Перестановки без повторений

Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n.

Пусть (a₁,a₂,…,a_n),— перестановка элементов множества {1, 2,...,n}.Пара (a_i, a_j) называется инверсией перестановки, если i<j, то a_i>a_j.

Таблицей инверсии перестановки (a₁,a₂,…,a_n) называется последовательность (d₁,d₂,…,d_n),где dj— число элементов, больших j и расположенных левее j.

Задание 4.

0)Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке?

1)Сколькими способами можно разложить 8 различных писем по 8 различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

2)Сколько ожерелий можно составить из семи бусин раз­ных размеров?

3)Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

4)Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «градус»?

5)Сколькими различными способами можно рассадить 6 человек на 6 креслах в кинотеатре?

6)Сколько всего шестизначных четных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 5, 7 и 9, если из этих чисел ни одна не повторяется?

7)Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?

8)Сколько всего семизначных четных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7 и 9, если из этих чисел ни одна не повторяется?

9)Как велико число различных отображений, переводящих множество из n элементов в себя?

Сочетания без повторений

Сочетаниями из n элементов по m (m n) называются неупорядоченные m-элементные выборки из данных n элементов.

Задание 5.

0)Составьте все сочетания из трех букв А, В, С по две буквы.

1)У 6 взрослых и 11 детей обнаружены признаки инфекционного заболевания. Чтобы проверить заболевание, следует взять выборочный анализ у 2 взрослых и 3 детей. Сколькими способами можно это сделать?

2)Сколькими способами можно группу из 20 студентов разделить на две подгруппы так, чтобы в одной группе было 13, а в другой 7 человек?

3)На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 4 книги по геометрии и 5 книг по литературе. Сколькими способами можно взять с полки три книги по математике?

4)Учащийся хочет использовать для раскраски географической контурной карты 4 краски из 6, которые он имеет в своем распоряжении. Сколькими способами он может выбрать 4 краски из 6?

5)Даны две параллельные прямые. На одной из них имеется 10 точек, а на другой - 20. Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках?

6)Сколькими способами можно распределить 28 костей домино между 4 игроками так, чтобы каждый получил 7 костей?

7)В классе 12 юношей и 13 девушек. Сколькими способами из них можно выбрать четырех учащихся для дежурства на вечере, если а) освободить девушек; б) юноши и девушки?

8)Сколькими способами абитуриент может выбрать 3 ВУЗа из 5 для подачи документов?

9)Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик?

Задание 6.

0)Из городаА в город В ведут пять дорог, а из города В в город С – три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

1)Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехто­вальщиков каждое, надо выделить по одному фехтовальщику для участия в состязании. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?

2)Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида ма­рок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать кон­верт с маркой для посылки письма?

3)Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «камзол»?

4)Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?

5)Бросают игральную кость с шестью гранями и запускают волчок, имеющий восемь граней. Сколькими различными способами они могут упасть?

6)На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами •турист может подняться на гору и спуститься с нее? То же самое при условии, что спуск и подъем происходят по разным путям.

7)На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?

8)Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? А если нет ограничений на цвет выбранных квадратов?

9)Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего надо выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами мо­жет быть сделан этот выбор?

Рис. 1. Алгоритм определения вида комбинации

Задание 7.

0)В местком избрано 9 человек. Из них надо выбрать предсе­дателя, заместителя председателя, секретаря и культорга. Сколь­кими способами это можно сделать?

1)Из состава конференции, на которой присутствует 52 чело­века, надо избрать делегацию, состоящую из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?

2)Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если используют­ся 32 буквы русского алфавита.

3)Сколько различных перестановок можно получить, переставляя бук­вы в слове «математика»? В слове «парабола»?

4)В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколь­кими способами можно купить в нем 12 открыток? Сколькими спо­собами можно купить 8 открыток?

5)Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо вы­брать 6 человек так, чтобы среди них' было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

6)Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами мо­гут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки?

7)Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз?

8)Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется ровно один туз?

9)Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется ровно два туза?

Задание 8. Записать все размещения из элементов множества А по два элемента с повторениями: 0) А = {2,7,9}; 1) A= {x,y,z}; 2) A = {a,b,c}; 3) A = {X,Y,Z}; 4) А = {+,-,×}; 5) А = {!,#,%}; 6) А = {α,β,λ} 7) А= {←,↑,→}; 8) А = {В, П, МР}; 9) A = {Q,W,E}.

Задание 9. Записать все размещения из элементов множества А по два элемента без повторений:   0) А = {2,7,9}; 1) A= {x,y,z}; 2) A = {a,b,c}; 3) A = {X,Y,Z}; 4) А = {+,-,×}; 5) А = {!,#,%}; 6) А = {α,β,λ} 7) А= {←,↑,→}; 8) А = {В, П, МР}; 9) A = {Q,W,E}.