Формы представления булевых функций

В алгебре логики доказывается, что любую функцию алгебры логики, кроме функции f = 0, можно представить в виде формулы через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание в виде

Формы представления булевых функций - student2.ru (4)

где Формы представления булевых функций - student2.ru — общее обозначение для аргумента xk и его отрицания.

Логическое суммирование в (4) ведется для тех наборов s1, s2, …, sk, …, sn, для которых Формы представления булевых функций - student2.ru .

Представление функции алгебры логики в форме (4) называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ). Члены, входящие в СДНФ, называют дизъюнктивными членами или конституентами единицы.

Правило построения СДНФ для булевой функции, заданной таблицей истинности:

1) выписать из таблицы те наборы, для которых функция равна единице;

2) для каждого выписанного набора составить конъюнкцию Формы представления булевых функций - student2.ru ;

3) соединить полученные конъюнкции знаком дизъюнкции - получается СДНФ искомой функции.

Пример 1. Составить СДНФ для таблично заданной функции (табл. 5).

Таблица 5

х1 х2 х3 z
 
 
 
 

Используя правило построения СДНФ, получим:

Формы представления булевых функций - student2.ru

Возможно иное представление функций алгебры логики, называемое совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ). В этом случае функция составляется из дизъюнкций, называемых конъюнктивными членами СКНФ или конституентами нуля, объединенных знаком конъюнкции.

Для рассмотренного примера 1 СКНФ функции будет иметь вид:

Формы представления булевых функций - student2.ru .

Переход от СДНФ к СКНФ представления булевых функций осуществляется так:

· выписывается логическая сумма дизъюнктивных членов, не вошедших в СДНФ, т.е. отрицание функции;

· от полученной логической суммы дизъюнктивных членов берется отрицание.

Пример 2. Построить СКНФ булевой функции по ее СДНФ: Формы представления булевых функций - student2.ru . Получим отрицание этой функции:

Формы представления булевых функций - student2.ru

Взяв отрицание от полученного выражения еще раз и использую правило де-Моргана, получим

Формы представления булевых функций - student2.ru

Аналогично осуществляется переход от СКНФ к СДНФ представления функции алгебры логики.

Наши рекомендации