Числовые параметры законов распределения

Как отмечалось выше, функции распределения являются самым универсальным способом описания поведения результатов измерений и случайных погрешностей. Однако для их определения необходимо проведение весьма длительных и кропотливых исследований и вычислений. В большинстве случаев бывает достаточно охарактеризовать случайные величины с помощью ограниченного числа специальных параметров, основными из которых являются:

– центр распределения;

– начальные и центральные моменты и производные от них коэффициенты

– математическое ожидание (МО), СКО (среднее квадратичное отклонение), эксцесс, контрэксцесс и коэффициент асимметрии;

– энтропийный коэффициент.

Понятие центра распределения

Координата центра распределения показывает положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является центр симметрии, т.е. нахождение такой точки Х_м на оси х, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5:

.

Точку Х_M называют медианой или 50%-ным квантилем. Для ее нахождения у распределения случайной величины должен существовать только нулевой начальный момент.

Можно определить центр распределения как центр тяжести распределения, т.е. такой точки X, относительно которой опрокидывающий момент геометрической фигуры, огибающей которой является кривая р(х), равен нулю:

.

Эта точка называется математическим ожиданием. Следует отметить, что у некоторых распределений, например распределения Коши, не существует МО, так как определяющий его интеграл расходится.

Разные оценки центра имеют различную эффективность. При статистической обработке экспериментальных данных важно использовать наиболее эффективную из них, т.е. оценку, имеющую минимальную дисперсию. Это связано с тем, что погрешность в определении Х_ц влечет за собой неправильную оценку СКО, границ доверительного интервала, эксцесса, контрэксцесса, вида распределения и др., т.е. всех последующих оценок, кроме энтропийных.

Моменты распределений

Все моменты представляют собой некоторые средние значения, причем если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называют начальными, а если от центра распределения, то центральными. Начальные и центральные моменты r-го порядка определяются соответственно по формулам

;

.

Нулевой начальный момент равен единице. Он используется для задания условия нормирования плотности распределения:

.

Также с помощью начального момента нулевого порядка вводится понятие медианы распределения. Первый начальный момент – МО случайной величины:

.

Для результатов измерений оно представляет собой оценку истинного значения измеряемой величины. Начальные и центральные моменты случайной погрешности Δ совпадают между собой и с центральными моментами результатов измерений: , поскольку МО случайной погрешности равно нулю. Следует также отметить, что первый центральный момент μ₁ тождественно равен нулю.

Важное значение имеет второй центральный момент

,

называемый дисперсией и являющийся характеристикой рассеивания случайной величины относительного МО. Значительно чаще в качестве меры рассеивания используется среднее квадратическое отклонение СКО

.

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют важные черты распределения: положение центра и степень разбросанности результатов относительно него. Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий центральный момент

служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения. С его использованием вводится коэффициент асимметрии . Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен нулю.

Четвертый центральный момент

служит для характеристики плоско- или островершинности распределения. Эти свойства описываются с помощью эксцесса

.

Значения коэффициента ε' лежат в диапазоне от -2 до ∞. Для нормального распределения он равен 0. Чаще эксцесс задается формулой

.

Его значения лежат в диапазоне от 1 до ∞. Для нормального распределения он равен трем.

Для удобства часто используют контрэксцесс . Его значения лежат в пределах

от 0 до 1. Для нормального закона он равен 0,577.