Тема 9. Общая характеристика доказательства

1. Что такое доказательство?

2. Какова структура доказательства?

3. Что такое прямые и косвенные доказательства?

4. Каковы логические правила доказательства?

1. Что такое доказательство?

Доказательство – это совокупность приемов подтверждения или опровержения чего-либо (тезиса, утверждения, идеи, мысли и т. п.). Подтверждение – это установление истинности какого-либо высказывания, а опровержение – установление его ложности.

Все доказательства делятся на непосредственныеи опосредованные. В непосредственном доказательстве некое высказывание подтверждается или опровергается путем соотнесения его с действительностью. Например, для того, чтобы установить истинным или ложным является утверждение: Сейчас на улице идет дождь достаточно соотнести его с действительностью, т.е. просто выглянуть в окно. Непосредственные доказательства также часто называют эмпирическими(от греч. еmреiria – опыт), т.е. базирующимися на опыте. В данном случае термин «опыт» надо понимать в широком смысле: опыт – это все то, с чем мы соприкасаемся в жизни с помощью органов чувств (т.е. видим, слышим, осязаем, и т.д.).

Далеко не все можно доказать эмпирически, т.е. с помощью ссылки на опыт. Например, для эмпирического доказательства утверждения о том, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 180⁰, надо начертить треугольник, измерить транспортиром его углы и сложить их величины. Получится 180⁰. Но ведь этот результат характеризует именно данный, только что начерченный треугольник. Вдруг у другого треугольника сумма внутренних углов не будет равна 180⁰. Для того чтобы выяснить это, построим другой треугольник, измерим транспортиром его углы и сложим их величины. Опять получится 180⁰. Однако, может оказаться, что у третьего треугольника сумма внутренних углов будет отличаться от 180⁰. Начертим третий треугольник и измерим его углы… Таким образом, чтобы доказать эмпирически утверждение об одной и той же сумме внутренних углов любого треугольника, надо построить все возможные треугольники, измерить и сложить величины углов в каждом из них. Сделать это, конечно же, никто не сможет, ведь множество всех треугольников бесконечно. Как видим, в данном случае непосредственное, или эмпирическое доказательство неприменимо. Каким же образом доказывается положение о сумме внутренних углов любого треугольника? Из курса школьной геометрии всем хорошо известно, что оно выводится не из видимой действительности, или опыта, а из других, ранее доказанных положений (теорем). Такое доказательство является опосредованным. Опосредованные доказательства также называют теоретическими(от греч. theoria – мысленное созерцание). Итак, если в непосредственном доказательстве истинность или ложность какого-либо утверждения устанавливается на основе соотнесения его с действительностью, то в опосредованном доказательстве некое высказывание подтверждается или опровергается с помощью других высказываний, истинность которых установлена ранее и не подлежит сомнению. Понятно, что предметом внимания логики является именно такое доказательство.

2. Какова структура доказательства?

Опосредованное доказательство имеет определенную структуру, которая состоит из трех элементов:

1. Тезис– это то, чтодоказывается (какое-либо суждение, высказывание, утверждение и т.п.).

2. Аргументы, или основания– это то, чем доказывается (какие-либо суждения, высказывания, утверждения и т.п., истинность которых установлена ранее).

3. Демонстрация – это то, как доказывается. В доказательстве необходимо показать (продемонстрировать) во-первых, связь аргументов с тезисом, а, во-вторых, их достаточность для его подтверждения или опровержения.

Рассмотрим все элементы доказательства с помощью примера. В качестве тезиса возьмем высказывание: Шахматы – это полезная игра. Аргументами в данном случае могут быть два суждения: 1. Если что-то развивает мышление, то оно полезно; 2. Шахматы развивают мышление. Как видим, первый аргумент представлен сложным импликативным суждением, а второй является простым, или категорическим суждением. Если расположить эти аргументы друг под другом, то получится классическая форма условно-категорического умозаключения утверждающего модуса:

Если что-то развивает мышление, то оно полезно.

Шахматы развивают мышление.

Шахматы полезны

В данном умозаключении посылки представляют собой аргументы, а вывод – тезис. Таким образом, в рассматриваемом доказательстве демонстрацией является условно-категорическое умозаключение (демонстрация проходит в форме условно-категорического умозаключения). Выше говорилось, что демонстрация призвана обеспечить не только связь аргументов с тезисом, но и гарантировать их достаточность для его доказательства. В любом дедуктивном умозаключении, как известно, вывод вытекает из посылок с достоверностью. Следовательно, если в доказательстве аргументы являются посылками такого умозаключения, а тезис представляет собой его вывод, то демонстрация, проходящая в форме этого умозаключения, вполне выполняет свою задачу.

3. Что такое прямые и косвенные доказательства?

По цели доказательства делятся, как мы уже знаем, на подтверждение и опровержение, а по способу демонстрации они бывают прямыми и косвенными. В прямом доказательстве истинность или ложность тезиса выводится непосредственно из аргументов, а в косвенном – подтверждение или опровержение тезиса выводится, соответственно, из ложности или истинности антитезиса (т.е. высказывания, противоречащего тезису). Иначе говоря, в косвенном доказательстве рассмотрению подвергается не тезис, а антитезис: устанавливается его истинность или ложность. Далее, если антитезис оказывается истинным, то тезис (по закону исключенного третьего) следует признать ложным; если же антитезис ложен, то тезис с необходимостью истинен.

В предыдущем пункте был приведен пример прямого доказательства (в котором тезисом было суждение: Шахматы – это полезная игра). Теперь рассмотрим пример косвенного доказательства. В качестве тезиса возьмем высказывание: Две прямые пересекаются в единственной точке (это одна из теорем геометрии). Для выяснения истинности или ложности данного утверждения выдвинем антитезис: Две прямые пересекаются не в единственной точке (т.е. они имеют две, три или более точек пересечения). Рассматривая это высказывание, мы заметим, что если, например, две прямые пересекаются в двух точках, тогда через две точки пространства проходят две прямые; а это противоречит известной аксиоме о том, что через две точки пространства проходит одна и только одна прямая. Таким образом, две прямые не могут пересекаться в двух (а также – трех, четырех и т.д.) точках, т.е. антитезис ложен, а тезис, следовательно, истинен.

Поскольку доказательства делятся на подтверждения и опровержения, а также на прямые и косвенные, то всего можно выделить четыре вида доказательств: 1. прямое подтверждение, 2. косвенное подтверждение, 3. прямое опровержение, 4. косвенное опровержение.

4. Каковы логические правила доказательства?

В доказательстве надо соблюдать определенные правила, основными из которых являются следующие.

1. Тезис должен быть сформулирован ясно и определенно, в противном случае будет непонятно, что именно надо доказывать. Например, упоминавшийся ранее тезис: Ученики прослушали объяснение учителя без дополнительных комментариев совершенно непонятен, несмотря на внешнюю простоту выражающего его суждения.

Не совсем ясной и определенной является формулировка одного из правил пользования общественным городским транспортом: Безбилетный проезд и бесплатный провоз багажа наказывается штрафом. Если воспринимать употребляемый здесь союз ив качестве конъюнкции, то получится, что штраф должен быть наложен только на тех пассажиров, которые совершили сразу два проступка, а не какой-то один из них. В силу этого кажется, что следует заменить союз ина союз или: Безбилетный проезд или бесплатный провоз багажа наказывается штрафом. Однако, и в этом случае тезис не обретет полную ясность: ведь если рассматривать союз илив качестве строгой дизъюнкции, то получится, что штраф накладывается или только на тех пассажиров, которые не оплатили проезд, или же только на тех, которые бесплатно провозят багаж, – в зависимости от ситуации и на усмотрение контролера. Для придания формулировке окончательной ясности и определенности надо употребить союз-гибрид или(и), однозначно указывающий на нестрогую дизъюнкцию, которая и является действительным содержанием данного правила пользования городским транспортом.

Рассмотрим еще один пример. Не вполне ясен тезис, представленный суждением: Его характер обуславливает его жизнь. Это высказывание можно понимать двояко: то ли характер определяющим образом влияет на жизнь, то ли, наоборот, жизнь определяющим образом влияет на характер. В целях прояснения такого утверждения, его следовало бы сформулировать иначе, например: Его жизнь обуславливается его характером или Его характер обуславливается его жизнью (в зависимости от того, что имеется ввиду).

Неясность тезиса часто связана с употреблением неопределенных понятий (умный человек, интересная книга, молодая семья и т.п.), о которых шла речь во второй теме.

2. Тезис должен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства, иначе получится так, что сначала доказывается один тезис, а потом другой. Эта ошибка обычно называется подменой тезиса. Например, в рассуждении: Если число делится без остатка на 10, то оно делится без остатка и на 5; Число 25 делится без остатка на 5, следовательно, оно делится без остатка и на 10 один тезис подменяется другим: сначала речь идет о делимости числа на 10, а потом – о его делимости на 5 (первое не тождественно второму), в силу чего и получается ложный вывод. Рассмотрим еще один пример. «Предметом моей сегодняшней лекции я избрал, так сказать, вред, который приносит человечеству потребление табаку…Табак есть, главным образом, растение…Когда я читаю лекции, то обыкновенно подмигиваю правым глазом, но вы не обращайте внимания; это от волнения. Я очень нервный человек, вообще говоря, а глазом начал подмигивать в 1889 году 13-го сентября, в тот самый день, когда у моей жены родилась, некоторым образом, четвертая дочь Варвара. У меня все дочери родились 13-го числа…» (А.П.Чехов «О вреде табака»). Как видим, выступающий начинает говорить об одном, потом переходит на другое, никак не связанное с первым, далее перескакивает на третье, в результате чего речь идет о различных вещах и, в конечном итоге, – ни о чем.

Обратим внимание на то, что рассмотренные правила, требующие ясности и определенности тезиса, а также его однозначности на протяжении всего доказательства, представляют собой следствия закона тождества, о котором подробнее говорилось выше (см. тему 7).

Итак, согласно двум правилам доказательства, которые относятся к тезису, последний должен быть сформулирован ясно и определенно, а также должен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства. Теперь рассмотрим правила доказательства по отношению к аргументам.

3. Аргументы, или основания должны быть истинными суждениями. Это наиболее очевидное правило, ведь в случае их ложности доказательство является несостоятельным. Например, для подтверждения тезиса: Все дельфины – это рыбы используются следующие аргументы: 1. Все киты являются рыбами; 2. Все дельфины – это киты. Демонстрация в данном случае проходит в форме простого силлогизма первой фигуры, имеющего модус ААА:

Все киты являются рыбами.

Все дельфины – это киты.

Все дельфины – это рыбы.

Как видим, первая посылка, представляющая собой один из аргументов, является ложной, что приводит к разрушению, или уничтожению доказательства, несмотря на истинность второй посылки (другого аргумента). Подобного рода ошибка называется ложным основанием, или основным заблуждением.

Нередко бывает, что в качестве аргументов используются не ложные, а гипотетические суждения, т.е. такие, истинность или ложность которых еще не установлена. Например, в целях подтверждения тезиса: На Марсе есть жизнь привлекаются аргументы: 1. Если планета расположена в солнечной системе на определенном расстоянии от Солнца (как Земля – примерно 150 млн. км), а также если на ней имеется атмосфера и вода (как на Земле), то на ней есть жизнь; 2. Планета Марс расположена в солнечной системе на расстоянии приблизительно 200 млн. км от Солнца (разница между 150 млн. км и 200 млн. км для масштабов солнечной системы очень мала), на ней имеется атмосфера и вода. Демонстрация здесь представлена условно-категорическим умозаключением утверждающего модуса:

Если планета расположена в солнечной системе на определенном расстоянии от Солнца (» 150 млн. км), и на ней имеется атмосфера и вода, то на ней есть жизнь.

Планета Марс расположена в солнечной системе на определенном расстоянии от Солнца (» 200 млн. км) и на ней есть атмосфера и вода.

На Марсе есть жизнь.

Первая (импликативная) посылка, которая представляет собой один из аргументов, является не ложным, но гипотетическим суждением (его истинность или ложность еще требуется установить: точно неизвестно, обязательно ли наличие перечисленных в первой посылке условий ведет к существованию жизни на планете). Гипотетичность одного из аргументов делает доказательство несостоятельным, несмотря на истинность другого аргумента (который представлен второй посылкой). Такая ошибка называется предвосхищением основания.

Итак, аргументы (основания) не должны быть ложными или гипотетическими суждениями. Разновидностью этого правила является требование, по которому аргументы не должны противоречить друг другу. Ведь если аргументы друг другу противоречат, то это означает, что какие-то из них ложны. Обычно такое бывает в том случае, когда аргументов приводится излишне много.

4. Истинность аргументов, или оснований должна быть установлена независимо от истинности тезиса.Нарушение этого правила ведет к тому, что тезис доказывается через аргументы, а аргументы – через тезис. При этом возникает ошибка – круг в доказательстве, или порочный круг(лат. circulus vitiosus). Например: Магомет является божьим пророком. Почему мы так считаем? Потому что он написал священную книгу – Коран, – содержание которой внушил ему Бог. Откуда мы знаем об этом? Сам Магомет так утверждает. Но вдруг он нас обманывает? Он не может нас обманывать, потому что он – божий пророк. А чем можно обосновать это утверждение? Тем, что он написал священную книгу Коран… и т.д.

5. Аргументы, или основания должны быть достаточными для доказательства тезиса, т.е. он должен вытекать из них с достоверностью. Как видим, данное правило представляет собой уже известный нам закон достаточного основания, о котором говорилось выше (см. тему 7). Наличие аргументов само по себе не означает подтверждение или опровержение тезиса. Необходимо показать, что между ним и аргументами имеется необходимая связь, т.е. что аргументы обуславливают тезис. Этой цели служит такой элемент доказательства, как демонстрация.

Когда речь шла о законе достаточного основания, было приведено несколько примеров рассуждений, в которых аргументы являлись недостаточными для доказательства тезиса. Здесь рассмотрим еще один подобный пример. «Мы видим каждодневное движение Солнца вокруг Земли, а также наблюдаем ежегодное вращение всего небесного свода вокруг нашей планеты, следовательно, она представляет собой неподвижный центр мироздания». В данном случае тезис обосновывается утверждениями о постоянно наблюдаемых фактах. Однако, видимое вполне может не соответствовать реальному, или действительному. Видимость движения Солнца и небосвода вокруг Земли – недостаточное основание для того, чтобы считать ее центром мира. Точно так же кажущаяся (наблюдаемая нами повседневно) плоская форма Земли не свидетельствует о том, что она действительно плоская; яркое ночное сияние Луны не является аргументом в пользу того, что она на самом деле излучает свет из своих недр; невидимость атомов, молекул, вирусов, бактерий и многих иных микрообъектов не говорит о том, что они не существуют.

Первые два из рассмотренных правил относятся к тезису, следующие три – к аргументам, или основаниям; что касается правил по отношению к демонстрации, то они – те же, что и правила умозаключений,которыми представлена демонстрация. Демонстрация чаще всего проходит в форме простого (категорического) силлогизма, разделительно-категорического и условно-категорического умозаключений и полной индукции. Вспомним основные ошибки, возникающие при нарушении правил этих умозаключений: учетверение терминов, нераспределенность среднего термина ни в одной из посылок, расширение большего термина, две отрицательные посылки (в простом силлогизме); подмена основания в делении, неполное деление, нестрогая дизъюнкция, скачок в делении (в разделительно-категорическом умозаключении); утверждение от следствия к основанию и отрицание от основания к следствию (в условно-категорическом умозаключении). Эти ошибки в демонстрации доказательства, как правило, объединяются общим названием – мнимое следование: их наличие в каком-либо умозаключении, которое выражает собой демонстрацию, приводит к тому, что тезис не вытекает (не следует) из аргументов, несмотря на их истинность. Например, для доказательства тезиса: Законы государства не следует соблюдать используются следующие аргументы: 1. Все нравственные заповеди следует соблюдать; 2. Законы государства не являются нравственными заповедями. Демонстрация проходит в форме простого (категорического) силлогизма:

Все нравственные заповеди следует соблюдать.

Законы государства не являются нравственными заповедями.

Законы государства не следует соблюдать.

В этом силлогизме допущена ошибка – расширение большего термина, – в результате чего, при внешней правильности и убедительности доказательства, тезис не следует из аргументов. Рассмотрим еще один пример. Для подтверждения тезиса: Не во всяком предложении начальное слово надо писать с большой буквы привлекаются аргументы: 1. Если слово является именем собственным, то его надо писать с большой буквы; 2. Не всякое предложение начинается с имени собственного. Здесь демонстрация выражается условно-категорическим умозаключением:

Если слово является именем собственным, то его надо писать с большой буквы.

Не всякое предложение начинается с имени собственного.

Не во всяком предложении начальное слово надо писать с большой буквы.

В данном умозаключении допущена ошибка – отрицание от основания к следствию, – в результате которой тезис не вытекает из аргументов, хотя рассуждение и кажется, на первый взгляд, правильным и убедительным.

Резюме: Доказательство – это совокупность приемов подтверждения или опровержения какого-либо тезиса. Доказательства бывают непосредственными и опосредованными. В структуре опосредованного доказательства выделяются тезис, аргументы (основания) и демонстрация. По цели доказательства делятся на подтверждение и опровержение, а по способу демонстрации – на прямые и косвенные. При построении доказательства надо соблюдать определенные правила по отношению к тезису, аргументам и демонстрации; нарушение хотя бы одного из них делает доказательство несостоятельным.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое доказательство? Что представляют собой непосредственные доказательства? Приведите пять примеров непосредственных доказательств. Приведите в качестве примера пять каких-либо ситуаций, в которых непосредственное доказательство тезиса невозможно.

2. Что такое опосредованные доказательства? В чем заключается их преимущество перед непосредственными доказательствами? Каково, на ваш взгляд, преимущество непосредственных доказательств перед опосредованными?

3. Какова структура опосредованного доказательства? Какую роль в доказательстве играет демонстрация? Как она связана с логическим законом достаточного основания? Приведите три примера доказательств и укажите в каждом из них все элементы структуры: тезис, аргументы (основания) и демонстрацию.

4. В чем заключается различие между прямыми и косвенными доказательствами? Приведите по два примера для прямого и косвенного доказательства.

5. Почему тезис должен быть сформулирован ясно и определенно? К каким ошибкам может привести нарушение этого правила? Что представляет собой логическая ошибка, называемая «подменой тезиса»? Какой закон логики лежит в основе правил, требующих, соответственно, ясности (определенности) тезиса и его неизменности на протяжении всего доказательства?

6. Какую роль в доказательстве играет правило, по которому аргументы должны быть истинными суждениями? Что представляют собой ошибки: «основное заблуждение» и «предвосхищение основания»? Почему истинность аргументов должна быть установлена независимо от истинности тезиса? Какая логическая ошибка возникает при нарушении этого правила?

7. Как связан закон достаточного основания с логическими правилами доказательства? Приведите пять примеров доказательств, в которых аргументы являются недостаточными для подтверждения или опровержения тезиса. Каковы правила демонстрации?

Литература

1. Гетманова А. Д. Учебник по логике. – М.: Че Ро, 2000.

2. Гусев Д. А. Логика. Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

3. Гусев Д. А. Конспект лекций с задачами. Учебное пособие для вузов. –М.: Айрис Пресс, 2005.

4. Гусев Д. А. Логика. Учебное пособие. – М.: МПСИ, 2005.

5. Гусев Д. А. Тестовые задания и занимательные задачи по логике. – М.: МПСИ, 2003.

6. Ивин А.А. Логика. Учебное пособие. – М.: Знание, 1998.

7. Ивин А.А. Практическая логика. Задачи и упражнения. – М.: Просвещение, 1996.

8. Ивин А.А. Строгий мир логики. – М., 1988.

9. Краткий словарь по логике. – М., 1991.

10. Свинцов В. И. Логика. Элементарный курс для гуманитарных специальностей. – М., 1998.