Прямая и обратная задача головной преломленной волны для двухслойной среды с плоской наклонной границей раздела

1. Образование головной преломленной волны. Как отмечалось выше (см. 10.1.4), при критическом угле падения , когда угол преломления \beta равен 90 , вдоль границы начнет скользить преломленная волна, которая возникает при , так как .

При падении прямой сферической волны под критическим углом в точке (рис. 4.6) образуются две волны: одна отраженная, движущаяся по лучу со скоростью , и вторая, скользящая вдоль границы раздела со скоростью ( , как правило, равно ). Чтобы показать, как эта скользящая преломленная волна выходит на линию наблюдений (ось ), воспользуемся принципом Гюйгенса.

Рис. 4.6. Природа образования сейсмических волн: 1, 2 - фронт и луч прямой волны; 3, 4 - фронт и луч отраженной волны; 5, 6 - фронт и луч преломленной проходящей волны; 7, 8 - фронт и луч головной преломленной волны

Согласно принципу Гюйгенса, любая точка фронта волны является источником колебаний. В частности, из точки начнет распространяться фронт отраженной волны со скоростью , который через время после начала отражения достигнет точки . За это же время в среде фронт проходящей преломленной волны, перпендикулярный границе раздела, достигнет точки . Соответственно за время фронты этих волн достигнут точек , за время и так далее. Поскольку , преломленная волна распространяется быстрее отраженной.

Фронт проходящей преломленной волны, скользя вдоль границы раздела, возбуждает в верхнем слое колебания, которые и вызывают появление так называемой головной преломленной волны. В самом деле, за время , область возмущений в верхней среде будет заключена в треугольнике ; за время область возмущений будет заключена в треугольнике и так далее. Фронт некоторой новой волны, называемой головной, отделяющей область пространства, возмущенную упругими колебаниями, от невозмущенной, в момент будет проходить вдоль прямой линии , в момент - вдоль линии и так далее. Одной стороной фронт головной волны касается фронта отраженной из критической точки волны, другой примыкает к фронту скользящей преломленной волны. В точке , где возникает головная волна, фронты отраженной и головной волн выйдут на поверхность одновременно, а далее отраженная волна, поскольку она имеет меньшую скорость, начнет отставать от головной.

Из рис. 4.6 видно, что фронты головной преломленной волны будут плоскостями, наклоненными под углом к границе раздела, а лучи, перпендикулярные фронту, будут наклонены под постоянным углом е к поверхности наблюдений. Фронт головной волны будет скользить вдоль линии наблюдений с кажущейся скоростью . Из треугольника легко получить выражение для кажущейся скорости (закон кажущихся скоростей, закон Бенндорфа). В самом деле, , отсюда , т.е. для данной среды .

Установим связь между углом выхода сейсмической радиации и углами и . Угол на рис. 4.7 равен углу , а последний равен (как углы со взаимноперпендикулярными сторонами). Поэтому , отсюда .

Индекс "B" взят для значений и по восстанию пласта. Если индексом "П" обозначить соответствующие значения по падению пласта, то нетрудно доказать, что . Точки и являются начальными точками преломленной волны. Между ними преломленные волны наблюдаться не могут, т.е. они выходят на земную поверхность на некотором расстоянии от пункта взрыва, сравнимом с глубиной залегания преломляющей границы.

2. Вывод уравнения линейного годографа головной преломленной волны, образовавшейся над наклонной границей двух сред (прямая задача). Пусть под однородной покрывающей средой со скоростью распространения упругих волн расположена плоская граница второго слоя с . Требуется получить уравнение годографа головной преломленной волны, т.е. установить теоретическую зависимость времени прихода волны ( ) от расстояния ( ), скорости распространения упругих волн ( и ), глубины залегания ( ) и угла наклона ( ) преломляющей границы (рис. 4.7).

Как показано выше, первой точкой профиля наблюдений, в которой начинает регистрироваться преломленная волна, является точка , называемая начальной точкой головной волны. Так как все лучи головной преломленной волны параллельны, то углы и постоянны, а это значит, что линейный годограф преломленной волны имеет постоянный наклон к оси . Наклон к оси х остается постоянным лишь у прямой линии. Таким образом, годограф головной преломленной волны над плоской границей является прямой линией, начинающейся в точке с координатами и и наклоненной к оси под углом .

Рис. 4.7. К выводу уравнения годографа головной преломленной волны

Отсюда можно получить уравнение годографа преломленной волны. По восстанию пласта , где и - координаты любой точки годографа. Очевидно, для получения уравнения необходимо определить и .

Возьмем мнимый пункт взрыва и опустим перпендикуляры на О'A и ось . Из треугольника , из треугольника OO'K OK = 2H sin i. Учитывая, что , получим

Из треугольника О'AS и OO'A можно получить и . Откуда . Нетрудно показать, что для точек по падению границы

Учитывая, что , получаем уравнение годографа преломленной волны:

Проведя преобразования во втором слагаемом, можно получить окончательное уравнение годографа преломленной волны:

(4.9)

Причем знак "-" берется для годографа по восстанию границы (здесь волна приходит быстрее), знак "+" берется для годографа по падению границы от пункта взрыва. Из уравнений годографов видно, что при , где - время на пункте взрыва.

Для горизонтальной преломляющей границы ( )

(4.10)

Выражение для годографа преломленной волны можно записать в таком виде:

При , что означает приход волны сначала к удаленным, а затем к близким к пункту взрыва точкам наблюдения. При и , что соответствует случаю, когда головная преломленная волна не сможет выйти на поверхность и работы методом МПВ невозможны. Поэтому этот метод может применяться для изучения не очень крутых структур, т.е. при углах падения, меньших 45 .

Преломленная волна на удалении от пункта взрыва всегда приходит раньше отраженной и прямой волн и ее удобно регистрировать в области первых вступлений. Применяется также корреляционный метод преломленных волн (КМПВ), когда выделение преломленных волн производится и в последующих вступлениях.

Как показано выше, годограф волны, преломленной на плоской границе двух сред, прямолинеен. Однако, если преломляющая граница криволинейна, то и годограф приобретает криволинейную форму. Это объясняется тем, что угол выхода сейсмической радиации и кажущаяся скорость меняется при изменении угла наклона границы ( ) по профилю наблюдений, что приводит к изменению угла наклона годографа.

Как отмечалось в 10.1.4, если в среде скорость упругих волн возрастает с глубиной, что может наблюдаться, например, при смене литологии или из-за увеличения давления, то возникают рефрагированные волны. Механизмы образования рефрагированных и скользящих преломленных волн имеют определенное сходство. С увеличением скорости с глубиной критический угол падения увеличивается и рефрагированные волны будут проходить во втором слое по дугообразным лучам (4.1, в). Выходя на поверхность земли, рефрагированные волны регистрируются подобно головным преломленным. Годографы преломленных и рефрагированных волн сходны между собой, и их распознавание имеет большое значение, так как позволяет избавиться от ошибок при интерпретации результатов сейсморазведки.

3. Обратная задача метода преломленных волн. Обратная задача метода преломленных волн (МПВ) над наклонной границей двух сред сводится к определению скоростей в верхнем ( ) и нижнем ( ) слоях и геометрических параметров разреза (Н, \varphi). Ее решают различными способами, основанными на анализе уравнения годографа (4.8) - (4.10). Как показывает практика интерпретации МПВ, наиболее надежно решить обратную задачу можно, имея встречные годографы (Г₁ и Г₂), которые получаются из двух точек взрыва О₁ и О₂, находящихся на концах изучаемого профиля (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Определение граничной скорости с помощью разностного годографа и построение преломляющей границы способом

А. Определение граничной скорости по разностному годографу. Имея два встречных годографа, можно построить разностный годограф: , где и - время прихода головной преломленной волны в точку х по первому и второму (встречному) годографу, - время во взаимных точках, т.е. время прихода волны из О₁ в О₂ или из О₂ в О₁ (см. рис. 4.8). Легко видеть, что путь головной волны из пункта взрыва О₁ в точку О₂ и, наоборот, из пункта взрыва О₂ в точку О₁ одинаков, а значит, время во взаимных точках по встречным годографам одинаково и постоянно для данного интервала О₁О₂ (рис. 4.8).

Взяв производную от уравнения разностного годографа, получим , где - угловой коэффициент разностного годографа, равный обратной скорости, т.е.

Отсюда

Таким образом, граничная скорость может быть определена по наклону разностного годографа . При углах наклона, меньших 10 - 15 , .

Б. Определение скорости в перекрывающем слое. Скорость упругих волн в перекрывающем слое (толще) может быть оценена по точкам пересечения годографов прямой и головных преломленных волн: , где и - координаты точек пересечения.

Однако более точно получается по данным метода отраженных волн (10.3.2).

В. Построение преломляющей границы способом нулевого времени. Одним из простых и точных способов определения и построения преломляющей границы является способ нулевого времени ( ).

Для любой точки , где имеются два встречных годографа (см. рис. 4.8), можно найти некоторую функцию , которая равна времени на пункте взрыва . В самом деле, . Отсюда, считая границу на участке СD плоской и опустив из S перпендикуляр на СD, получим

Из треугольника CSK: . Учитывая, что , получим:

(4.12)

Следовательно, для любой точки профиля, где имеются встречные годографы, можно найти фиктивное время , а затем и рассчитать

(4.13)

Практически применение способа сводится к следующему. Для любой точки х определяется величина . От значения по первому годографу измерителем откладывается вверх (получаем точку разностного годографа ) и вниз (получаем ). Сделав подобные построения в нескольких (3 - 5) точках оси х и соединив точки и , получаем разностный годограф и линию . По наклону разностного годографа находится граничная скорость (при ). Если угол , то ее можно определить по формуле, приведенной выше ( ). Зная в каждой точке, по формуле (4.13) можно рассчитать эхо-глубину .

Проведя из нескольких точек х дуги радиусами и соединив их плавной касательной, получим искомую преломляющую криволинейную границу раздела. Для криволинейной границы не имеет смысла говорить об угле наклона , поскольку он разный в разных точках преломляющей границы.

Приведенные прямые и обратные задачи МОВ и МПВ для двухслойного разреза являются основными задачами сейсморазведки, поскольку, заменив верхний слой ( ) толщей ( ), получаем практически одни и те же годографы. Решение кинематических прямых и обратных задач для отраженных, преломленных, рефрагированных, дифрагированных волн слоистых толщ (одномерные задачи - 1Д), сред с вытянутыми контактами (двухмерные задачи - 2Д) и для включений объектов (трехмерные задачи - 3Д) в аналитическом виде связано с большими математическими сложностями.