Определение искомых параметров по результатам измерений

Очень часто цель экспериментов заключается в том, чтобы из опыта найти неизвестный параметр в известной формуле.

Так, на Земле падение тел описывается формулой S = gt²/2, но величина g меняется от одного участка земной поверхности к другому и подлежит экспериментальному определению.

Радиоактивный распад подчиняется формуле

где N - количество атомов вещества в момент t, N₀ - начальное число атомов, а l - постоянная распада. Закон распада имеет один и тот же вид для всех ядер, но постоянная l у каждого из них своя и определяется экспериментально.

Растяжение тел описывается формулой

где L - длина образца, DL - его удлинение под действием силы F, S - площадь образца, E - константа (модуль упругости). Написанная формула - при небольших силах - описывает растяжение всех твердых тел, но величина модуля упругости зависит от материала, его обработки и т.д. Эта величина находится экспериментально. Пусть опыт состоит в определении модуля упругости. Экспериментатор измеряет L и S и записывает формулу в виде

Затем тело растягивают и составляют таблицу зависимости удлинения от приложенной силы. Каждое из полученных значений, заносится в таблицу и определяет свое значение Е. Эти значения, из-за погрешностей опыта, несколько отличаются друг от друга. Нередко при обработке результатов, найденные таким образом значения модуля упругости усредняют. Это плохой и математически некорректный метод.

Поясним наше утверждение.

На рисунке точками изображены результаты 11 опытов (разброс точек для наглядности увеличен). Первое из равенств соответствует прямой, проведенной из начала координат через точку 1. В самом деле, из этого равенства имеем

С точностью до постоянного для всех точек коэффициента пропорциональности L/S значение модуля упругости Е равно котангенсу угла, образованного осью абсцисс и прямой линией, проведенной из начала координат в эту точку. Второе из равенств соответствует прямой линии, проведенной через точку 2, и т.д. Усреднение величин Е, полученных во всех опытах, означает усреднение котангенсов указанных углов.

Рисунок показывает, однако, что усредняемые величины определяются из опыта с разной достоверностью. Точка 8 находится на расстоянии от наилучшей прямой (которая проведена жирной линией) не ближе, чем точка 3, но погрешность в определении угла для неё в несколько раз меньше. Обсуждаемый способ определения Е заключается, таким образом, в том, чтобы взять среднее из хороших и плохих результатов. Такая процедура, конечно, математически некорректна.

Иногда пытаются найти Е из прироста длины и силы на каждом шаге растяжения:

и т. д.

При этом возникает много вычислительной работы и получается новый ряд значений Е, которые также чаще всего усредняют. И этот способ неправилен. Пусть, для примера, опыт ставится в условиях, когда все приращения длины равны друг другу. Тогда

и т. д.

При усреднении получим

Таким образом, все найденные на опыте значения силы при усреднении сокращаются, и результат зависит только от первого и последнего опытов. Значит, при такой обработке мы на самом деле не усреднили результаты, полученные в разных опытах, а просто исключили из рассмотрения почти все полученные на опыте данные. Ясно, что такой метод нельзя признать разумным.

Математическая причина ошибок очевидна: разумно усреднять результаты только в том случае, если они являются равноточными и независимыми. В первом примере результаты обладали различной точностью, а во втором они не являются независимыми: одно и то же значение силы входит в два соседние равенства. Число примеров при желании можно было бы существенно увеличить.

Наиболее правильным и удобным методом обработки результатов является графический метод. Изобразим удлинения и силы на графике, как это и было сделано на рисунке. То есть, на этом рисунке проведена «наилучшая прямая», удовлетворяющая всем требованиям, которые обсуждались ранее. Наклон этой прямой соответствует изменению длины 5,7×10^{-4 см. при увеличении силы на 1 Н. Эта цифра может быть прямо подставлена в формулу для вычисления модуля упругости.}

При рекомендуемом методе графической обработки результатов - при проведении прямой на глаз - учитываются все точки графика. При этом точки, лежащие по его краям, оказываются более существенными, как это и должно быть. Математически этот способ эквивалентен методу «наименьших квадратов». Особым преимуществом графического метода является его простота.

Ещё одно замечание о построении таких графиков. Часто случается, что начальная точка искомой зависимости хорошо известна и лежит в начале координат.

Как бы ни была сложна зависимость тока, проходящего через проводник, от приложенного к нему напряжения, можно быть уверенным, что при отсутствии напряжения нет и тока (мы предполагаем, что в цепи не возникает термо-э.д.с., при отсутствии силы - нет удлинения, если тело не нагревать и не охлаждать, то изменение его температуры равно нулю, и т.д.).

Во всех этих случаях нулевая точка не просто известна, она является самой надежной из всех, которые используются при обработке результатов, а задача, проведения наилучшей прямой, сводится в этом случае к подбору параметра в формуле y=kx. В общем случае нужно найти параметры а и b в формуле y=a+bx.

Приведем правила для определения погрешностей, которые следует приписывать графически найденным параметрам прямой линии.

Пусть график прямой линии описывается формулой y=a+bx. Тогда, чтобы найти погрешность в определении параметра а нужно смещать прямую, параллельно самой себе, вниз, пока выше нее не окажется вдвое больше точек, чем снизу, затем следует сместить ее вверх, пока снизу не окажется вдвое больше точек, чем сверху. Если расстояние между этими прямыми равно Dа, то погрешность, определения а, равна где n - полное число точек на графике. Погрешность в определении параметра b находится аналогичным образом.