Понятие о логике высказываний

Современная символическая логика для анализа дедуктивных рассуждений стро­ит особые логические системы; одна из них называется логикой высказываний или пропозициональной логикой, другая — логикой предикатов. Рассмотрим кратко принципы построения логики высказываний.

Логика высказываний — это логическая система, которая анализирует процес­сы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Язык логики высказываний включает: алфавит, определение правильно выстро­енных выражений, интерпретацию.

Алфавит логики высказываний состоит из следующих символов.

1) Символы для высказываний: р, q, r ... (пропозициональные переменные).

2) Символы для логических связок:

Ù — конъюнкция (союз «и»);

v — дизъюнкция (союз «или»);

® — импликация (союз «если..., то...»);

º — эквивалентность (союз «если и только если..., то...»); 1 ù ù— отрицание («неверно, что...»).

3) Технические знаки (,) — скобки.

Допустимые в логике высказываний выражения, называемые правильно постро­енными формулами, или сокращенно ППФ, вводятся следующим определением:

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r ... — является ППФ.

2. Если А и В — ППФ (А и В — символы метаязыка для любых формул), то выражения — А Ù В, A v В, А ® В, А ºВ, ùА— также являются ППФ.

3. Все другие выражения, помимо предусмотренных п. 1 и 2, не являются ППФ языка логики высказываний.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать по правилам вывода из одних формул другие.

Табличное построение предполагает семантические определения пропозицио­нальных связок в виде матриц, показывающих зависимость истинного значения слож­ных формул от значений их составляющих простых формул. Если А и В простые формулы, то истинное значение построенных с помощью логических связок формул может быть представлено матричным способом — в виде таблицы (см. рис. 36).

Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значе­ния различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые фор­мулы.

Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истины при любых — истинных или ложных — значениях составляющих их пропозициональ­ных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики.

Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение ложности при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональных переменных

Выполненными называют формулы, которые могут принимать значения истин­ности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозици­ональных переменных.

Табличное построение предполагает определение логических отношений между формулами. Существенное значение для анализа рассуждений имеет отношение логического следования (символ |— ), которое определяется следующим образом. Из a₁, ..., An как посылок логически следует Вкак заключение, если при истинности каждого Ai, ..., А_п истинным является и В В языке-объекте отношение следования адекватно выражается импликацией. Значит, если a₁, ..., A_n |—В, то формула, пред­ставляющая собой импликацию вида (A₁ Ù А₂ Ù ... Ù А_n) ® В, должна быть тождест­венной истинной.

Табличное построение логики высказываний позволяет определять логические отношения между высказываниями (см. гл. V § 4) и проверять правильность умозак­лючений, используя приведенный выше критерий. В качестве примера предлагаем провести табличным способом проверку правильности рассуждения формулы (р ®q) \-(ùq®ù р). Заменив знак логического следования между посылкой и заклю­чением на импликацию и построив таблицу для полученной формулы, видим, что она является тождественно истинной. Значит, рассуждение является правильным.

Если в рассуждении содержится более трех переменных, то строить полную таблицу для проверки его правильности затруднительно и тогда используют сокра­щенный метод проверки, рассуждая от противного. Поскольку при правильном рас­суждении формула вида (A₁ Ù .. Ù А_n) ® В должна быть тождественно истинной, посмотрим, не может ли она при каком-то наборе значений переменных оказаться ложной. Допустим, что может. Если из этого допущения получим какое-нибудь про­тиворечие, то такое допущение будет неверным, а проверяемое рассуждение — пра­вильным. Если же из допущения не получаем противоречия, то обнаружим набор значений переменных, при котором формула ложна, т.е. тот набор, который опровер­гает проверяемое рассуждение

Логика высказываний как исчисление — это прежде всего так называемая систе­ма натурального вывода (СНВ).Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которых является какой-нибудь элементарной формой умозаключения. Переходя по этим правилам от посылок или некоторых допущений к новым формулам, постепенно доходят до заключения. Вывод из посылок осуществлен, если удалось элиминировать все сделанные допущения. Таким образом, под выводом формулы В (заключения) из формул A₁,..., Ап (посылок) имеется в виду последовательность формул, каждая из которых является либо посылкой, либо допущением, либо получается по правилам вывода из предыдущих, и последняя формула этой последовательности есть форму­ла В, а все допущения при этом элиминированы.

Правила СНВ позволяют оперировать со всеми связками, имеющимися в алфа­вите языка. Они делятся на правила введения (в) и правила исключения (и) связок.

Конъюнкция:

Дизъюнкция:

Ùв А, В ; Ù и¹ АÙВ; Ùи² АÙВ

АÙВ А В

А В AvB,ùA AvB,ù B

v в —— ; v в —— ; v и ———— ; v и
AvB AvB В А

Импликация:

A ® и A®B,ùB
Ú^BB®A ùA
Отрицание:

ù и ù ù А

А

Эквиваленция:

º и АºВ

(А® В ) Ù (В® А)

Кроме этих прямых правил получения новых строк вывода, в СНВ приняты непрямые правила, определяющие стратегию построения вывода. Например, если нужно вывести из посылок формулу вида импликации (x₁ ® (x₂ ®...(x_n-₁ ® x_n))), то после выписывания посылок выписываются в качестве допущений все антецеденты заключения, начиная с антецедента главного знака импликации, т.е. x ₁, x ₂, х ₃,..., x_n-₁

Г,А->В

Если при этом удастся вывести х_n, то по непрямому правилу ® в —————— собираем

Г®А®В

последовательно формулы: (x_n-_1®x_n) (при этом исключается допущение x_n-1), (х_n-2 ® (x_n-1 ® x_n)(x_n-r исключается из числа допущений) и т.д., пока не получим требуемое заключение x₁ ®(x_n-2 ®... (x_n-1 ® x_n). Это правило построения прямого вы­вода.

Приведем пример вывода с применением этого правила:

((pÙq)®r) |-_ (p® (q ®r)

1. (р Ù q) ® r — посылка

2. р — допущение

3. q — допущение

4. р Ù q (2, 3. Ù в)

5. r (1,4, ® _n)

6.q®r(3,5,®в)(-3)

7.p®(q®r)(2,6,®в)(-2)

Другое непрямое правило используется для построения косвенного вывода, при котором допущением является отрицание В или отрицание последнего консеквента х_n Г,А®(ВÙùВ)

Это правило имеет вид ———————— и говорит о том, что если из

Г—> |А

каких-то формул (Г) и допущения (А) получено противоречие (В Ù ù В), то из этих формул следует ]А. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида (x₁ ® (x₂® ...(x_n-1 —> х_n)...), то после посылок выписываются формулы:

X₁

Х2

допущения

…

x_n-1

ù х_n допущение косвенного доказательства [ДКД]

атем по правилам вывода получаем следствия из всех имеющихся посылок и допущений до тех пор, пока не получим две противоречащие друг другу формулы "(В и 1в), что свидетельствует о несовместимости допущения косвенного доказательства с другими допущениями и посылками. Отсюда делается вывод о его ложности. Тогда в вывод вписывается строка 1]х_п, и тем самым допущение косвенного доказательства исключается. Например, осуществим косвенный вывод: (р ® q) ½- (ù q ®ù p)

1 . р ® q — посылка

2. ù q — допущение

3. ù ù р дкд

4.р(3,] и)

_5.q (1,4,® и)

6.q Ù ù q(5,2, Ù _в)

7. ù ù ù p (6,3, ù _в)(-3)

8. ù p (7, ù и)

9. ù q ® ù p (2,8, ® и)(-2)

Косвенный вывод считается законченным, если в ходе вывода получена какая-то формула и ее отрицание, т.е. противоречие. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида x₁® (x₂ ®... ® х_n), то построчно выписывают все антецеденты от x₁ до X_n-1 в качестве допущений; в последней строчке выписывают отрицание последнего консеквента — ] х_n как допущение косвенного вывода. По правилам вывода получаем различные следствия из всех имеющихся посылок и допущений. Получение двух противоречащих следствий говорит о ложности допущения косвен­ного вывода. На этом основании ДКД отрицается, т.е. получаем двойное отрицание. Снятие двойного отрицания дает формулу х_n.

Основными логическими свойствами системы натурального вывода являются ее непротиворечивость и полнота.

Непротиворечивость означает, что из истинных посылок могут получаться толь­ко истинные следствия и если формула выводима из пустого множества посылок, то она тождественно истинна. Это исключает возможность вывести из пустого множест­ва посылок какую-либо формулу (А) и ее отрицание ( ù А).

Полнота системы означает, что дедуктивных ее средств достаточно, чтобы вы­вести из пустого множества посылок любую тождественно истинную формулу.

Логика предикатов является более общей логической системой и включает логику высказываний как свою часть Она располагает более эффективными логическими средствами для анализа рассуждений в естественном языке.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. На какие виды делятся выводы из сложных суждений?

2. Как строятся чисто условные умозаключения?

3. Что такое условно-категорическое умозаключение? Назовите его правильные модусы, выразите их в символической записи.

4. Какое умозаключение называется разделительно-категорическим? Назовите его модусы, выразите их в символической записи.

5. Укажите условия правильности выводов по утверждающе-отрицающему и от-рицающе-утверждающему модусам разделительно-категорического умозаключения.

6. Какое умозаключение называется условно-разделительным (леммантичес-ким)? Какие модусы имеет дилемма?

7. Что такое энтимема?

8. Каковы принципы построения логики высказываний?

9. Покажите значение различных видов условных и разделительных умозаключе­ний в работе юриста.

Глава VIII

ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Познание в любой области науки и практики начинается с эмпи­рического познания. В процессе наблюдения однотипных природ­ных и социальных явлений фиксируется внимание на повторяемос­ти у них определенных признаков. Устойчивая повторяемость наво­дит на мысль (индуцирует), что каждый из таких признаков является не индивидуальным, а общим, присущим всем явлениям определен­ного класса. Логический переход от знания об отдельных явлениях к знанию общему совершается в этом случае в форме индуктивного умозаключения, или индукции (от латинского inductio — «наведе­ние»).

Индуктивным называется умозаключение, в котором на осно­вании принадлежности признака отдельным предметам или час­тям некоторого класса делают вывод о его принадлежности клас­су в целом.

В истории физики, например, опытным путем было установлено, что железные стержни хорошо проводят электричество. Такое же свойство было обнаружено у медных стержней и у серебра. Учиты­вая принадлежность указанных проводников к металлам, было сде­лано индуктивное обобщение, что всем металлам свойственна электропроводность.

Посылками индуктивного умозаключения выступают суждения, в которых фиксируется полученная опытным путем информация о повторяемости признака Р у ряда явлений — Si, 82,..., 8„, принадле­жащих одному и тому же классу К. Схема умозаключения имеет следующий вид:

Посылки:

1) S₁ имеет признак Р

S₂ имеет признак Р

S_n имеет признак Р

2) S₁, S₂,..., S_n — элементы (части) класса К

Заключение

Всем предметам класса К присущ признак Р

В основе логического перехода от посылок к заключению в ин­дуктивном выводе лежит подтверждаемое тысячелетней практикой положение о закономерном развитии мира, всеобщем характере причинной связи, проявлении необходимых признаков явлений через их всеобщность и устойчивую повторяемость. Именно эти методологические положения оправдывают логическую состоятель­ность и эффективность индуктивных выводов.

Основная функция индуктивных выводов в процессе позна­ния — генерализация, т.е. получение общих суждений. По своему содержанию и познавательному значению эти обобщения могут но­сить различный характер — от простейших обобщений повседнев­ной практики до эмпирических обобщений в науке или универсаль­ных суждений, выражающих всеобщие законы.

История науки показывает, что многие открытия в физике в области электричества, магнетизма, оптики были сделаны на основе индуктивного обобщения эмпирических данных. Индуктивная обра­ботка результатов наблюдений предшествовала научной классифи­кации растений и животных в биологии. Индуктивным обобщениям обязаны многие гипотезы в современной науке. Важное место при­надлежит индуктивным выводам в судебно-следственной практи­ке — на их основе формулируются многочисленные обобщения, ка­сающиеся обычных отношений между людьми, мотивов и целей совершения противоправных действий, способов совершения пре­ступлений, типичных реакций виновников преступления на дейст­вия следственных органов и т.п.

Полнота и законченность опыта влияют на строгость логическо­го следования в индукции, предопределяя в конечном счете демонстративность или недемонстративность этих умозаключений.

В зависимости от полноты и законченности эмпирического ис­следования различают два вида индуктивных умозаключений: пол­ную индукцию и неполную индукцию. Рассмотрим их особенности.

§ 1. Полная индукция

Полная индукция — это умозаключение, в котором на основе принадлежности каждому элементу или каждой части класса оп­ределенного признака делают вывод о его принадлежности классу в целом.

Индуктивные умозаключения такого типа применяются лишь в тех случаях, когда имеют дело с закрытыми классами, число элемен­тов в которых является конечным и легко обозримым. Например,

число государств в Европе, количество промышленных предпри­ятий в данном регионе, число субъектов федерации в данном госу­дарстве и т.п.

Представим, что перед аудиторской комиссией поставлена зада­ча проверить состояние финансовой дисциплины в филиалах кон­кретного банковского объединения. Известно, что в его состав вхо­дят пять отдельных филиалов. Обычный способ проверки в таких случаях — анализ деятельности каждого из пяти банков. Если ока­жется, что ни в одном из них не обнаружено финансовых наруше­ний, то тем самым можно сделать обобщающее заключение: все филиалы банковского объединения соблюдают финансовую дис­циплину.

Схема умозаключения полной индукции имеет следующий вид:

Посылки:

1) S₁ имеет признак Р

S₂ имеет признак Р

S_n имеет признак Р

2) S₁, S₂,..., S_n — составляют класс К

Заключение:

Всем предметам класса К присущ признак Р

Выраженная в посылках этого умозаключения информация о каждом элементе или каждой части класса служит показателем пол­ноты исследования и достаточным основанием для логического переноса признака на весь класс. Тем самым вывод в умозаключении полной индукции носит демонстративный характер. Это означает, что при истинности посылок заключение в выводе будет необходимо истинным.

В одних случаях полная индукция дает утвердительные заключе­ния, если в посылках фиксируется наличие определенного признака у каждого элемента или части класса. В других случаях в качестве заключения может выступать отрицательное суждение, если в по­сылках фиксируется отсутствие определенного признака у всех представителей класса.

Познавательная роль умозаключения полной индукции проявля­ется в формировании нового знания о классе или роде явлений. Логический перенос признака с отдельных предметов на класс в целом не является простым суммированием. Знание о классе или роде — это обобщение, представляющее собой новую ступень в раз­витии знания.Так, при выявлении характера кривой, по которой движутся пла­неты вокруг Солнца, в астрономии первоначально было установле­но, что Марс, Венера, Юпитер, Сатурн, Земля обращаются по эллип-сообразным орбитам. С открытием новых планет было установлено, что Уран, Нептун, Плутон и Меркурий обращаются по таким же орбитам. В итоге в форме полной индукции было сделано обобще­ние, что все планеты Солнечной системы обращаются по эллипсооб-разным орбитам. Это новое знание имеет принципиально иное зна­чение, нежели констатация факта эллипсообразного движения каж­дой из планет. Во-первых, обобщающий вывод оказывает влияние на развитие понятия «планета Солнечной системы», поскольку в его содержание может быть включен новый признак — обращение во­круг Солнца эллипсообразное. Во-вторых, этот признак может слу­жить основой для выявления других существенных характеристик всего класса явлений, например, для решения вопроса о механизме возникновения планет Солнечной системы.

Демонстративность полной индукции позволяет использовать этот вид умозаключения в доказательном рассуждении. Так, в гео­метрии теорема о сумме внутренних углов треугольника доказывает­ся отдельно для трех видов треугольников: остроугольных, прямо­угольных и тупоугольных. Учитывая, что в каждом из них сумма углов равна 180° и все они составляют конечное множество, строят индуктивное обобщение: во всяком треугольнике сумма его внут­ренних углов равна 180°.

В судебном исследовании нередко используются доказательные рассуждения в форме полной индукции с отрицательными заключе­ниями. Например, исчерпывающим перечислением разновидностей исключается определенный способ совершения преступления, спо­соб проникновения злоумышленника к месту совершения преступ­ления, тип оружия, которым было нанесено ранение, и т.п.

Применимость полной индукции в рассуждениях определяется практической перечислимостью множества явлений. Если невоз­можно охватить весь класс предметов, то обобщение строится в форме неполной индукции.