I.II. Способы оценивания и исключения систематических погрешностей

Как уже отмечалось, измерения правильны, если систематичес­кие погрешности в их результатах близки к нулю. Поэтому система­тические погрешности при измерениях стремятся учесть и по возмож­ности исключить. Сделать это способом обработки многократных наб­людений нельзя.

Пусть результат одного наблюдения

(1.38)

где ; – реализация случайной погрешности;

- постоянная систематическая погрешность.

Проведем п наблюдений и возьмем среднее арифметическое

(1.39)

Случайная погрешность с ростом п уменьшается, а системати­ческая остается неизменной.

Для оценки систематических погрешностей необходимо понимать принцип работы средств измерений и физические процессы, протекаю­щие в измерительных цепях, иметь чёткое представление о принятой модели реального объекта измерений и т.д.

Рассмотрим наиболее распространенные метода оценивания и исключения систематических погрешностей.

I. Значительная группа измерительных приборов снабжена встроенными в них мерами, позволяющими перед измерениями установить нуль (компенсировать постоянную составляющую погрешности) и осу­ществить калибровку (компенсировать мультипликативную составляю­щую погрешности). Если прибор содержит микропроцессор, то ука­занные операции выполняются автоматически.

2. Если перед измерениями сличить показания рабочего средст­ва измерений с образцовым и получить таблицы поправок и поправоч­ных множителей, то в дальнейшем можно, учитывая их, компенсиро­вать систематические погрешности.

3. Устранить постоянные систематические погрешности позволяют правильно выбранные методы измерений, например, метод замещения, метод противопоставления, метод компенсации погрешности по знаку.

Метод замещения даёт наиболее полное решение задачи. Рас­смотрим, например, измерение сопротивления резистора, располагая чувствительным, но неточным мостом и точным магазином сопротивле­ний. Подключив к мосту измеряемое сопротивление, уравновешиваем его. Полученный результат измерения будет содержать систематичес­кую погрешность

,

где R_И – показания моста;

R_Х – значение сопротивления измеряемого резистора;

DR_с – систематическая погрешность.

Заменив измеряемый резистор магазином сопротивлений, будем изменять его сопротивление до уравновешивания моста. Получим ре­зультат

,

где R_M - сопротивление магазина сопротивлений. Следовательно, R_X= R_M, и систематическая погрешность исключена.

Рассмотрим применение метода противопоставления для уменьше­ния систематической погрешности на примере измерения сопротивлений резистора. Пусть имеется два источника тока с токами I₁, и I₂=I₁+DI и магазин сопротивлений. Пропустим один из токов че­рез измеряемое сопротивление R_X, а второй - через сопротивление магазина R_M . Изменяя R_M, добьёмся равенства падений напряжения на R_X и R_M .

откуда (1.40)

где – систематическая погрешность.

Поменяем местами (противопоставим) измеряемый резистор и магазин сопротивлений и повторим эксперимент. Тогда

и (1.41)

После перемножения (1.40) на (I.41) и извлечения квадратного кор­ня получим

Следовательно, исключим погрешность от неравенства токов.

Метод компенсации погрешности по знаку предусматривает изме­рение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность в результат каждого из них входила с разными знаками.

Если в предыдущих примерах измерения производить на постоян­ном токе, то паразитные термоЭДС, возникающие в контурах срав­нений, внесут свою долю в систематическую погрешность. С целью компенсации указанной погрешности измерения производят дважды – при разных направлениях токов через резисторы. Результат измере­ний находят как

где и - результаты измерений при прямом и противополож­ном направлениях токов через резисторы.

4. Часто систематическую погрешность удается оценить расчет­ным путем. Для этого выражают значения измеряемой величины с уче­том влияющего фактора (“измеренное значение”) и при его отсутст­вии (“истинное значение”). Разность первого и второго значений бу­дет определять расчетную абсолютную систематическую погрешность.

Например, при измерении ЭДС источника с внутренним сопротив­лением R_Г вольтметром с входным сопротивлением R_В, показания последнего («измеренное значение») будут

Расчетная систематическая погрешность измерения

.

5.Одними из наиболее опасных видов систематических погрешнос­тей являются такие, когда об их существовании ничего неизвестно, но в действительности они имеются и их значения существенны. В этом случае измерения осуществляют несколькими различными методами, раз­личными приборами и при различных условиях. Причины появления сис­тематических погрешностей анализируются и принимаются меры к их устранению. Например, для измерения угловых параметров на лета­тельных аппаратах применяют одновременно магнитные компасы, радио­компасы и гирокомпасы, а для измерения скорости полета - воздуш­ный указатель скорости, инерциальный и доплеровский измерители скорости и т.д.

6. В случае, когда причина систематической погрешности ясна из физических соображений, но её абсолютное значение и знак неиз­вестны, имеет смысл обращаться с ней как со случайной величиной. Такой перевод систематических погрешностей в случайные, называемый рандомизацией, часто позволяет существенно уменьшить влияние систематической погрешности на результат измерения.

Сущность рандомизации рассмотрим на некоторых примерах.

Пример I. Допустим, чтов распоряжении пользователя имеется п однотипных приборов, обладающих систематической погрешностью оди­накового происхождения (пусть неточная градуировка шкалы). Для каждого отдельного прибора указанная погрешность – величина пос­тоянная, но от прибора к прибору её значение меняется случайным образом. Закон распределения систематических погрешностей и его характеристики в указанной серии приборов, как правило, известны (даются заводом-изготовителем). Поэтому, если измерить интересую­щую физическую величину п приборами, т.е. сделать ряд измерений, а затем вычислить среднее арифметическое всех результатов, то зна­чение погрешности существенно уменьшится, так же, как это имеет место при усреднении случайной погрешности.

Пример 2. Требуется измерить удельное сопротивление платины, предназначенной для изготовления термометров сопротивления. Изго­товим кусок проволоки, измерим его сопротивление, длину и попереч­ное сечение и по известной из физики зависимости определим искомую величину. Пусть сопротивление, длина и сечение провода измерены с очень высокой степенью точности. Но, это не даёт гарантии о точном измерении удельного сопротивления платины, так как в проводнике могут содержаться раковины, микротрещины, вкрапления других мате­риалов, влияние которых исказит результат измерения и приведёт к погрешности, которую для данного образца невозможно обнаружить ни повторными измерениями, ни измерениями другими методами, в других условиях. Следовательно, для данного образца будем иметь система­тическую погрешность измерения, вызванную случайными факторами.

Если изготовим n аналогичных образцов и для каждого образца измерим одним и тем же методом, в одинаковых условиях удельное сопротивление, то увидим, что систематическая погрешность измере­ний конкретного образца становится случайной величиной в группе, состоящей из п образцов. Следовательно, в данном случае применим аппарат оценки и уменьшения случайных погрешностей.

Систематические погрешности должны быть исключены из резуль­тата измерений. В действительности полностью исключить их не уда­ется, всегда остаются какие-то не исключенные остатки.

Кроме того, многие измерения выполняют без специальных мер для исключения систематических погрешностей. Например, если из­вестны функции влияния и значения влияющих факторов, то система­тические погрешности можно вычислить и исключить из результата измерений. Но для этого необходим ряд приборов для измерения зна­чений влияющих физических величин (температуры, давления, напря­жения питания, частоты и т.д.), что усложняет и удорожает экспе­римент, В этом случае отказываются от дополнительных средств из­мерений, влияющие величины и связанные с ними систематические погрешности считают случайными.

Для не исключенных систематических погрешностей, которые счи­таем случайными, определяют доверительные границы. При этом руко­водствуются следующими рекомендациями.

1. Если случайные погрешности пренебрежимо малы, то границами составляющих не исключенной систематической погрешности полага­ют пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений.

2. Проводя суммирование не исключенных систематических погреш­ностей результата измерения, их рассматривают как случайные вели­чины. При отсутствии априорной информации о законе их распределе­ния принимают модель равномерного распределения.

3. Если не исключенные систематические погрешности обусловле­ны несколькими причинами, то доверительные границы вычисляют на основе композиции законов распределения отдельных погрешностей. При равномерном распределении не исключенных систематических погрешностей эти границы вычисляют по формуле

где - граница i-ой не исключенной систематической погрешности;

k - коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятнос­ти р ;

m- число частных систематических погрешностей.

Коэффициент k для значений р =0,9; 0,95; 0,98 и 0,99 полагают равным соответственно 0,95; 1,1; 1,3 и 1,4.

При вычислении границ не исключенной систематической погреш­ности доверительную вероятность принимают такой же, как и при вы­числении доверительных границ случайной погрешности результатов измерений.