Экспоненциальные распределения

Экспоненциальные распределения описываются формулой

(*);

,

где σ – СКО; α – некоторая характерная для данного распределения константа; Х_ц – координата центра; Г(х) – гамма-функция.

В нормированном виде, т.е. при Х_ц = 0 и σλ = 1,

,

где А(α) – нормирующий множитель распределения.

Интегральная функция нормированного экспоненциального распределения описывается выражением

.

Интеграл, входящий в эту формулу, выражается через элементарные функции только при α = 1/n, n = 1; 2; 3;... При α=n= 2; 3; 4;... он может быть рассчитан по приближенным формулам.

Эксцесс и энтропийный коэффициент экспоненциальных распределений соответственно определяются по формулам:

.

Анализ приведенных выражений показывает, что константа α однозначно определяет вид и все параметры распределений. При α<1 распределение имеет очень пологие спады и по форме близко к распределению Коши. При α =1 получается распределение Лапласа

.

При α =2 – нормальное распределение или распределение Гаусса.

При α>2 распределения, описываемые формулой (*), близки по свойствам к трапецеидальным. При очень больших значениях α формула описывает практически равномерное распределение. В таблице 3 приведены параметры некоторых из экспоненциальных распределений.

Таблица 3

Распределение	α	ε	к	k
Лапласа			0,408	1,92
Нормальное (Гаусса)			0,577	2,07
Равномерное		1,8	0,745	1,73

Вид экспоненциальных распределений при различных значениях показателя α представлен на рис.7

Рис. 7.