Классические парадоксы, софизмы, логические задачи и упражнения

Парадокс(греч. paradoxos) в широком смысле - утверждение, резко рас­ходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется «безусловно правильным»; в более узком смысле - два противо­положных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргу­менты. Парадоксы были известны еще в древности. Один из более известных называется «Лжец».

ПАРАДОКС ЛЖЕЦА.Первое упоминание об этом парадоксе принадлежит, по-видимому, Эвбулиду из Милета. В оригинальной формулировке он излагается следующим образом. Критянин Эпименид утверждает, что все критяне, включая его самого, лжецы. Тогда если данное утверждение ложно, то сказанное им - ис­тина и он не лжец. Если же это утверждение истинно, то сказанное им ложно, так как он лжец.

В более прозрачной формулировке парадокс лжеца можно обьяснить сле­дующим образом. Некто утверждает: «Я лгу». Если при этом он на самом деле лжет, то сказанное им есть ложь, а поэтому он не лжет. Если же он, утверждая: «Я лгу», не лжет, то сказанное им является истинным суждением, а поэтому он лжет. Таким образом, он лжет и не лжет одновременно. В более современной интерпретации этот парадокс приводится следующим образом. На листе бумаги записана фраза: «Все, что написано на этом листе - ложь». Кроме этой записи на листе больше ничего не написано. Тогда, если предположить, что утверждение на листе истинно, то оно ложно, и наоборот.

УПРАЖНЕНИЕ.Допустим, что на листе бумаги имеется надпись: «Написанное на обратной стороне листа - истина», а на обратной стороне содержится такая же надпись. В результате несложного логического анализа легко показать, что парадоксальной ситуации при этом не возникает. Однако остаются еще три вари­анта записей. Например, на лицевой: «Написанное на обратной стороне листа -истина», а на обратной: «Написанное на обратной стороне листа - ложь» и так далее. Следует определить, какой из этих вариантов надписей на листе бумаги приводит к парадоксу.

Классические парадоксы, софизмы, логические задачи и упражнения

ПАРАДОКС «АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА».Одна из четырех дошедших до нас знаменитая апория Зенона Элейского. Известна она, как и три другие, из текста «физики» Аристотеля и формулируется в следующем рассуждении. Быстроногий Ахилл никогда не сможет догнать самого медленно ползущего животного -черепаху. Действительно, если бы оба они стартовали одновременно, а у чере­пахи была некоторая известная фора в расстоянии, то когда Ахилл достиг точки старта черепахи, она уже прошла определенное новое расстояние до новой точки пути. Когда же Ахилл достиг и этой точки, черепаха уже была в другой, и так до бесконечности.

Аналогичные рассуждения Аристотель приводит относительно апории Зенона «Дихотомия». Если необходимо пройти некоторое расстояние, сначала требуется пройти его половину. Но для того чтобы пройти половину пути, следует пройти половину этой половины, и так до бесконечности.

ПАРАДОКС «СТРЕЛА».Наиболее известная апория Зенона, представляющая интерес и для современной методологии познания. Аристотель сформулировал ее следующим образом. Если всегда всякое тело покоится, когда оно находится в равном себе месте, а перемещающееся тело в момент «теперь» всегда находится в равном себе месте, то летящая стрела неподвижна. Это заключение вытекает из определения, что время слагается из отдельных «теперь».

Эту апорию Зенона можно более прозрачно пояснить на примере парадокса изменения. Предположим, что объект изменяется во времени. Изменение есть переход объекта из одного состояния в другое, последующее во времени. Время определяется последовательностью своих моментов. Каждому состоянию объ­екта соответствует конкретный момент времени. Момент неделим, поэтому в нем невозможен переход. Отсюда следует, что объект в любой момент времени остается неизменным. А так как в определении времени не предполагается ничего, кроме моментов, то объект не изменяется.

Можно, конечно, вслед за Аристотелем отвергать определение времени в терминах моментов и утверждать, что время состоит из множества «отрезков» или, говоря современным языком, интервалов. Однако, если принять интер­вальную концепцию времени и полагать, что время исчерпывающе определя­ется последовательностью интервалов, можно в рассуждении прийти к новой апории.

ПАРАДОКС «Бессмертие Сократа».Известен по текстам Секста Эмпирика ^в следующей формулировке. Если умер Сократ, то он умер или когда жил, или когда умер. Если когда жил, то он не умер, так как один и тот же человек и жил бы, и был мертв; но и не тогда, когда умер, ибо он был бы дважды мертвым. Стало быть, Сократ не умер.

ПАРАДОКС ВОЗНИКНОВЕНИЯ.Апория приписывается Аристотелем и Диа-^геном Лаэртским Пармениду, учителю Зенона. В общей формулировке она пред-^ставляет следующее рассуждение, Возикновение, уничтожение и изменение есть °Дин из переходов: не-сущего в сущее, сущего в не-сущее либо сущего в сущее. ^° любой из этих переходов невозможен. Из не-сущего не может возникнуть134

Основы логики с задачами и упражнениями

сии. Отсюда «софист» в негативном значении - это человек, готовый с помощью любых, в том числе недозволенных приемов отстаивать свои убеждения, не считаясь с тем, истинны они на самом деле или нет.

Обычно софизм обосновывает какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадокс. Приемом может служить ставший еще в древности знаменитым софизм «Рогатый»: «Что ты не терял, то ты имеешь; рога ты не терял; значит, у тебя есть рога». Другой пример «Сидящий встал». Кто встал, тот стоит; следова­тельно, сидящий стоит».

Все эти и подобные им софизмы являются логически неправильными рас­суждениями, выдаваемыми за правильные. Нетрудно заметить, что в софизме «Рогатый» обыгрывается двусмысленность выражения «то, что не терял». Оно может означать как «то, что не имел — потерял», так и «то, что не потерял, неза­висимо оттого имел или нет». В посылке «Что ты не терял, то имеешь» выражение «то, что не терял» должно означать «то, что имел и не потерял», иначе эта по­сылка окажется ложной. Но во второй посылке это значение уже не подходит: высказывание «Рога - это то, что ты имел и не потерял» является ложным.

В софизме «сидящий стоит» подмена одного выражения другим проходит почти незаметно из-за сокращенной формы рассуждения. О том, кто встал, действительно можно сказать, что он стоит. Но о сидящем неверно утверждать, что он тот, кто уже встал.

Самым знаменитым в древности был софизм Эватла.

Софизм «Тяжба».Эватл пришел для обучения софистике к Протагору, основателю школы софистов. Надо сказать, что софисты в это время успешно действовали в судопроизводстве, основным критерием которого был выигрыш в судебном споре. Договорились, что Протагор получит за обучение деньги сразу же, как только Эватл выиграет свой первый судебный спор. Но, то ли Эватл разочаровался в судопроизводстве, то ли пожалел денег, он не стал заниматься судебной практикой и ограничился участием в спорах на площадях.

Желая получить плату за обучение, Протагор решил обратиться в суд, раз­мышляя следующим образом: «Если суд признает вину Эватла, он заплатит мне по решению суда. Если же не признает, то по условиям договора». Узнав об этом, Эватл подумал: «Чудак этот Протогор. Ведь суд обяжет меня к уплате, то я про­играю первый спор и не буду платить по условию договора. Если же суд решит, что я не должен платить, я не буду платить по решению суда».

Как разрешается этот спор? Эватл нарушает закон тождества, подменив понятие «юрист» понятием «ответчик» (обвиняемый). Как юрист, выигравший свой первый процесс, он обязан платить по договору, как ответчик, выигравший этот процесс, он не обязан уплатить. Если, будучи ответчиком, он проиграет процесс, то договор с Протагором теряет силу: в договоре речь шла о юристе, а не об ответчике.

Софизм «Крокодил и мать».Крокодил украл у одной матери ребенка, и мать стала просить крокодила, чтобы то вернул ей похищенное дитя. Немного подумав, крокодил выдвинул условие.

Классические парадоксы, софизмы, логические задачи и упражнения 13 5

— Я верну ребенка, — сказал крокодил, - Если ты правильно угадаешь верну я тебе его или нет.

— Ты никогда не вернешь мне моего ребенка, — вздохнула несчачтная мать.

— Верно, — ответил крокодил. - Ведь если ты говоришь правду, то я не верну тебе ребенка, считаясь с твоими же словами. А если ты не угадала, то я не верну ребенка по условию.

Софизм «Матьи сын».Этот софизм схож с двумя предыдущими.

— Не лги и не говори правду: лучше помолчи, — поучала мать сына. - Ведь если ты станешь лгать, тебя будут презирать боги, а если ты будешь говорить правду, тебя возненавидят люди.

— Наоборот, — ответил сын, — лучше говорить неважно что, правду или ложь. Если говоришь правду, то меня полюбят боги, а если лгать, то меня будут

любить люди.

Софизм «Покрытый».На стуле сидит человек покрытый покрывалом.

— Ты знаешь этого человека, который сидит перед тобой?

— Нет.

— Это твой отец, значит ты не знаешь своего отца. Софизм неопознанного знания.

— Знаешь ли ты, о чем я хочу тебя спросить?

— Нет. .- ■■■■■'■

— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?

— Знаю.

— Об этом я тебя и хотел спросить. Значит, ты не знаешь того, что знаешь. Софизм «Вор».Вор не желает приобрести ничего плохого. Приобретение

хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает только хорошего.

Софизм «Лекарство». Лекарство употреблять полезно. Чем больше пользы, тем лучше. Значит, чем больше употреблять лекарства тем лучше.

Софизм «Побитая собака». На улице гуляет собака со щенятами.

— Это твоя собака? Зачем ты ее бьешь?

— Моя, поэтому хочу — бью, хочу - не бью.

— Эта собака со щенками, она мать или отец. Это твоя собака. Следовательно, ты бьешь свою мать или своего отца.

Софизм «Живая стена».Если стена не дышит, поэтому она не живая, то она дышала бы, если бы была живой. Но насекомые не дышат, а все же - живые существа. Поэтому стена не потому не дышит, что она не живое существо. Сле­довательно, стена живое существо, хотя и не дышит.

Софизм «смертельное обучение».Если ты учишь кого-то, то хочешь, чтобы ученик перестал быть невеждой и стал мудрым. Значит, ты хочешь, чтобы ученик перестал быть тем, что он есть сейчас. Но, по определению, переход из бытия в не-бытие есть уничтожение. Следовательно, обучая ученика, ты его хочешь

уничтожить.

Софизм «Статуя».Эта статуя - художественное произведение. Но эта статуя принадлежит тебе. Следовательно, это твое художественное произведение. 136

Основы логики с задачами и упражнениями

Силлогистические софизмы.

1. Боязливый к прекрасному полу - трус. Логик - далеко не боязлив в жизни.

Логик не боится женщин. 2. Прекрасная половина человечества обладает женской логикой. Апполон прекрасен.

Поэтому Апполон имел женскую логику 3. Только в споре рождается истина.

Никто не станет спорить, кроме глупца или мошенника.

Значит, лишь глупец или мошенник может постич истину. 4. Не всякий любитель насилия любит своих детей. Только политики верят в пользу насилия.

Следовательно, некоторые политики не любят своих детей. 5. Этот политик-лжец. Все лжецы болтливы.

Следовательно, существуют болтуны, занимающиеся политикой. 6. Если ты веришь в себя, то ты человек. Ни один человек не верит политикам.

Следовательно, ни один политик не верит в себя.

Задача 1.

«Портной»

Портной имеет кусок сукна 16 метров, от которого он отрезает ежедневно по 2 метра. По истечению скольких дней он отрежет последний кусок?

Задача 2.

Студенты-практиканты на различных уроках ставили перед учениками сле­дующие вопросы. Какие дефекты имеют место при постановке вопросов?

1. На что делится имя прилагательное?

2. Какие вы знаете наречия?

3. В чем значение закона о мышлении? 4. Чем измеряется длина? 5. От чего зависит робота силы в электростатическом поле?

Задача 3.

Буддийский монах

Однажды рано утром один буддийский монах начал подъем на высокую гору. Он шел весь день с разной скоростью, уставал, отдыхал и обозревал окрестности. К вечеру он поднялся на вершину.

Классические парадоксы, софиты, логические задачи и упражнения 137

После нескольких дней молитв, поста и размышлений о смысле жизни он также рано утром начал спуск по пути подъема. Спускался он тоже с неравно­мерной скоростью и закончил спуск к обеду.

Докажите, что на пути подъема и спуска есть точка, которую монах проходит в одно и тоже время суток.

Задача4.

Книжный червь.

На книжной полке стоят два тома: первый и второй. Они стоят обычным спо­собом: слева первый, справа второй, стоят корешками к нам. Толщина первого тома — 8 см без обложки, толщина второго тома — 11 см без обложки. Толщина каждой обложки — 0,25 см.Книжный червь прогрыз норку от первой страницы первого тома, до последней страницы второго тома. Какова длина норки, если иметь ввиду, что норка строго прямая?

Задача5.

Точка на карте

Представим себе на карте Земли точку А. Движемся от нее строго на юг сто миль, затем строго на восток сто миль, потом строго на север сто миль и снова оказываемся в точке А.. Существует ли такая точка и где она находится?

Существует ли точка В_г для которой выполняются аналогичные условия? Докажите также, что таких точек довольно много.

Задача б.

Голландский банк

В одном голландском банке к концу дня финансовых операций оказалось 81 золотая монета достоинством по 20 гульденов каждая. Кассиру сообщили, что одна монета фальшивая и она весит на один грамм меньше, чем настоящая. В распоряжении кассира весы, с помощью которых можно уравновешивать грузы без гирек.

Сколько минимально ему потребуется взвешиваний, чтобы отыскать фаль­шивую монету?

Задача 7.

Дробь

Может ли дробь, в которой числитель меньше знаменателя, быть равной

дроби, в которой числитель больше знаменателя?

Задача 8.

Английский путешественник

Один английский путешественник оказался в незнакомой стране, населен­ной двумя племенами: лжецами и правдолюбцами. Он повстречал двух абори­генов, представляющих два этих племени: короткого и длинного. Он спросил138

Основы логики с задачами и упражнениями

длинного: «Вы всегда говорите правду?». Длинный понял вопрос, но ответил на своем языке: «Бамбарбия кургуду!». Короткий при этом пояснил: «Он сказал да, но он отчаянный лжец». Кто есть кто?

Задача 9.

Гусеница.

В шесть часов утра в воскресенье гусеница начала вползать в дерево. В тече­ние всего дня, т.е. до 18 часов, она вползла на высоту 5 метров, а в течение ночи спустилась на 2 метра. В какой день и час она вползает на высоту 9 метров.

Задача 10.

Три деревни.

На одном острове есть три деревни: Правдиво (ее жители говорят правду, только правду и ничего кроме правды), Кривдино (ее жители отчаянные лжецы) и деревня Середина-Наполовину (жители этой деревни говорят всегда половину правды, половину лжи, вернее, каждое их высказывание состоит из двух таких половин).

Три эти деревни обслуживает одна пожарная команда. Поздно ночью дежур­ного пожарника разбудил телефонный звонок. Взволнованный голос сообщил ему:»Приезжайте скорее, у нас пожар!» — «Откуда вы звоните?» — осведомился пожарник. «Из деревни Середина-Наполовину», — последовал ответ, и связь прервалась.

Что делать пожарнику, если иметь в виду отсутствие связи и возможности прояснить ситуацию другим способом, кроме как логическим рассуждением?

Задача 11.

Во время шторма.

Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешитель­ности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так: матросы расставят все 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый девятый тюк, пока не выбросим 15 тюков» Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами этого купца. Как были расставлены тюки?

Задача 12.

Беглый преступник, идя по безлюдной местности, вдруг увидел, что навстре­чу ему едет машина, битком набитая полицейскими. Преступник бросился наутек, но прежде чем скрыться в лесу, 20 метров он бежал навстречу полицейским. Он хотел этим выразить им свое призрение к ним или у него были на этот счет более основательные причины.

Классические парадоксы, софизмы, логические задачи и упражнения 13 9

Решение: 1.

Портной

Последний кусок будет отрезан по истечению семи дней.

Решение: 2.

Вопросы носят неопределенный характер, из-за чего они дополняют раз­личные ответы.

I) Неясно, что имеется в виду — деление понятия « прилагательное» или расчленение слов, являющиеся прилагательными. 2) Неясно, что имеется в виду — виды наречий или отдельные примеры наречий.

3) Неясно, какое значение и для чего имеется в виду.

4) Смещенные приборы, измеряющие длину, и единицы измерения. 5) Работа силы не зависит от большего числа обстоятельств.

Решение: 3.

Буддийский монах

Путь подъема и спуска один и то же. Начало подъема и спуска было утром. Нужно представить себе, что одновременно движутся: 2 монаха; один подни­мался в гору со скоростью подъема, другой, спускался, со скоростью спуска. Им

не разойтись. Где-то они обязательно встретятся. Это и есть та самая точка.

F

Решение: 4.

Книжный червь

Длина норки всего 0,5 см. В этом легко убедиться, поскольку первую стра­ницу первого тома и последнюю страницу второго тома разделяют лишь две обложки.

Решение: 5.

Точка на карте.

Первому условию удовлетворяет Северный полюс. Второму условию — такая точка, которая стоит от Южного полюса на расстоянии, чтобы пройдя 100 миль на Юг, можно было сделать полный круг на Восток и вернуться в точку, которой завершается 100-мильный отрезок пути. От него движемся строго на Север и оказываемся в исходной точке. Вторая точка связана с возможностью сделать 2 полных круга на Восток.

Решение: 6.

Голландский банк

Сделать 4 взвешивания. Разделить монеты на 3 кучки по 27 в каждую. Две кучки уравновесить на весах. При наличии в одной из них фальшивой монеты кучка будет легка. Если кучки будут одинакового веса, то фальшивая монета в оставшейся. Ее также разделить на три кучки по 9 монет и повторить процедуру, пока не выявится фальшивая монета. Для этого потребуется 4 взвешивания. 140

Основы логики с задачами и упражнен

----------------------------------------—.

Решение: 7.

Дробь.

Может, например: (-3): 6 = 5: (-10).

Решение:8.

Английский путешественник

1. Если длинный — лжец, то в ответ на вопрос он скажет «да». А если он

правдолюбец, то он тоже ответит «да». Значит, кем бы он ни был, он

всегда ответит «да».

2. Пусть длинный правдолюбец, тогда короткий лжец, тогда он не может подтвердить, что длинный сказал «да». Это противоречие дает право отклонить данную версию.

3. Длинный — лжец и на вопрос отвечает «да». Значит короткий -правдо­любец и он подтверждает это, говоря, что длиннный сказал «да», но он лжец. Так оно и есть.

Решение: 9.

Гусеница

В конце вторых суток, т.е. во вторник в 6 часов утра гусеница будет на вы­соте 6 метров; но в этот же день, начиная с шести часов утра, она до 18 часов может вползти еще на 5 метров. Следовательно, на высоте 9 метров, как легко рассчитать, она окажется во вторник в 13 часов 12 минут.

Решение: 10

Нужно рассуждать от противного. Из деревни Правдиво звонить не могли, ибо им не свойственно лгать, значит в Правдиво ехать для тушения пожара не нужно. Могли звонить из Кривдино, но и туда ехать нет нужды, поскольку он наверняка солгали про пожар.

Значит, звонили из деревни Середина-Наполовину. Они сказали правд] признавшись, что они из этой деревни, значит, вторая часть фразы о том что у них пожар, является ложью. Следовательно, пожарникам никуда ехаг не нужно.

Решение:11.

Начертим круг и, отметив на нем 30 палочек, поставим у каждой из них номер от 1 до 30. Теперь, начиная счет с цифры 1, перечеркиваем девятую палочку, затем восемнадцатую, затем двадцать седьмую и продолжаем счет, вычеркивая каждую девятую из незачеркнутых ранее палочек. Таким образом, будут перечеркнуты палочки с номерами 5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 18, 19,22,23,24,26,27, ЗО.Таким образом, купец просил матросов расставить тюки так:

4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 3 своих, 1 чужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.

Классические парадоксы, софизмы, логические задачи и упражнения

Решение:12

В момент обнаружения полицейских преступник находился на мосту и не мог свернуть. Причем он прошел большую часть моста. Чтобы свернуть в лес он был вынужден побыстрее пробежать оставшуюся часть моста. Поэтому он и побежал навстречу машине с полицейскими.

1. Необходимо определить понятие «Себялюбец»

Если обратиться к авторитету Аристотеля, то необходимые признаки «себя­любца» таковы: «быть человеком», «делать все ради самого себя», «иметь выгоду». Первый из них родовой, поэтому в качестве универсума выбираем класс людей. Дерево определения понятия «Себялюбец»:

а = «люди, делающие»

все ради самих себя не все ради самих себя

с выгодой без выгоды

(Себялюбцы)

Полное определение Аристотеля звучит так:

«Себялюбец - это тот, кто все делает ради самого себя в том, что приносит выгоду⁴². Нетрудно убедиться, что оно сконструировано правильно, т.е. истинно равенство dfd=dfn.

Привести суждение к нормальной форме: