Свободные и связанные вхождения переменых в формулы

Каждый случай, когда в последовательности знаков, пред­ставляющей собой формулу А, встречается предметная пере­менная x, называется вхождением этой переменной; каждое вхождение в формулу А предметной переменной x в часть вида ∀x В или ∃ х В, называется связанным. Под­формула В формул указанного вида называется областью действия соответственно квантора общности ∀ и квантора существования ∃ с переменной x. Связанным является вхождение переменной, стоящей непосредственно за квантором, и каждое вхождение ее в область действия квантора. Всякое вхождение х в отличие от указанного, на­зывается свободным. Переменная х, имеющая связанные вхождения и формулу А, называется связанной в этой формуле; переменная, имеющая свободные вхождения в формулу А, называется свободной в этой формуле.

Обратим внимание на то, что согласно определению свободной и связанной переменной одна и та же переменная в одной и той же формуле может быть свободной и связанной. Такова, например, переменная x₁ в формуле ∀ x₁ P¹(x₁) ∨ Q²(x₁, x₂); переменная x₂

является здесь свобод­ной, но не связанной. Мы рассматриваем здесь только такие термы, в которых все переменные могут иметь лишь свобод­ные вхождения, и, значит, являются свободными переменны­ми. Формула и терм, не содержащие свободных переменных, называются соответственно замкнутой формулой и замкнутым т е р м о м (очевидно, что для рассмат­риваемых здесь термов, если терм замкнут, то он вообще не содержит переменных).

Семантику языка, как мы видели при анализе естественного языка, составляет совокупность предметных значений и смысловых содержаний его выражений. Но в данном случае, поскольку речь идет не об анализе уже имеющегося языка, а о построении — в данном случае логического формализованного языка —то семантикой называют совокупность правил приписывания значений выражениям этого языка. Точнее говоря, здесь даже не ставится задача построения какого-то определенного языка. Создается лишь некоторая схема язы­ка определенного типа, в данном случае так называемой классической логики предикатов первого порядка. Этот тип языка отличается от языков других типов, даже языков с тем же синтаксисом (например, языка интуиционистской логики предикатов, определенной системы релевантной логики) своей семантикой. Приписывание значений отдельным выражениям языка, составляющим дескриптивным терминам, употребляемым при построении формул, осуществляет­ся лишь в составе тех илииных формул и при этом различно от случая к случаю в зависимости от характера решаемых логических задач, (например, при переводе каких то высказываний с естественного языка на данный формализован­ный, при анализе логических отношений между формулами данного языка, при аксиоматизации некоторых теорий, а именно при формулировке их аксиом в языке данного типа). Совокупность всех правил приписывания значений выраже­ниям языка разбивается на следующие три группы (I,II,III).

I. Правила определения (задания) возможных значений предметных переменных и правила приписывания предмет­ных значений дескриптивным постоянным в составе рас­сматриваемых в том или ином случае формул—интерпрета­ция выражений языка. II. Правила приписывания значений свободным переменным в составе тех или иных рассматри­ваемых формулу. III. Правила приписывания истинностных значений интерпретированным формулам, не содержащим свободных переменных. I. Интерпретация состоит, во-первых, в выборе некоторо­го непустого множества D индивидов, предметов того или иного типа, к которым могут относиться образуемые из тех или иных формул языка высказывания. Индивиды — любые предметы в широком смысле этого слова, структура которых не учитывается, и которые можно отличать друг от друга. В качестве такой области D можно взять множество людей, растений, городов, чисел и т. д.; возможно, также объедине­ние в одной области множеств различных предметов, напри­мер, людей, городов, домов (положим, для выражения выска­зываний о местах жительства людей). Но при этом все различные предметы, рассматриваются именно как индивиды. Область D — это область возможных значений предметных переменных символы предметных переменных х, у, z, стано­вятся именно переменными лишь при указании областиихвозможных значений. Предполагается, что на области D определено некоторое множество свойств, отношений и характеристик предметно-функционального типа (то есть возможных значений предикаторов и предметных функторов).

Второй момент интерпретации языка состоит в задании некоторой функции j

(интерпретационная функция) приписывания значений дескриптивным постоянным (предметным константам, предикаторам, предметным функторам опять-таки в составе рассматриваемых формул). Задание j

в каж­дом конкретном случае представляет собой просто указание на то, какие значения должны быть приписаны упомянутым исходным символам языка в составе рассматриваемых формул. При этом предметным константам (простые постоянные термы) приписываются в качестве предметных значений определенные предметы из заданной области D. Предикатно­му (n-местному) символу P¸ⁿ при n =1 в качестве значения приписываются некоторые свойства а при n > 1 — n-местное отношение (между предметами В). Например, если областьD есть множество целых положительных чисел, то предикат­ному символу P¹₁ можно приписать в качестве значения свойство «четно», а предикатору P²₁ отношение «больше» или «меньше». Предметному функтору fⁿ₁ в качестве пред­метного значения функция j

приписывает какую-нибудь n-местную предметную функцию, определенную на обла­сти D. Например, для области чисел таковыми могут быть си­нус, косинус (одноместные функции), сумма, произведение (двухместные функции), для области людей — одноместные (возраст, рост), для области материальных тел — объем, удельный вес.

Значения сложных термов, каковыми являются также предметы из области D, и приписывание которых составляет их интерпретацию, вычисляются в зависимости от припи­санных уже значений их простым составляющим — пред­метным константам, предметным функторам, а также и воз­можным предметным переменным, значения которых при­писываются по правилам II. Вычисление происходит в соот­ветствии с правилами построения сложного терма. Сложные термы образуются, как мы видели, с применением предмет­ных функторов и строятся индуктивно. Значение такого тер­ма вычисляется последовательно в соответствии с порядком его построения.

Пример. Имеем терм f²₁(f²₁(a₁ , a₂), f²₂(a₁, a₃)).

Пусть область D — целые положительные числа, a₁ есть число 3, a₂ =4, a₃ = 5, f²₁ — сумма, f²₂ — произведение.

Тогда

f²₁(a₁ , a₂)=7;

f²₂(a₁, a₃)=15;

f²₁(f²₁(a₁ , a₂), f²₂(a₁, a₃))=22.

II. Свободным переменным в той или иной формуле (а тем самым и в составе термов этой формулы) в качестве значений приписывают, также как и постоянным термам, предметы из области D. Такие приписывания осуществляют­ся когда мы хотим получить из интерпретированной форму­лы со свободными переменными высказывание нашего язы­ка. Приписывание осуществляют заменой каждого вхожде­ния некоторой свободной переменной какой-либо предмет­ной константой с одновременной интерпретацией таковой, если она еще не была интерпретирована в формуле.

Будем говорить, что при осуществлении этих приписыва­ний в добавление к уже имеющейся интерпретации форму­лы, формула оказывается полностью интерпретированной.

Однако важно заметить, что формулы со свободными пе­ременными нужны не только для образования высказываний из них. Они представляют собой особые высказывательные формы, называемые предикатами. Это сложные знаковые формы возможных свойств предметов заданной области и возможных отношений среди этих предметов. По типу их предметных значений они должны быть отнесены к катего­рии предакаторов. Можно назвать их сложными предикаторами (в отличие от простых, указанных среди исходных сим­волов). Надо отметить, что эти формы не выделяются и даже не замечаются в естественных языках. Они играют, однако, решающую роль в теории понятия. Имея тот или иной предикат, можно ставить вопрос, для каких пред­метов, которые могут представлять свободные переменные, этот предикат выполняется или не выполняется. В таком слу­чае мы просто указываем предметы для соответствующих переменных (не осуществляя указанных подстановок пред­метных констант вместо них). Например, можно сказать, что предикат «(Р²(x, a₁) > ∃yQ²(x, y))», — выражающий свойство какого-то числа х из области натуральных чисел, состоящее в том, что «если это число больше 5 (знаками отношения «больше» и «5» является соответственно Р² и a₁ то оно де­лится без остатка (Q²) на некоторое число у», выполняется для чисел 6, 8, 9 и т. д., но не выполняется для 7, 11 и др.

III. Приписывание истинностных значений полностью интерпретированным формулам.

Напомним, что полностью интерпретированная форму­ла — это формула, в которой осуществлена интерпретация дескриптивных постоянных и приписано значение всем сво­бодным переменным, если таковые имеются в ней. Каждая такая формула представляет собой определенное высказыва­ние — с определенным смыслом и истинностным значени­ем — но лишь при условии, если нам известны значения встречающихся в ней — явным или неявным образом — ло­гических констант, (которые и определяются рассматривае­мыми правилами III). Явным образом указываются — в сложных формулах — логические константы, перечислен­ные в списке исходных символов. Простые атомарные фор­мулы видов Pⁿ (t₁, …,tn)

по-видимому, не содержат логиче­ских констант. Однако, неявным образом здесь присутствует логическое отношение принадлежности свойства Р некото­рому предмету t при n= 1 или о наличии отношения Pⁿ меж­ду предметами t₁, …,tn из области D.

Определение значений всех логических терминов, как явно обозначенных, так и неявно содержащихся в форму­лах, осуществляется как раз посредством правил приписыва­ния истинностных значений полностью интерпретирован­ным формулам нашего языка (строго говоря, мы имеем здесь так называемое неявное определение логических констант, но они достаточны для понимания того, какой именно смысл они придают нашим высказываниям).

Правила эти таковы. Значение простого (атомарного) вы­сказывания Pⁿ (t₁, …,tn), n >= 1, определяется в зависимости от заданных значений термов t₁, …,tn и предикатора Pⁿ . Оно за­висит от характера предметов данной предметной области. Положим, имеем формулу: P²(f¹₁ (a₁), f¹₁(a₂)). Предположим, что согласно заданной интерпретации D — множество лю­дей: Р² означает «больше»: f¹₁ «возраст»: a₁ — Петров, a₂ — Сидоров. Вся формула представляет собой высказывание «Возраст Петрова больше, чем возраст Сидорова». Высказывание истинно или ложно в зависимости от того, имеет или не имеет место данное отношение между возрастами Петрова и Сидорова.

Заметим, что в части лексики мы перевели здесь высказыва­ние, полученное из определенной формулы рассматриваемого язы­ка (ЯКЛП), по существу на обычный естественный русский язык. В самом ЯКЛП знаковой формой его является упомянутая формула. Подобные переводы обычно напрашиваются сами собой в силу того, что задание значений отдельных терминов — составляющих формулу — осуществляется посредством выражений естественно­го языка. Мы говорим «значение Р² — больше, a₁ и a₂ — соответ­ственно Сидоров и Петров» и т. п.). Это значит, что приписывание предметных значений выражениям описываемого языка осуще­ствляется методом перевода их в тот или иной естественный язык. Может показаться, что при упомянутых переводах высказываний данного языка на естественный теряется та самая точность их вы­ражений, ради достижения которой как раз и строятся формализо­ванные языки. Однако точность здесь по сравнению с естествен­ными языками достигается не за счет более точною употребления отдельных терминов, — достаточная точность их уже должна быть обеспечена при осуществлении интерпретации выражений форма­лизованного языка — а за счет определенных, стандартных спосо­бов построения высказываний и их логических форм. И она имен­но сохраняется, или точнее сказать, должна сохраняться при ука­занных переводах.

Для сложных формул имеем, предполагая, что все составляю­щие их формулы полностью интерпретированы.

Формула вида А & В имеет значение «истина» — при данной интерпретации и приписывании значений свободным перемен­ным — е. т. е. А имеет значение И и В имеет значение И.

Формула A v В — истина е. т. е. значение А равно И или значе­ние В равно И.

Формуле вида А ⊃ В приписывается значение И е. т. е. А имеет значение Л или Вимеет значение И.

Значением формул вида А является И е.т.е. значение А есть Л.

Формула вида ∀х А(х) имеет значение «истина» е. т. е. для вся­кого предмета а(i) из D, А(а(i)) — истина (А(а(i)) — результат заме­щения всех свободных вхожденийх в А(х) константой а(i)¹).

Формула вида ∃ х А(х) имеет значение истина е. т. е. существует предмет а в области D такой, что истинна формула A(a(i)).

Если значение некоторой формулы не является И, то она имеет значение Л, но никакая формула не имеет одновременно значения И и Л.

Как уже говорилось, правила приписывания истинностных зна­чений полностью интерпретированным формулам неявным обра­зом определяют также значения логических констант «&», «v», «⊃ », «» и кванторов ∀ и ∃ и вместе с тем и смыслы высказыва­ний, образованных посредством соответствующих констант. На­пример, высказывания вида ∀х А(х) , ∃ х А(х) ,относящиеся к неко­торой области индивидов D, мы должны понимать, соответственно, как «для всякого предмета х из D верно А(х}» и «существует пред­мет х в D такой, что верно А(х)».Нетрудно видеть, что &, v, ⊃ , , представляют собой здесь логические связки — знаки функций ис­тинности, — определенные ранее в разделе «Логика высказыва­ний», но теперь применительно к формулам ЯЛП.

Предикатом называют высказывательную функцию, определенную на множестве наборов значений объектных переменных. Семантика этой функции определяется предикатным символом, за которым в скобках следуют аргументы (объектные переменные и константы). Эта функция может принимать только два значения: Истина или Ложь, называемые истинностными значениями. Если предикат имеет только один аргумент, то предикатный символ указывает на определенное свойство объекта, а если аргументов несколько – на наличие отношения между объектами, представленными аргументами. Отношения между объектами среды, также как и в логике высказываний, представляются в виде предложений (формул), состоящих из переменных, констант, логических связок, скобок, а также функций, предикатов и кванторов.

Недостатком логики высказываний является ее многословность –даже для описания простых задач требуется значительное количество логических переменных и формул. Представление каждого отдельного свойства для каждого конкретного объекта требует отдельной логической

переменной, что очень неудобно. Также требуется использовать отдельные переменные для описания всех необходимых комбинаций взаимосвязей между понятиями. С другой стороны, в исчислении высказываний каждый атомарный (элементарный) символ обозначает выражение некоторой произвольной сложности. При этом не существует возможности получить доступ к составным частям этого выражения. Например, фраза «курс рубля имеет тенденцию к росту», обозначенная через логическую переменную r , говорит только о росте курса рубля и не может быть использована в другом контексте. Логика предикатов позволяет решить эти проблемы

представления знаний.

Главная идея логики предикатов заключается во взаимнооднозначном сопоставлении каждого уникального объекта с индивидуальной объектной константой, обозначаемой именем объекта, а

класс однотипных объектов – с объектной переменной, значением которой являются объектные константы. Например, выражение, приведенное выше, можно представить на языке логики предикатов так: изменение_курса(Рубль, Растет). Очевидно, такое представление гораздо

более наглядно и гибко.

Идея этой стратегии заключается в опровержении целевой формулы. То есть, если требуется доказать истинность α, то в базу знаний добавляется ее отрицание α. Далее на основе обратного вывода, начиная с формулы α, предпринимается попытка достичь противоречия, то есть

вывод пары одновременно истинных литералов β и β, что невозможно, так как противоречии здравому смыслу. Такая пара носит название пустой резольвенты, так как в результате применения правила резолюций приводит к пустому множеству. Таким образом, делается опровержение истинности α, из чего следует истинность α или просто α. Если в результате рассмотрения всех возможных путей вывода противоречия достичь не удается, то считается, что целевая формула является ложной или, иначе говоря, не выводимой. В основе предложенной Робинсоном стратегии, как это очевидно из названия, лежит метод резолюций. Правило резолюции в логике высказываний имеет следующий вид

α Ú β, β Ú γ ├ α Ú γ.

В логике предикатов оно выглядит также, но вместо логических переменных α, β, γ в правило входят формулы логики предикатов. Но для применения этого правила, необходимо, чтобы все предложения в базе знаний имели дизъюнктивную форму. Формулы, представленные в виде

дизъюнкции литералов называют клаузальными формулами или клаузами (clause). Таким образом, использование правила резолюции требует клаузальной формы представления знаний, что требует подготовки БЗ на начальном этапе. Преимуществом же является то, что в результате

применения этого правила форма представления знаний не меняется – выводятся также дизъюнкции. Следовательно, весь вывод может быть осуществлен только на основе правила резолюций. Поэтому нет необходимости осуществлять поиск подходящего правила вывода, а сам

вывод превращается в итеративную процедуру выполнения однотипных шагов.

Билет №46. Выразите с помощью предикатов следующие утверждения: «Каждый студент использует какой-нибудь компьютер, и, по крайней мере, один компьютер используется каждым студентом», «Каждый год