Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов

Математические модели для расчета показателей надежности системы по ДО в соответствии с рекомендациями [25] могут быть получены с использованием булева представления ДО и применения метода минимальных сечений.

2.3.3.1 Булево представление дерева отказов. Пусть состояние системы задается некоторой функцией Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru . Предположим, что система с точки зрения надежности может находиться только в двух характерных состояниях: работоспособном ( Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru ) и неработоспособном ( Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru )

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.7)

Допустим также, что состояние элементов и выполнение заданных условий описывается некоторым вектором

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , (2.8)

где Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – переменная, характеризующая состояние Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru -го элемента, либо выполнение Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru -го условия (если Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru -й номер условия), Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – общее число элементов системы и наложенных условий.

Пусть каждая переменная Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru вектора Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru принимает только два значения Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , либо Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru . Равенство Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru означает нахождение Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru -го элемента в работоспособном состоянии, либо (если Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru -й номер условия) – невыполнение наложенного условия. При Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru -й элемент находится в состоянии отказа, либо выполнено Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru -е условие.

Логической функцией работоспособности (ЛФР) системы будем называть функцию алгебры логики (ФАЛ), связывающую состояние элементов системы и выполнение некоторых заданных условий с работоспособным состоянием системы

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru . (2.9)

Функцию Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru называют монотонной, если для любых наборов Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru и Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , таких, что Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru имеет место соотношение

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru . (2.10)

Объекты, удовлетворяющие этим условиям, называют системами с монотонной структурой. Иначе условие монотонности может быть представлено в следующей форме.

Объект будет обладать монотонной структурой при соблюдении следующих условий:

Если все элементы системы находятся в работоспособном состоянии, а все условия не выполнены, т.е. Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , то система находится в работоспособном состоянии.

Если все элементы отказали и все условия выполнены, то система переходит в состояние отказа.

Отказ, либо выполнение какого-либо условия, не может перевести систему в работоспособное состояние из неработоспособного, и, наоборот, восстановление отказа элемента для системы, находящейся в работоспособном состоянии, не может вызвать перехода ее в состояние отказа.

Все реальные технические системы с точки зрения перечисленных правил относятся, как правило, к системам с монотонной структурой.

Для монотонной структуры ЛФР системы можно записать с помощью минимальных путей (МП) или минимальных сечений (МС), которые несложно выделить при анализе конкретного дерева отказов.

Путем называется множество элементов Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , единичное состояние которых обеспечивает единичное состояние ЛФР. Иначе, путь – это набор элементов системы, находящихся в работоспособном состоянии и невыполненных условий, обеспечивающих работоспособное состояние системы.

Минимальным путем называется такая конъюнкция элементов и условий, когда ни одну из компонент нельзя изъять, не нарушив непредельного состояния системы.

Такая конъюнкция может быть записана в виде следующей ФАЛ

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , (2.11)

где Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – означает множество номеров, соответствующих пути Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru .

Иначе, минимальный путь – это минимальный набор элементов и условий, работоспособное состояние (невыполнение условий) которых обеспечивает работоспособное состояние системы.

Сечением называется множество элементов Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , нулевое состояние которых обеспечивает нулевое состояние ЛФР.

Иначе, сечение – это набор элементов системы, отказ которых, и условий, выполнение которых, обеспечивают неработоспособное состояние системы.

Минимальным сечением системы называется такая конъюнкция отрицаний его элементов и условий, когда ни одну из компонент нельзя изъять, не нарушив состояния отказа системы.

Такая конъюнкция записывается в виде следующей ФАЛ

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , (2.12)

где Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – означает множество номеров, соответствующих сечению Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru .

Добавление хотя бы одного элемента к МП или МС лишает их свойств минимальности, а удаление – свойств пути, или, соответственно, сечения.

Известно, что любой система с конечным числом элементов и наложенных условий имеет конечное число минимальных путей ( Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru ) и минимальных сечений ( Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru ).

Тогда условие отказа системы может быть записано двумя различными способами:

а) через минимальные пути

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.13)

в виде конъюнкции отрицаний всех имеющихся минимальных путей;

б) через минимальные сечения

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.14)

в виде дизъюнкции всех имеющихся минимальных сечений.

В свою очередь, условия работоспособности имеют вид:

а) через минимальные пути

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.15)

в виде дизъюнкции всех имеющихся минимальных путей;

б) через минимальные сечения

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.16)

в виде конъюнкции отрицаний всех имеющихся минимальных сечений.

Отказ системы не достигается если

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.17)

Соответственно, условия отказа системы:

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.18)

Условие (2.12) означает, что в структуре ДО есть хотя бы один МП, либо нет ни одного МС. Условие (2.13) означает, что в структуре ДО нет ни одного МП, либо есть хотя бы одно МС.

Пример. Сформировать условия отказа и работоспособности для системы, ДО которой приведено на рис. 2.11.

Множество минимальных путей, определяемое при анализе ДО, имеет вид (для простоты здесь и далее операция конъюнкции будем обозначать знаком «умножения», т.е. Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru ):

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

Множество минимальных сечений ДО имеет вид:

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru .

ЛФР системы может быть записана в соответствии с (2.15) как

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru ,

либо в соответствии с (2.16) как

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru .

В соответствии с (2.13) имеем:

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

а в соответствии с (2.14)

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru .

Тогда в соответствии с (2.17) условия работоспособности можно представить как:

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

либо

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

либо

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

либо

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru .

В соответствии с выражением (2.18), следующие условия формируют условия отказа системы :

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

либо

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

либо Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

либо Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru .

Для дальнейшего анализа может быть выбрана та форма задания условий отказа, которая является наиболее компактной, хотя все остальные формы полностью эквивалентны относительно конечного результата.

Таким образом, булево описание условия отказа системы позволяет наиболее полно, четко и однозначно представить причинно-следственные связи между неработоспособным состоянием системы и состояниями его элементов и другими факторами, определяющими надежность системы.

2.3.3.2 Построение вероятностной функции работоспособности системы. Выше показано, как представить в форме функций алгебры логики условия работоспособности системы. Рассмотрим особенности расчета вероятности безотказной работы системы по известным ФАЛ.

Введем следующие обозначения: Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – ВБР системы на интервале Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – вероятность отсутствия начального события в ДО (ВБР Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru -го элемента, либо вероятность невыполнения заданного условия).

Пусть известна ЛФР системы, описанная некоторой произвольной ФАЛ вида (2.9). Вероятностной функцией работоспособности (ВФР) системы будем называть вероятность истинности ЛФР

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru . (2.19)

Если ввести в рассмотрение вероятность наступления i-го события в ЛФР

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

тогда в предположении о независимости событий Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , функцию (2.19) можно преобразовать к виду

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru . (2.20)

Тогда можно сформулировать правило расчета ВБР: вероятность безотказной работы системы на интервале Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru равна значению ВФР на этом интервале.

Таким образом, задача оценивания ВБР системы при известной ЛФР сводится к нахождению аналитического выражения для ВФР и подстановке в нее значений вероятностей Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (вероятностей событий, инверсных базовым событиям ДО), определенных на интервале Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru .

Рассмотрим возможности определения вида выражения ВФР по ЛФР. В общем случае ЛФР представляет собой произвольную ФАЛ.

Из полученных ранее в теории надежности результатов известно, что существуют такие формы задания ФАЛ, которые допускают непосредственный переход в вероятностную функцию (ВФ) Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru заменой логических переменных Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru вероятностями Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , а логических операций – соответствующими арифметическими операциями. Такие ФАЛ называют формами перехода к замещению (ФПЗ).

Если ФАЛ представлена в ФПЗ, то переход к ВФ осуществляется по следующим правилам:

- каждая буква в ФПЗ заменяется вероятностью ее равенства единице, причем

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru ; (2.21)

- отрицание функции заменяется разностью между единицей и вероятностью равенства этой функции единице, например

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

- операции логического умножения и сложения заменяются операциями арифметического умножения и сложения.

Существуют различные формы перехода к полному замещению. Прежде чем дать их характеристику, приведем ряд определений из алгебры логики [9], поясняющих используемые в дальнейшем понятия.

Выражение вида

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.22)

называется элементарной конъюнкцией ( Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru ) ранга Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , где Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – двоичная переменная величина, такая, что

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

В силу того, что Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , все символы в Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru различны.

Выражение вида

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , (2.23)

где Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – элементарные конъюнкции различных рангов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Если функция Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru записана в ДНФ, причем ранг каждой элементарной конъюнкции равен Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , то такая ДНФ называется совершенной ДНФ (СДНФ).

Две элементарные конъюнкции называются ортогональными, если их произведение равно нулю.

ДНФ называется ортогональной ДНФ (ОДНФ) если все ее члены попарно ортогональны.

Бесповторной ДНФ называется такая ДНФ, в которой все буквы имеют разные номера.

Известно, что ФАЛ, записанные в СДНФ, ОДНФ или в форме бесповторной ФАЛ в базисе конъюнкция-отрицание, являются ФПЗ.

Приведем общий алгоритм преобразования ФАЛ произвольной формы к ФПЗ (рис. 2.14).

На первом этапе анализируется форма ФАЛ.

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

Рисунок 2.14 – Схема алгоритма преобразования ФАЛ к ФПЗ

Если ФАЛ является бесповторной, т.е. с неповторяющимися номерами переменных, то они преобразуются в ФПЗ по правилу де Моргана (к базису конъюнкция-отрицание).

При повторной форме ФАЛ она преобразуется в ДНФ и анализируется её вид. Если преобразованная ФАЛ имеет вид СДНФ, то ФПЗ получена, и можно формировать ВФР по правилам замещения. В противном случае используется ряд методов, к основным из которых относятся метод ортогонализации и метод разрезания.

Метод ортогонализации основывается на использовании следующих утверждений.

Отрицание элементарной конъюнкции ранга Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru эквивалентно дизъюнкции

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru . (2.24)

В матричной форме записи логических функций данное преобразование имеет вид

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru . (2.25)

Булева функция Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru представляется в ДНФ в виде

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.26)

и эквивалентна функции

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , (2.27)

или в матричной форме записи:

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru . (2.28)

Если вместо каждого выражения Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru подставить его представление согласно (2.24), то после приведения дизъюнкции (2.27) к ДНФ (раскрытием скобок) получим ОДНФ булевой функции Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.29)

где Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – ортогональные члены функции Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , записанной в ОДНФ;

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – число членов ОДНФ.

Преобразовав ЛФР к ОДНФ, можно приступить к формированию ВФР по правилам замещения.

Метод разрезания основывается на следующем утверждении.

Для любой структурной функции Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru порядка Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru справедливо следующее

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

Таким образом, если аргумент Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru функции Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru является совместной двоичной переменной, то преобразование (2.20) дает возможность перейти к дизъюнкции двух несовместных высказываний, причем в первое высказывание аргумент Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru входит своим утверждением, а во второе – отрицанием. Функции Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru отличаются от функции Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru тем, что в них везде вместо аргумента Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru подставлены соответственно 1 и 0.

Аргументы Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru и Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru можно принять за несовместимые гипотезы, образующие полную группу событий и, следовательно, есть все основания применять формулу полной вероятности. Необходимо также, чтобы функции Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru были представлены в ФПЗ. С этой целью процедуру разрезания повторяют требуемое число раз.

На первом шаге разрезание функции Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru производится по той из переменных, которая большее число раз встречается в выражении функции. После первого шага получают разложение (2.30). Затем функции Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru упрощаются по правилам алгебры логики и анализируются на предмет наличия в них повторяющихся переменных. При их наличии, процедура разрезания применяется к Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

Операция разрезания проводится до тех пор, пока на очередном шаге не окажется, что ни в одну функцию ни одна переменная не входит более одного раза. Таким образом, получаем дизъюнкцию, каждый член которой представляет собой бесповторную ФАЛ, в общем случае произвольную.

Применив к Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , где Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – множество индексов типа 0, 1, 01, 11,… правило де Моргана, получим бесповторную ФАЛ в базисе конъюнкция-отрицание. Такая форма ФАЛ является ФПЗ.

Результатом выполнения разрезания исходная ФАЛ преобразуется к виду

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

где Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – число членов дизъюнкции;

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – бесповторные ФАЛ в базисе конъюнкция-отрицание;

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru – несовместные гипотезы, образующие полную группу.

ВФР вычисляется по формуле полной вероятности

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.30)

ФАЛ, характеризующие гипотезы Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru и Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , представлены в форме бесповторной ФАЛ в базисе конъюнкция-отрицание, что позволяет далее применить правило замещения.

Пример. Рассмотрим ЛФР системы, составленную по ДО, приведенному на рис. 2.11. ЛФР, образованная на основе МС по правилу (2.16), имеет вид

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru .

В данной ФАЛ отсутствуют повторяющиеся элементы, поэтому она может быть преобразована к ФПЗ по правилу де Моргана

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru .

Далее по правилу замещения получаем выражение для ВФР

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru .

После преобразований окончательно получаем

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.31)

ВБР с учетом (2.31) рассчитывается по формуле

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.32)

Пример. Если в основу образования ЛФР положить правило (2.10), то ее выражение, как было показано выше, имеет следующий вид

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru . (2.33)

   

ФАЛ (2.33) является повторной и выражена в ДНФ (несовершенной). Поэтому применим алгоритм разрезания.

В выражении (36) переменные Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru задействованы по четыре раза, а остальные по два. Разрежем ФАЛ (2.33) по переменной Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru .

Применив аналогичные преобразования относительно Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru имеем

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

ФАЛ в круглых скобках является повторной и должна быть разрезана. Допустим разрезание произойдет относительно переменной Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

далее по Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.34)

Преобразовав (2.34) получим

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.35)

Из (2.35) следует, что необходимо рассмотреть следующие гипотезы

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.36)

Применив правило Де Моргана к выражению Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru , получим

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru . (2.37)

С учетом (2.36), (2.37) ВФР имеет вид (см. (2.30))

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru

Выполнив преобразования и раскрыв скобки, окончательно имеем:

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.38)

Построение математических моделей для расчета показателей надежности по дереву отказов - student2.ru (2.39)

Из сравнения (2.32) и (2.39) видно, что различная форма задания ЛФР системы приводит лишь к различиям в методах ее преобразования к ФПЗ, и не влияет на конечный результат определения вида ВФР.

Наши рекомендации