Решение силлогизма с помощью кругов Эйлера

Мы уже изображали понятия и суждения кругами Эйлера. Таким же образом мы будем изображать силлогизм.

Начнем с первой посылки:

Все растаманы, пришедшие на праздник, сильно смеялись.

Рисуем схему:

Из схемы видно, что заключение верно:

Все растаманы, пришедшие на праздник, остались очень довольны.

Теперь давайте рассмотрим неверный силлогизм.

Все голуби живут на крышах

Карлсон живет на крыше

Карлсон - голубь

Так так карлсон может быть и в голубях, и за кругом, то ВЫВОД СДЕЛАТЬ НЕЛЬЗЯ

Изобразим первую посылку: Все голуби живут на крышах

15) Силлогистическое умозаключение состоит из трех суждений: 1) общего положения, именуемого большой посылкой; 2) связанного с ним суждения, ведущего к его применению под названием малой посылки; 3) заключения. Иногда одна из посылок или заключение не указываются. Этот сокращенный силлогизм называется энтимемой. В переводе с греческого это слово означает "в уме", "в мыслях", потому что в ней остается невыраженной, остается в мыслях часть всего рассуждения, то есть одна из посылок или заключение не высказываются прямо, а лишь подразумеваются. Используя в практике мышления энтимемы, мы получаем заключения из посылок, основываясь на их содержании. Например: «Наше правительство не умеет работать, потому что все демократические правительства не умеют работать» (опущена малая посылка: наше правительство -- демократическое). Так как в энтимемах воспроизводится лишь часть силлогизма, то поэтому в них только два суждения, но, одно из понятий повторяется в обоих, так что терминов все равно три, как это и должно быть в силлогизме. Когда нам надо проверить обоснованность и последовательность рассуждений, построенных в форме энтимемы, то надо восстанавливать их невысказанные составные части. Для оценки правильности рассуждения в энтимеме следует восстановить её полный силлогизм. Чтобы восстановить энтимему в полный силлогизм, следует руководствоваться следующими правилами: 1) найти заключение и так его сформулировать, чтобы больший и меньший термины были четко выражены; 2) если опущена одна из посылок, установить, какая из них (большая или меньшая) имеется. Это делается путем проверки, какой из крайних терминов содержится в этом суждении; 3) зная, какая из посылок опущена, а также зная средний термин (он имеется в той посылке, которая дана), определить оба термина недостающей посылки.Поскольку обычно мы рассуждаем, используя энтимемы, мы часто допускаем ошибки в собственных рассуждениях и не замечаем ошибок в рассуждениях других: пропуск посылки создает иллюзию очевидности. Допустим, перед нами такое высказывание: "Некоторые картины художников - пейзажи, а все пейзажи изображают природу". Заключения в этих словах нет, поэтому данные предложения могут быть только посылками, в которых повторяющийся дважды термин "пейзаж" играет роль среднего термина, связывающего понятия "картины художников" и "изображение природы". Затем не так уж сложно понять, что выводом отсюда будет либо: "Некоторые картины художников изображают природу" либо: "Некоторые изображения природы - картины художников". Можно при желании проверить это или с помощью круговых схем или, составив из таких предложений полный силлогизм (в данном случае их может быть два варианта), записать их в символической форме и проверить по таблице силлогизмов, есть там такие или нет. Поэтому при построении и анализе аргументации рекомендуется мысленно восстанавливать пропущенные элементы рассуждения и оценивать их истинность и достоверность. При переформулировании предложений для восстановления силлогизма надо быть внимательным, чтобы не изменить логическую форму мысли. Так, высказывание "Данная вещь не была возвращена, а товар ненадлежащего качества может быть возвращен с истребованием назад его цены" на первый взгляд представляет собой энтимему с опущенным заключением, которое, как кажется, должно звучать так: "Данная вещь не является товаром ненадлежащего качества". На самом деле для образования силлогизма надо, чтобы первая часть этой мысли звучала иначе: "Данная вещь не может быть возвращена". Только тогда обе половинки высказывания могут рассматриваться как две посылки с одним и тем же средним термином, из которых вытекает указанный вывод. Слово "может" имеет здесь принципиальное значение, потому что превращает суждение в модальное.Поэтому оно должно входить в состав среднего термина обеих посылок. В противном случае силлогизм не образуется. Описанный способ восстановления невыраженных явно частей силлогизма наиболее предпочтителен при анализе запутанных мыслей. Он позволяет: во-первых, не вникать в смысл использованных понятий до самого последнего момента, когда символическая запись заменяется на обычную; можно даже восстанавливать энтимемы, образованные из совершенно незнакомых для вас по содержанию высказываний: во-вторых, при этом способе легко отыскиваются все возможные варианты невысказанных посылок, когда их может быть несколько.

16) Имя—это выражение языка, обозначающее отдельный предмет, совокупность сходных предметов, свойства, отношения. Выражение языка становится именем, если оно выступает в роли подлежащего или именной части сказуемого в простом предложении: «S есть P» (S — подлежащее, Р— сказуемое). Высказывание — грамматически правильное предложение, которое может быть истинным или ложным. В логике само понятие высказывания — ключевое, но не допускает универсального определения для разных ее разделов. Но любое высказывание описывает некоторую ситуацию и может быть истинным или ложным. Высказывание истинно, если соответствует реальной ситуации, и ложно, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» представляют собой истинные значения высказывания. Служебные слова «и», «либо, либо», «если, то» называют логическими связками. Сложные высказывания можно строить с помощью логических связок. Так, из высказываний «светит солнце» и «идет дождь» можно образовать сложные высказывания типа «если светит солнце, то идет дождь», «светит солнце и идет дождь» и т.п. Приведем самые важные способы построения сложных высказываний. Отрицанием называется такая логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается высказывание с противоположным логическим значением. Обозначим высказывания буквами A. В. С. .... отрицание высказывания — символом ~. Тогда если высказывание А истинно, то его отрицание ~А ложно, и если А ложно, его отрицание ~А истинно. Например, отрицанием высказывания "три является четным числом» служит высказывание -три не является четным числом». Сложное высказывание, полученное с помощью двух (или более) высказывании при помощи слова «и», называется конъюнкцией. Заменяя слово «и» на «или» в предыдущем определении, получаем дизъюнкцию высказываний. Высказывания, получаемые описанными способами, представляют собой предмет изучения логики высказываний. Она предполагает, что любое высказывание имеет свое логическое значение, зависящее от значений простых высказываний, входящих в него, а также и от характера их связи. Предикат— это языковое выражение, обозначающее некоторое свойство или отношение. Предикат, указывающий на свойство предмета, например «быть круглым», называется одноместным. Двухместным, трехместным называется предикат, обозначающий отношение, в зависимости от числа его членов. Например, «кусает» — двухместный предикат, «находится посередине" — трехместный. Предикатами называются функции, значениями которых служат высказывания. Данные функции преврашаются в высказывания после подстановки имен вместо переменных. Табличное построение предполагает определение логических отношений между формулами. Существенное значение для анализа рассуждений имеет отношение логического следования (символ├), которое определяется следующим образом. Из Ai, ., An как посылок логически следует В как заключение, если при истинности каждого Ai, ., Ап истинным является и В. В языке-объекте отношение следования адекватно выражается импликацией. Значит, если A1, ., Аn ,├ В, то формула, представляющая собой импликацию вида (A1 ^ А2 ^ . ^ Аn) → В, должна быть тождественно истинной. Табличное построение логики высказываний позволяет определять логические отношения между высказывания и проверять правильность умозаключений, используя приведенный выше критерий. В качестве примера предлагаем провести табличным способом проверку правильности рассуждения формы (p→q) ├ (ˉ|q→ˉ|p). Заменив знак логического следования между посылкой и заключением на импликацию и построив таблицу для полученной формулы, видим, что она является тождественно истинной. Значит, рассуждение является правильным. Если в рассуждении содержится более трех переменных, то строить полную таблицу для проверки его правильности затруднительно и тогда используют сокращенный метод проверки, рассуждая от противного. Поскольку при правильном рассуждении формула вида (A1 ^ . ^ Аn) → В должна быть тождественно истинной, посмотрим, не может ли она при каком-то наборе значений переменных оказаться ложной. Предположим, что может. Если из этого предположения получим какое-нибудь противоречие, то предположение неверно (и проверяемое рассуждение правильно), а если из этого предположения не получим противоречия, то увидим набор значений переменных, при котором формула ложна, т. е. тот набор, который опровергает проверяемое рассуждение. Логика высказываний как исчисление — это прежде всего так называемая система натурального вывода (СНВ). Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которых является какой-нибудь элементарной формой умозаключения. Переходя по этим правилам от посылок или некоторых допущений к новым формулам, постепенно доходят до заключения. Вывод из посылок осуществлен, если удалось элиминировать все сделанные допущения. Таким образом, под выводом формулы В (заключения) из формул A1 – An (посылок) имеется в виду последовательность формул, каждая из которых является либо посылкой, либо допущением, либо получается по правилам вывода из предыдущих и последняя формула этой последовательности есть формула В, а все допущения при этом элиминированы. Логика высказываний является теорией тех логических связей высказываний, которые не зависят от внутреннего строения (структуры) простых высказываний. В логике высказываний простые высказывания берутся как неделимые далее атомы, из которых образуются молекулы — сложные высказывания. Логические теории, дающие более тонкий анализ и рассматривающие строение не только сложных, но и простых высказываний, являются надстройкой над логикой высказываний. В этом смысле логика высказываний лежит в фундаменте всей (дедуктивной) логики.Логика высказываний исходит из следующих двух допущений: 1) всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (принцип двузначности); 2) истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи. Конъюнкция отличается от обычного «и» в двух важных моментах. Прежде всего, конъюнкция учитывает только истинностные значения простых высказываний и не учитывает смысловые связи между ними. Поэтому конъюнкция, в отличие от обычного «и», может соединять высказывания, между которыми нет никакой содержательной связи: «В огороде растет бузина и в Киеве живет дядька», «Дважды два четыре и трава зеленая» и т.п. В частности, второе из этих высказываний — по определению конъюнкции — является истинным. Далее, для конъюнкции безразличен порядок, в каком берутся соединяемые ею высказывания. Для обычного «и» это не всегда так: сказать «Он сломал ногу и попал в больницу» не то же самое, что сказать «Он попал в больницу и сломал ногу». Конъюнкция истинна, когда оба входящих в нее высказывания истинны. Или, что то же самое: конъюнкция ложна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний ложно. Дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно. Или: дизъюнкция ложна, только если оба входящих в нее высказывания ложны. Строгая дизъюнкция истинна, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а второе ложно. Строгая дизъюнкция ложна, когда оба входящих в нее высказывания истинны или оба они ложны. Импликация истинна в трех случаях: 1) когда ее основание и следствие истинны; 2) когда основание ложно, а следствие истинно; 3) когда и основание, и следствие ложны. Импликация ложна только в одном случае: когда основание истинно, а следствие ложно.Истинными являются, например, высказывания: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четырем», «Если Волга —озеро, то Токио — большой город» и т.п. Если истинно следствие условного высказывания, то, независимо от того, каким является его основание, это высказывание также истинно. С другой стороны, условное высказывание истинно всякий раз, когда его основание ложно. При этом опять-таки безразлично, истинно следствие или нет и связано оно по содержанию с основанием или нет. К истинным относятся, например, высказывания: «Если Солнце — куб, то Земля — треугольник», «Если дважды два равно пяти, то Токио — маленький город» и т.п. Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значения различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые фор­мулы. Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истины при любых— истинных или ложных—значениях составляющих их пропозициональ­ных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики. Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение ложности при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональных переменных. Выполненными называют формулы, которые могут принимать значения истинности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозициональных переменных.

17) Таблица истинности — это таблица, задающая логическую функцию. Под "логической функцией" в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения "истина" либо "ложь" ( либо , либо ). Табличное задание функций встречается не только в логике, но для логических функций таблицы оказались особенно удобными, и с начала XX века за ними закрепилось это специальное название. Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре и в аналогичных системах многозначной логики. Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания. Составные высказывания в алгебре логики записываются с помощью логических выражений. Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности.

Алгоритм построения таблицы истинности: 1. Подсчитать количество переменных n в логическом выражении. 2. Определить число строк в таблице, которое равно m = 2n. 3. Подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице: количество переменных + количество операций = количество столбцов. 4. Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов. 5. Заполнить стобцы входных переменных наборами значений. 6. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью. Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуют перечислять следующим образом:

а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями (ложь), а нижнюю единицами (истина); б) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц, начиная с группы нулей; в) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.

Истинностное значение. Оценкой пропозициональных переменных называется функция из множества всех пропозициональных переменных в множество {0, 1} (т.е. множество истинностных значений). Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если дана оценка (т.е. определены истинностные значения входящих в неё переменных). Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок. Тождественно истинные формулы (тавтологии). Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных.

КАК СЧИТАТЬ БАЙДУ:

Еще один вид высказываний получил название тождественно-ложных или противоречий.

Проиллюстрируем данное определение, построив полную таблицу истинности высказывания .

Цифры над операторами указывают порядок определения значения истинности

18) Метод полных таблиц истинности достаточно громоздкий (например, при четырех различных пропозициональных буквах, входящих в сложное высказывание, в таблице будет 16 строк, при пяти - 32 и т. д.), механичность расчетной работы также достаточно утомительна. Все это заставляет искать упрощения этого метода и повышения его эффективности.В большинстве случаев нам необходимо дать ответ только на один вопрос - является данное высказывание общезначимым или нет. В этих целях предлагается метод сокращенных таблиц.В качестве начального выступает положение, что искомое высказывание не является общезначимым. Исходя из такого положения, на основании таблиц истинности определяют значения истинности пропозициональных букв (простых высказываний). Если обнаруживают, что одна и та же буква получает в результате противоположные значения истинности, это будет означать, что исходное предположение неверно и, следовательно, искомое высказывание оказывается общезначимым.

Возьмем сложный пример и разберем ход рассуждений по шагам:

1. Предположим, что высказывание не является общезначимым, что обозначается символом «0» под главным знаком высказывания:

2. Такое высказывание представляет собой импликацию, а импликация ложна только в одном случае - когда антецедент - истинный, а консеквент - ложный, то есть

3. В данном случае рассмотрение антецедента затруднено, т. к. это также импликация со значением «1» (что может быть в трех случаях), поэтому мы обратимся к консеквенту. Повторяем рассуждение второго шага:

4. Аналогично рассмотрим подформулу консеквента:

Итак, мы уже определили значения истинности , и ( - истинно, - истинно и - ложно).

5. Подставим одно из полученных значений (пусть ), продолжая рассмотрение антецедента исходного высказывания:

6. Поскольку есть истинная импликация, а в ней - ложно, то не может быть истинным, то есть:

7. Подставим значение , известное из ее второго вхождения в исходную формулу, в ее первое вхождение:

И рассмотрим подформулу . Известно, что она ложна, а - истинно. По таблице истинности легко определить, что в данном случае должно быть ложно:

В результате мы получили: принимает значение как «истинно», так и «ложно», что противоречит определению. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно и данное высказывание является общезначимым. Описание процедуры занимает больше места, чем ее реальное осуществление. Объединим описание и получим:

Следует сказать, что общезначимые высказывания играют в логике высказываний особую роль, так как представляют собой законы логики высказываний.

19) Натуральное исчисление

исчисление естественного вывода, натуральная дедукция, общее название логических исчислений, введённых и изученных в 1934 немецким логиком Г. Генценом (и независимо польским логиком С. Яськовским) с целью формализации процесса логического вывода, как можно более точно воспроизводящей структуру обычных содержательных рассуждений, а также для решения ряда важных задач метаматематики (См. Метаматематика) (в том числе для доказательства непротиворечивости (См.Непротиворечивость) арифметики натуральных чисел). Основным объектом Н. и. можно считать отношение (формальной) выводимости, обозначаемое символом ⊢, обладающее, по определению, свойством А — произвольное высказывание, выраженное формулой Н. и.) и удовлетворяющее следующим «структурным» правилам вывода (См. Правило вывода)(здесь и в дальнейшем в записи правил под горизонтальной чертой помещается выводимость, получаемая в предположении, что дана выводимость, записанная над чертой; прописные латинские буквы обозначают произвольные формулы, а греческие буквы — последовательности формул):

(разрешение усилить посылки), (разрешение опускать одну из совпадающих посылок), (разрешение переставлять посылки). В различных формулировках Н. и. вид и число структурных правил различны; например, понимая под Д и Г не последовательности, а просто конечные множества (неупорядоченные) формул, можно обойтись без правил перестановки посылок; обычное соглашение, что каждый элемент входит в него лишь один раз, делает ненужным правило сокращения повторяющихся посылок, и т.п. Кроме того, в Н. и. входят логические правила вывода, регламентирующие процедуру введения и удаления (устранения, исключения) символов логических операций и описывающие (как и аксиомы «обычных» логических исчислений; см., например, Логика высказываний) свойства этих операций.

Вот правила классического Н. и. высказываний:

Введение

(так называемая «теорема о дедукции», см. Дедукция)

(reductio ad absurdum, или приведение к нелепости, см. Доказательство от противного)Удаление

(так называемое доказательство разбором случаев)

(modus ponens, или схема заключения)

(так называемый закон снятия двойного отрицания).

20)В настоящее врЭвристика (от др.-греч. ευρίσκω (heuristiko), лат. Evrica — «отыскиваю», «открываю») — отрасль знания, изучающая творческое, неосознанное мышление человека.
Эвристика связана с психологией, физиологией высшей нервной деятельности, кибернетикой и другими науками, но сама как наука ещё полностью не сформировалась.

Разработано и эффективно используется несколько десятков эвристических методов. Универсальных среди них нет, и в каждой конкретной ситуации рекомендуют пробовать применять ряд методов, поскольку основное их предназначение заключается в активизации творческой деятельности. Это достигается следующими мерами:

§ преодоление психологической инерции, обусловленной привычными образом мышления и типовыми методами решения задач определенного класса. Замечено, что около 80 % нововведений вначале специалистами отрицается как нереальные. Инерцию развивают и усиливают: рецептурное обучение и проектирование по аналогии; подсознательная вера в то, что каждая вещь и явление служат строго определенной цели; (техническая) терминология. Ф.Энгельс писал: «В науке каждая новая точка зрения влечет за собою революцию в технических терминах»; мобилизация подсознания. Человек осознает только те процессы, которые протекают в коре головного мозга, содержащей около 10 % нервных клеток. Остальная часть клеток относится к подсознанию. Но обе эти части мозга связаны между собой, что и можно использовать как резерв человеческих возможностей. Однако следует быть осторожным, так как замечено, что длительное активно-принудительное задействование подсознания приводит к психическим отклонениям; расширение перспектив видения, чему препятствует чрезмерная специализация образования и узкопрактический подход. Необходимо применение разнообразных методов, расширение области поиска новых идей и увеличение их количества.

Эвристики натурального исчисления высказываний Построение выводов и доказательств является творческой задачей, например, при поиске посылок в доказательстве при условии, что хотя в качестве посылок можно брать любые формулы, но в ходе вывода все они должны быть исключены. Выбор нужных для вывода посылок может быть случайным и иметь характерпростого перебора различных возможностей. Во избежание последнего в логике были выработаны и применяются особые методологические приёмы эвристики, позволяющие предельно сократить число переборов. Натуральное исчисление высказываний опирается на три основных эвристики.Первая эвристика применяется тогда, когда являющаяся целью вывода формула импликативна; в таком случае антецедент этой формулы берётся вкачестве дополнительной посылки, а целью выведения становится консеквент формулы. Вторая эвристика применяется после исчерпания возможностей первой, ко- гда целью вывода не является импликативная формула; в таком случае в качест- ве дополнительной посылки берётся отрицание этой формулы, а целью выводастановится получение в ходе рассуждения противоречия. Если это удаётся сделать, то, применяя правило введения отрицания, можно получить в выводе формулу отрицания дополнительной посылки, а используя правило исключения отрицания, получить итоговую формулу. Третья эвристика применяется после исчерпания возможностей первой и второй, когда в выводе имеется дизъюнктивная формула, а целью вывода остаётся получение противоречия.

Рассмотрим три основных типа эвристики: подобия, наличия и якоря.

Эвристика подобияЭта эвристика ответственна за склонность людей на основании ограниченного опыта судить о более сложных событиях. Чтобы лучше понять эвристику подобия, стоит немного углубиться в тему и использовать для этого базовую статистику, в частности вспомнить понятия генеральной совокупности и выборки. Например, в мешке находится 1 000 шаров разного цвета. Вы можете выбрать из них любое количество. При этом 1 000 шаров — это генеральная совокупность, а некоторая их часть — это выборка.Вам известно, что, только рассмотрев все шары, узнаете точное число шаров каждого цвета. Но если вы выберете случайным образом 100 шаров (сделаете выборку из 100 шаров), то можно предположить, что соотношение шаров разного цвета будет примерно таким же, как в случае с 1 000 шарами. Поскольку проверить 100 шаров проще, чем 1 000, вы, скорее всего, так и сделаете, поскольку подспудно убеждены в том, что результаты выборки из 100 шаров примерно соответствуют ожидаемым результатам анализа всей генеральной совокупности, состоящей из 1 000 шаров.В жизни процесс воздействия эвристики подобия на наши решения не намного сложнее, чем в примере с шарами: анализ всех возможных альтернатив (генеральной совокупности) мы подменяем альтернативами (выборками), которые успевает проанализировать наш мозг.

Эвристика наличия

Эта эвристика более очевидная, чем первая. Эвристика наличия проявляется в том, что люди оценивают вероятность наступления некоего события на основе сохранившейся в памяти яркой и/или недавней информации типа рекламы, истории о чьей-то болезни и т. д.Когда здоровых людей спрашивают, что предпочтительнее: смерть или тяжелейшее и мучительное лечение в случае заболевания раком, они отвечают, что выбрали бы смерть. Но люди, уже страдающие этим заболеванием, предпочитают лечение. Почему же здоровые люди так неправильно на него реагируют? Одна из причин в том, что перед экспериментом им описывают тяжелейшие последствия лечения и мучения, которые они причиняют больным. Тяжкое впечатление от этих описаний заслоняет все остальные факторы. Первоначальная реакция на острую ситуацию, когда все другое отступает на задний план, становится неважным, как раз и является проявлением эвристики наличия —наличия острого впечатления, затуманивающего мышление.

Эвристика якоря

Жизненный опыт дает нам базу для сравнения, на основании которой мы оцениваем последующие события и под которую подстраиваем будущее понимание мира. Опыт, как якорь, приковывает нас к привычной сетке координат.Вы когда-нибудь обращали внимание, что автодилеры (да и продавцы на рынках) сразу устанавливают завышенные цены? Они используют этот прием, чтобы эмоционально «привязать» вас к более высокой начальной точке сравнения. А бывали у вас случаи, когда в магазине вы видели какой-то сверхдорогой товар, который, совершенно очевидно, вряд ли кто-нибудь купит? Оказывается, продавцы используют такой прием, чтобы обычные покупатели тратились на более дорогие вещи, чем планировали: видя сверхдорогой товар, они подсознательно оправдывают свою покупку.Эти приемы, используемые в торговле, базируются на эвристике якоря. Она проявляется в том, что люди исходят из неких первоначальных оценок и подходов, которые становятся базой для оценки новых ситуаций.

21) ТЕОРИЯ В ЛОГИКЕ представляет собой логически связную систему предложений. В качестве логической связи используются процедуры дедукции, формализующие отношение выводимости. В зависимости от степени проясненности (выявленности) дедуктивных связей различают несколько типов теорий.

К первому типу относятся содержательные теории. В их составе дедукция используется лишь для связи отдельных положений. При этом исходные утверждения в рассуждениях представляют собой некоторые допущения, называемые посылками. Посылки не обязаны быть (и не всегда бывают) истинными, а потому любое предложение, которое дедуцируется с их использованием, считается условно истинным: заключение истинно при условии, чтопосылки являются истинными. Примером содержательной теории является школьная арифметика.

Другой тип — это т. н. формализованные теории. К их числу относятся теории, содержание которых взаимосвязано и дедуктивно выводится из некоторых первоначально принятых исходных утверждений, называемых аксиомами. Т. к. аксиомы рассматриваются как истинные высказывания о некоторой предметной области, все другие положения, дедуцируемые из них, тоже считаются истинными относительно этой области. Примерами таких теорий являются: небесная механика Ньютона, специальная и общая теории относительности Эйнштейна, квантовая механика, геометрия Евклида и многие другие.

Среди формальных особо можно выделить те теории, содержание которых фиксируется на специально созданном символическом языке, а все допустимые преобразования (в т. ч. и рассуждения) строятся как преобразования одних последовательностей символов в другие их последовательности. Такого рода теории называются исчислениями.

Табличное построение функций истинности не является единственным способом построения логики высказываний. Существуют и другие способы обоснования истинности тех или иных высказываний. Среди них особо существенно аксиоматическое представление логики высказываний. В чем его суть? Выбираются некоторые тавтологии логики высказываний и рассматриваются, как такие высказывания, истинность которых дана заранее. При этом не обязательно, что эти высказывания будут очевидны сами по себе. Важно, чтобы они были удобны для получения вывода. Могут быть выбраны в качестве аксиоматических различные высказывания. Число их так же может быть разным. Большее число аксиом иногда облегчает процесс получения вывода. В известной книге Д. Гильберта и В. Аккермана “Основы теоретической логики” в качестве аксиом берутся четыре формулы логики высказываний:

a) a v a ® а

b) а ® a v b

c)a v b ® b v a

d) (а ® b) ® [d v a ® d v b]

Обозначим А и В не отдельные высказывания, которые обозначались а и b, а целые формулы логики высказываний. Например, те, которые выше были приведены в качестве аксиомы. С помощью этих символов можно сформулировать

правила вывода:

а) Правило подстановки. Вместо А (переменного высказывания) везде, где эта буква встречается, можно подставить одну и ту же формулу исчисления высказываний.

b) Схема заключения. Из двух формул А и А ® В получаем новую формулу В.

Формула считается доказуемой, если она или аксиома, или получена из аксиомы с помощьюуказанных правил или же из таких формул, которые уже доказаны.

Аксиоматическое построение именно логики высказываний обладает рядом серьезных преимуществ в сравнении с аксиоматическим построением других разделов логики. Легко доказать, что система аксиом логики высказываний является непротиворечивой, т. е. что с помощью этих аксиом нельзя доказать одновременно а и а. Приведенные аксиомы логики высказываний являются также независимыми друг от друга, т. е. нельзя вывести хотя бы одну из них из других аксиом. И самое интересное, что система аксиом логики высказываний полна в том смысле, что присоединение к этой системе аксиом какой-либо новой аксиомы, которая не выводима из этой системы аксиом, приводит к противоречию.

22) Непротиворечивость, совместимость, свойство дедуктивной теории (или системы аксиом, посредством которых теория задаётся), состоящее в том, что из неё нельзя вывести противоречие, т. е. какие-либо два предложения А и Ø А, каждое из которых является отрицанием другого. Для широкого класса формальных теорий, включающих аксиому А & Ø А É В («из противоречия следует любое утверждение»), Непротиворечивость равносильна существованию в данной теории хотя бы одного недоказуемого предложения.

Непротиворечивость, необходимая для того чтобы система могла рассматриваться как описание некоторой «содержательной ситуации», отнюдь не гарантирует существования такой ситуации. Впрочем, для любой непротиворечивой системы аксиом в каждом случае могут быть указаны абстрактные модели; поэтому для представителей «классических» направлений в основаниях математики и логики (и тем более для представителей моделей теории) Непротиворечивость служит если и не обоснованием «существования» описываемых аксиомами совокупностей абстрактных объектов, то, по крайней мере, достаточным основанием для содержательного рассмотрения и изучения таких объектов. Поскольку описываемая теорией «ситуация» лежит вне самой теории, данное выше понятие Непротиворечивость, которое можно назвать «внутренней» (иначе -синтаксической, или логической) Непротиворечивость, тесно связано с так называемой «внешней» (семантической) Непротиворечивость, заключающейся в недоказуемости в данной теории никакого предложения, противоречащего (в обычном содержательном смысле) фактам описываемой ею «действительности». Несмотря на эту связь, синтаксическая и семантическаяНепротиворечивость равносильны лишь для таких «бедных» логических теорий, как, например, исчисление высказываний (см.Логика высказываний); вообще же говоря, внутренняя Непротиворечивость сильнее внешней. Роль отображаемой какой-либо конкретной теорией «действительности» может играть и некоторая другая дедуктивная теория, так что внешнююНепротиворечивость исходной теории можно понимать как её относительную Непротиворечивость, а указание системы соответствующих семантических правил перевода понятий, выражений и утверждений из второй теории в первую, дающее интерпретацию (модель) исходной теории, оказывается для неё доказательством относительной Непротиворечивости.

Полнота, свойство научной теории, характеризующее достаточность для каких-либо определённых целей её выразительных и (или) дедуктивных средств.

Один из аспектов понятия Полнота - т. н. функциональная Полнота (ф. п.) - применительно к естественному языку представляет собой то (неформальное) его качество, благодаря которому на нём можно сформулировать любое осмысленное сообщение, могущее понадобиться для тех или иных целей. Например, английский язык функционально полон с точки зрения целей, которые имел в виду У. Шекспир, создавая «Гамлета» (если исходить из предположения, что ему удалось полностью реализовать свой замысел). Но и любой другой из «живых» языков, на который «Гамлет» переведён, полон в том же смысле: перевод как раз и служит свидетельством этой ф. п.

Для логики и её приложений к дедуктивным наукам не менее существенную роль играет т. н. дедуктивная Полнота (д. п.) аксиоматических теорий (или, что то же, положенных в их основу систем аксиом; эпитет «дедуктивная» обычно опускают). В зависимости от выбора критерия «достаточности» дедуктивных средств теории (или формального исчисления) приходят к той или иной точной модификации понятия д. п. Вообще аксиоматическая система называется (дедуктивно) полной по отношению к данному свойству (или данной интерпретации), если все её формулы, обладающие данным свойством (истинные при данной интерпретации), доказуемы в ней. Такое понятие д. п. («в широком смысле»), связанное с понятием истинности, носит, очевидно, семантический (содержательный, см. Семантика) характер. Но в ряде случаев понятие д. п. удаётся определить чисто синтаксическим (формальным) путём и сделать предметом изучения метаматематическими (см. Метаматематика) средствами. Такая д. п. («в узком смысле») определяется как невозможность присоединения к системе без противоречия никакой недоказуемой в ней формулы в качестве аксиомы; эта («абсолютная») Полнота, вообще говоря, сильнее семантической Полнота: например,исчисление предикатов, полное в широком смысле, в узком смысле неполно.

23) В современной математике, в силу разделения её языка на синтаксическую и семантическую части, возникли два понятия следствия из посылок. Одно из этих понятий, которое мы будем называть логическим или дедуктивным, совпадает с понятием логической выводимости (доказуемости)предложения А из посылок Г, что обозначается обычно так: Г |- А. Второе понятие, которое мы назовём семантическим^[7], связано с моделями множества Г и состоит в следующем. Предложение А является семантическим следствием множества предложений Г, если оно истинно в любой модели множества Г, что обозначается так: Г |= А. Поскольку логический вывод сохраняет истинность во всех интерпретациях, то ясно, что Г |- А влечёт Г |= А. Обратное далеко не столь очевидно, но оно следует из теоремы Гёделя о полноте. Таким образом, эти понятия оказываются равносильными, и следовательно, если Г – это система аксиом теории, то выводимость (доказуемость) формулы А из Г равносильна её семантической истинности в этой теории.

Теорема Гёделя о полноте утверждает, что всякое непротиворечивое множество формул (в языке предикатов первой ступени) имеет модель. Отсюда следует, что для любой замкнутой^[8] формулы А, если Г |= А, то Г |- А. Действительно, предположим, что ù (Г |- А). Можно доказать, что тогда множество Г,ù А - непротиворечиво и потому по теореме Гёделя оно имеет модель, в которой формула ù А истинна, а это противоречит тому, что Г |= А. Поэтому ù (Г |= А), откуда по правилу контрапозиции, если Г |= А, то Г |- А. Отсюда же следует и семантическая полнота исчисления предикатов первой ступени.

Все доказательства предложений любой математической теории можно разделить на два вида. К первому виду отнесём такие доказательства, которые касаются только синтаксических свойств теории без ссылок на какую-либо интерпретацию.Таковыми, например, являются все формальные доказательства в формальных теориях, которые фактически являются выводами слов в языке теории из аксиом строго по логическим правилам. Будем называть такие доказательства синтаксическими. Второй вид – это доказательства, апеллирующие к каким-либо интерпретациям языка теории. Назовем их семантическими. Как уже было сказано выше, правильность формального синтаксического доказательства устанавливается алгоритмически, и следовательно, можно сказать, вполне надёжно. Согласно тезису Гильберта (см. п.3), всякое неформальное доказательство имеет формальный эквивалент и потому мы можем считать надёжным любое синтаксическое доказательство.

Доказательства второго вида содержат апелляцию к семантике, которая, как правило, не является аксиоматической теорией и не всегда может быть аксиоматизирована (как это имеет место для содержательной арифметики). Поэтому посылки таких доказательств черпаются из заранее не определённого множества содержательных предложений такой теории. Хотя для всякого семантического доказательства можно получить синтаксический аналог, если формализовать соответствующую содержательную теорию, однако последнее не всегда возможно по разным причинам. Тем не менее для каждого семантического доказательства существует возможность получить синтаксический эквивалент путём аксиоматизации не всей теории, а только её фрагмента, содержащего посылки доказательства. Такую возможность даёт теорема компактности (см., напр., [Мал], [Бар]), из которой следует, что для всякой теоремы А какой-либо теории Т существует конечно аксиоматизируемый фрагмент Т₁ этой теории, в котором доказуема теорема А. Это утверждение верно как для формальных так и для неформальных теорий. Мы будем называть его принципом локальной формализации. Этот принцип имеет очень важное следствие: при оценке какого-либо семантического (содержательного) доказательства в неформальной теории можно выделить конечно аксиоматизированныйфрагмент теории, содержащий синтаксический эквивалент этого доказательства. Этот процесс вполне эффективен (финитен). Таким образом, принцип локальной формализации позволяет оценку правильности семантического доказательства сводить к оценке синтаксического доказательства. Подчеркнём, что здесь речь идёт о проверке правильности доказательств, безотносительно к непротиворечивости всей теории.

24) ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ – раздел современной логики символической, изучающий рассуждения и другие языковые контексты с учетом внутренней структуры входящих в них простых высказываний, при этом выражения языка трактуются функционально, т.е. как знаки некоторых функций или же знаки аргументов этих функций. Важнейшая особенность логики предикатов состоит в том, что т.н. общие имена (напр., «человек», «город», «металл»), знаки свойств («белый», «умный», «электропроводный») и знаки отношений («старше», «севернее», «тяжелее») рассматриваются как принадлежащие одной категории знаков, а именно, категории предикаторов – предметно-истинностных функторов. Предикатор «человек» представляет функцию, которая каждому отдельному человеку сопоставляет оценку «истина», а каждому отличному от человека существу – оценку «ложь». Предикаторы различаются, как говорят, своей местностью: предикаторы, представляющие предметно-истинностные функции от одного аргумента, называются одноместными, те, которым соответствуют функции от двух аргументов, – двухместными и т.д. (напр., предикатор «человек» одноместный, а предикатор «севернее» двухместный).

Наиболее фундаментальный статус имеет классическая односортная логика предикатов первого порядка. Ее язык задается следующим образом. В алфавит вводится некоторая функционально полная система пропозициональных связок (см. Логика высказываний, Логические связки), напр. { , ∧, ∨, ⊃} (где – знак отрицания, ∧ – знак конъюнкции, ∨ – знак дизъюнкции, ⊃ – знак материальной импликации), а также кванторы и (имеется возможность выбрать в качестве исходного символа языка лишь один из этих кванторов, другой может быть введен по определению). В алфавите содержится также бесконечный список предметных переменных (х, у, z, x₁, …).· Среди нелогических символов обязательно наличие непустого множества предикаторных констант – аналога предикаторов естественного языка (будем использовать для них символы Рⁿ, Qⁿ, Rⁿ, Р₁ⁿ,..., где верхний индекс n – натуральное число, указывающее на местность предикаторной константы). Кроме этого в алфавит могут быть введены нелогические символы других типов: предметные константы (а, b, с, а₁,...) – аналоги собственных имен (знаков отдельных предметов) естественного языка, напр., «Москва», «Луна», «медь», а также предметно-функциональные константы различной местности (fⁿ, gⁿ, hⁿ, f₁ⁿ, ...) – аналоги предметных функторов (знаков таких функций, аргументами и значениями которых являются индивиды, напр., «+», «возраст», «расстояние от... до...»).