t_γ. В этом случае число степеней свободы равно

k = m – n. (6.39)

Тогда можно найти доверительные границы случайной составляющей погрешности результата совокупных (совместных) измерений:

(6.40)

Вычисляем доверительные границы общей погрешности результата совокупного (совместного) измерения

. (6.41)

Записываем результат совокупного (совместного) измерения в виде

(6.42)

где – наиболее вероятное значение i-го результата измерения ( ).

Контрольные вопросы.

1. Что такое косвенное измерение?

2. Как проверить корреляцию между результатами наблюдений каждой пары аргументов?

3. Как определить погрешность результата косвенного измерения?

4. Как определить доверительные границы случайной составляющей погрешности результата совокупных и совместных измерений?

Литература к лекции: [1], [2], [4]

Для заметок к лекции № 6

Лекция № 7

Средства измерений и их характеристики

Вопросы, выносимые на лекцию: Классификация средств измерений. Метрологические характеристики средств измерений и их нормирование. Параметры входного и выходного сигналов СИ, влияющие величины, функции влияния. Погрешность средств измерений