Тема 5. Сложные суждения

Теория к задачам 19-23: Сложные суждения – это суждения, в котором можно выделить правильную часть, которая являлась бы самостоятельным суждением. Сложные суждения образуются из простых с помощью так называемых логических союзов (логических операций): «НЕВЕРНО, ЧТО» (отрицание), «И» (конъюнкция), «ИЛИ» (дизъюнкция), «ЛИБО, ЛИБО» (строгая дизъюнкция), «ЕСЛИ, ТО» (импликация), «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» (эквиваленция).

1. Логический союз «НЕВЕРНО, ЧТО» (отрицание). Обозначение: ØА. Можно читать «не-А». Пример: «Неверно, что Земля – шар». Это унарная операция, т.е. относящаяся к одному суждению. Остальные операции – бинарные, т.к. соединяют два суждения.

2. Логический союз «И» (конъюнкция). В предложениях конъюнкция может выражаться союзами «и», «а», «но», «да», «однако», «хотя» и т.д. Конъюнкцией можно также соединять предложения. Обозначение: Ù или &. Пример: «В корзине у Нелли лежат подберезовики и подосиновики». АÙВ или А&В.

3. Логический союз «ИЛИ» (дизъюнкция). Обозначение: Ú. Пример: «В корзине у Нелли лежат подберезовики или подосиновики». АÚВ. Эта дизъюнкция называется еще и слабой. В корзине у Нелли могут лежать одни подберезовики, или одни подосиновики, или то и другое вместе.

4. Логический союз «ЛИБО, ЛИБО» (строгая, сильная дизъюнкция). Обозначение: Ú. Пример: «В корзине у Нелли лежат либо подберезовики, либо подосиновики». АÚВ. В корзине у Нелли могут находиться либо одни подберезовики, либо одни подосиновики, но не оба вида грибов вместе.

5. Логический союз «ЕСЛИ, ТО» (импликация). Обозначение: ®, É. Пример: «Если через проводник проходит электрический ток, то проводник нагревается». Первая ситуация с необходимостью вызывает вторую. Суждения, выражающие подобные связанные ситуации, соединяются импликацией. Обозначим: А – «Через проводник проходит электрический ток», В – «Проводник нагревается». Символическая запись условного суждения: А®В или АÉВ. В этом случае суждение А называется основанием, а В – следствием.

6. Логический союз «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» (эквиваленция). Обозначения: º, «. Пример: «В нормальных условиях вода замерзает тогда и только тогда, когда температура опускается ниже нуля градусов по Цельсию». Символически такое суждение можно записать так: АºВ, или так: А«В. Первая ситуация с необходимостью вызывает вторую, а вторая ситуация с необходимостью вызывает первую. Суждения, выражающие подобные связанные ситуации, соединяются эквиваленцией.

Задача 19. Переведите на символический язык сложные суждения:

Пример:

«Если у человека много доброго и мало злого, то он – достойный муж. Если у человека ничего доброго и много дурного, то он – низкий человек» (Из наследия Чжан Чао).

Решение:

Обозначим: А – «У человека много доброго», В – «У человека мало злого», С – «Человек – достойный муж», D – «У человека много дурного», Е – «Человек – низкий».

((АÙВ)®С) Ù ((ØАÙD)®Е).

Теория к задачам 20-23. Таблицы истинности.

А) Напомним: суждение считается истинным, если оно соответствует действительности; и ложным, если оно не соответствует действительности. Например, «Уголь - черный» - истинное суждение, «Уголь - белый» - ложное суждение. Суждение А может быть истинным, или ложным. Если А – истинно, то отрицание А – ложно, и наоборот. Таблица истинности для отрицания ( I ):

А	ØА
И	Л
Л	И

Для остальных операций составим общую таблицу истинности (II):

А	В	АÙВ	АÚВ	АÚВ	А®В	АºВ
И	И	И	И	Л	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

Запомнить её легко, если понять, как она заполняется:

Конъюнкция А Ù В. «В корзине у Нелли лежат подберезовики и подосиновики». А – «В корзине у Нелли лежат подберезовики», В – «В корзине у Нелли лежат подосиновики». Тут может быть четыре варианта ситуаций. Рассмотрим эти ситуации – «смотрим в корзину». Первая ситуация: в корзине, действительно, есть подберезовики. – А - И; и, действительно, есть подосиновики В - И. Значит, общее суждение (АÙВ) будет истинным. Вторая ситуация: в корзине есть подберезовики, но нет подосиновиков: А – И, а В – Л. Значит, общее суждение, что лежат те и другие, - ложное. Третья ситуация аналогична второй. Четвертая ситуация: нет ни тех, ни других. Значит, общее суждение, что лежат те и другие – ложное. Итак, конъюнкция (АÙВ) истинна только в одном случае, если оба операнда (А и В) истинны. В остальных случаях (если хотя бы один из операндов ложен) конъюнкция ложна.

Дизъюнкция А Ú В. «В корзине у Нелли лежат подберезовики или подосиновики». Рассмотрим ситуации: 1) А-И, В-И. Значит АÚ В – истинно. 2) А-И, В-Л. Значит, АÚ В (лежат подберезовики или подосиновики) – истинно. 3) А-Л, В-И. Значит, АÚ В – тоже истинно. 4) А-Л, В-Л. Нет ни того, ни другого. Значит, АÚВ – ложь. Итак, дизъюнкция истинна, если хотя бы один операнд истинен. Дизъюнкция ложна, если только оба операнда ложны.

Строгая дизъюнкция А Ú В. «В корзине у Нелли лежали либо подберезовики, либо подосиновики». Рассмотрим ситуации: 1) А-И, В-И. Общее суждение в случае строгой дизъюнкции будет ложным. 2) А-И, В-Л. АÚ В –истинно. 3) А-Л, В-И. АÚ В –истинно. 4) А-Л, В-Л. АÚ В – ложь.

Импликация А®В. «Если через проводник проходит электрический ток, то проводник нагревается». Рассмотрим ситуации: 1) А-И (через проводник, действительно, проходит электрический ток), В – И (проводник нагревается). Общее суждение А®В будет истинным. 2) А-И (через проводник, действительно, проходит электрический ток), но В – Л (проводник не нагревается). Такая ситуация невозможна, поэтому А®В – ложь. 3) А-Л, В-И: А®В – считается истинным, потому что проводник может нагреваться и по другим причинам. 4) А-Л, В-Л: А®В – истина. Итак, импликация (А®В) истинна во всех случаях, кроме одного, когда основание (А) истинно, а следствие (В) ложно. В таком случае импликация ложна.

Эквиваленция АºВ. «В нормальных условиях вода замерзает тогда и только тогда, когда температура опускается ниже нуля градусов по Цельсию». Обозначим: А – «Вода замерзает», В – «Температура ниже нуля градусов». Рассмотрим ситуации: 1) А-И, В-И. Общее суждение будет истинным. 2) А - И, В -Л: Вода замерзает, а температура не ниже нуля градусов. А º В – ложно. 3) А - Л, В - И: А º В – ложно. 4) А - Л, В – Л (Вода не замерзает, температура не ниже нуля градусов): Общее суждение (А º В) – истинно, так как соответствует действительности.

Таблицы Iи II будут опорными для составления таблиц истинности к разным формулам.

Теория к задаче 21. Формула считается логическим законом (тождественно истинной формулой), если при любых интерпретациях переменной она принимает значение истина.

Задачи 20 и 21. Построить таблицы истинности. Определить, является ли выражение логическим законом.

Пример 1: Составить таблицу истинности для выражения: ((А®В) ÙØВ)®ØА.

Решение: Сначала определяем порядок выполнения операций. Ясно, что сначала мы можем вычислить значениях в столбцах (А®В) [1] и ØВ [2]. После конъюнкции (А®В) ÙØВ) [3] вычисляем ØА [4]. И затем вычисляем значения главного знака формулы - импликации ® [5] между (А®В) ÙØВ) [3] и ØА [4]. Для выполнения каждой операции смотрим в опорную таблицу истинности соответствующих операций. Например, третье действие – конъюнкция «(А®В)ÙØВ» [столбец 3] в первой строке интерпретаций принимает значение «Л», так как И [1] Ù Л [2] = Л.

Порядок операций ®
А	В	((А®В)	Ù	ØВ)	®	ØА
И	И	И	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	Л	И	И	Л
Л	И	И	Л	Л	И	И
Л	Л	И	И	И	И	И

Пример 2: Составить таблицу истинности для выражения

((А®В)Ù(ВÚС))®(АÚС). Определить, является ли выражение логическим законом.

Решение: Так как в данном выражении три суждения – А, В и С, то в таблице необходимо рассмотреть 8 интерпретаций значений переменных.

Порядок операций ®
А	В	С	((А®В)	Ù	(ВÚС))	®	(АÚС)
И	И	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	И	И
И	Л	И	Л	Л	И	И	И
И	Л	Л	Л	Л	Л	И	И
Л	И	И	И	И	И	И	И
Л	И	Л	И	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	Л	Л	И	Л

В главном знаке (столбец 5) выражение принимает значение «ложь» в шестой строке интерпретаций. Поэтому данная формула не является логическим законом.

Теория к задаче 22. Законы пронесения отрицания

Ø (А Ù В) º ØА Ú ØВ; Читается: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний.

Ø (А Ú В) º ØА Ù ØВ;

Ø (А ® В) º А Ù ØВ;

Ø Ø А º А.

Задача 22. Произведите отрицание данного суждения, используя законы пронесения отрицания:

Пример 1: «Он был летом то ли на Щучьем озере, то ли на Гусином озере».

Ø (А Ú В) º ØА Ù ØВ;

Решение: «Неверно, что он был летом то ли на Щучьем озере, то ли на Гусином озере» эквивалентно «Он не был летом ни на Щучьем озере, ни на Гусином озере».

Пример 2: «Если воду охлаждать, то ее объем уменьшится».

Ø (А ® В) º А Ù ØВ;

Решение: «Неверно, что если воду охлаждать, то ее объем уменьшится» эквивалентно «Воду охлаждали, но ее объем не уменьшился».

Теория к задаче 23. Для решения многих логических задач необходимо выяснить: является ли одна формула логическим следствием других.

Определение: Из множества формул F1, F2, …Fn логически следует формула F, тогда и только тогда, когда импликация (F1ÙF2Ù…ÙFn)®F – является логическим законом.

Пример: Пусть формула F1 - АÙВ, а F - АÚВ. Определить, следует ли из F1 формула F.

Составим таблицу истинности для формулы (АÙВ) ® (АÚВ):

Порядок операций ®
А	В	(АÙВ)	®	(АÚВ)
И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И
Л	И	Л	И	И
Л	Л	Л	И	Л

Импликация (здесь: главный знак формулы) всегда принимает истинное значение. И, так как импликация F1®F2 является логическим законом, значит, из формулы F1 логически следует формула F.

Сокращенный метод. Для установления иногда вместо составления таблиц истинности удобнее применять сокращенный метод – рассуждение от противного. Допустим, формула (Ф1®Ф2) не является логическим законом, т.е. она принимает значение ложь при какой-нибудь интерпретации ее аргументов. Тогда в этом случае формула Ф1 должна принимать значение истина: (АÙВ) = И, а Ф2 – ложь: (АÚВ) = Л. Из первой формулы следует, что А=И и В=И, а из второй формулы следует, что хотя бы один из аргументов (А или В) должен принимать значение ложь. Пришли к противоречию. Значит, нет таких интерпретаций аргументов А и В, при которых эта формула принимает значение ЛОЖЬ. Значит, формула (Ф1®Ф2) всегда истинна. Если бы нашлись такие А и В, при которых не было противоречия, то данная формула не была бы тождественно истинной (логическим законом), а значит, не было бы отношения логического следования.

Задача 23*: Правильно ли построено рассуждение?

Пример: Если Паркинсонс был в Чикаго, то он не мог быть в это время в Детройте, а значит, совершить это преступление. А он не был в Чикаго в это время. Значит, он мог совершить преступление.

Решение: Запишем рассуждение на символическом языке:

((А®ØВ) Ù (ØВ®ØС)ÙØА)®С.

Если данная формула является логическим законом, значит, рассуждение правильное. Для того, чтобы проверить является ли формула логическим законом, можно построить таблицу истинности или применить сокращенный метод. Нетрудно определить, что формула рассуждения не является логическим законом, а значит, такое рассуждение неправильное.

Тема 6. Основные законы мышления.

Теория к задаче 24: Основные законы мышления называются так, потому что их выполнение важно в любом процессе мышления. Первые три закона сформулировал Аристотель. А четвертый был сформулирован Г. Лейбницем.

1. Закон тождества: «Всякая мысль в процессе рассуждения должна оставаться тождественной самой себе».

Символическая запись: АºА.

Выполнение данного закона предохраняет нас от двусмысленности, неточного употребления терминов, подмены одного предмета размышления другим.

Ошибки:

А) Амфиболия – двусмысленность. /«Ученики прослушали разъяснения учителя»; «Из-за рассеянности шахматист не раз на турнирах терял очки»; «Утром все получили наряды»/.

Б) Подмена понятия может возникнуть из-за невнимательности, непреднамеренно, когда мы ошибочно отождествляем различные понятия. Например, вместо того, чтобы сказать: «Юрий на новой работе сможет получить квартиру», мы говорим: «Юрий на новой работе получит квартиру». Ясно, что понятие «возможности получения квартиры» не равнозначно понятию «получения квартиры». К сожалению, достаточно часто подмена понятия применяется преднамеренно. Например, иногда некоторые кандидаты в депутаты обещают помочь, например, в получении жилья своим избирателям, а помогают лишь себе и своим близким. Уловки иногда демонстрируют дети. Данзан спрашивает у мамы: - «Кошки боятся собак?». – «Да». – «А ведь львы – это кошки. Значит, львы боятся собак». Здесь налицо сочетание амфиболии и подмены понятия.

В) Путаница в понятиях.

/ Пример из «Алисы в стране чудес» Л. Кэрролла: «Герцогиня терлась возле Алисы, приговаривая:

- Ты не обижаешься, что я не обнимаю тебя? У твоего фламинго такой опасный клюв! Но если ты настаиваешь, то я рискну!

- Нет, нет, он и вправду может клюнуть! – сказала Алиса, потихоньку отодвигаясь от назойливой Герцогини.

- И то правда! - Подхватила Герцогиня. – Фламинго кусается не хуже горчицы. И из этого следует мораль: у каждой птички свои привычки.

Алиса тем временем размышляла вслух:

- Птица не горчица, а горчица не птица. Кажется, горчица – минерал.

- Конечно, минерал, - подтвердила Герцогиня. – Минерал огромной взрывчатой силы. Из нее делают мины и закладывают при подкопах… А мораль отсюда такова: хорошая мина при плохой игре – самое главное!

- Вспомнила, - сказала вдруг Алиса. – Горчица – это овощ. Правда, на овощ она не похожа – и все-таки овощ!

- Я совершенно с тобой согласна – сказала Герцогиня. – А мораль отсюда такова: всякому овощу свое время» /.

2. Закон непротиворечия: «Два противоположных или противоречащих суждения об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время, в одном и том же отношении не могут быть вместе истинными».

Символическая запись: Ø(АÙØА).

Проще говоря, нельзя утверждать два противоречащих или противоположных суждения, нельзя себе противоречить. Например, в одно и то же время, в одном и том же отношении нельзя утверждать, что некое озеро глубокое и мелкое /противоположность/, как и нельзя утверждать, что озеро глубокое и неглубокое /противоречие/. Или утверждать: «Все пошли в кино» и в то же время: «Никто не пошел в кино» /противоположность по логическому квадрату/, как и нельзя утверждать: «Все пошли в кино» и «Некоторые не пошли в кино» /противоречие по логическому квадрату»/.

/Пример: Однажды Ходжа Насреддин попросил своего богатого и скупого соседа дать ему на время котел. Сосед дал, хотя и неохотно. Возвращая котел хозяину, Насреддин вместе с ним дал еще и кастрюльку, сказав, что эту кастрюльку родил котел. Сосед согласился с таким объяснением и кастрюльку взял. В следующий раз Насреддин вновь взял котел, но уже не вернул. А когда сосед потребовал котел обратно, то ответил: «С удовольствием вернул бы тебе котел, да не могу, потому что он умер». – «Как! – возмутился сосед, что ты говоришь чепуху – разве котел может умереть?» - «Отчего же котел не может умереть, если он может родить кастрюльку?»./

3. Закон исключенного третьего: «Два противоречащих суждения не могут быть вместе ложными: одно из них истинно, другое – ложно, а третьего не дано». Проще говоря, нельзя отрицать два противоречащих суждения. Символическая запись: АÚØА.

Два противоположных суждения могут одновременно ложными /«Озеро глубокое» и «Озеро мелкое»/, а два противоречащих суждения не могут быть вместе ложными /«Озеро глубокое» и «Озеро неглубокое»/.

/Пример нарушения закона исключенного третьего: «Нельзя сказать, что это деяние – преступление. Как и нельзя сказать, что это деяние не является преступлением»./

4. Закон достаточного основания: «Ни одно суждение не может быть признано истинным без достаточного обоснования».

Закон направлен против бессвязных, хаотичных, бездоказательных рассуждений. Закон достаточного основания – враг всяких догм, суеверий, предрассудков.

/Примеры: «Черная кошка перешла мне дорогу, значит, мне не стоит ходить на экзамен». «Смородников был в квартире в тот день, когда была обнаружена пропажа драгоценностей. Значит, он – вор»/.

Тема 7. Непосредственные умозаключения

Теория к задаче 25: Непосредственные умозаключения – это умозаключения, сделанные из одной посылки.

1. Обращение - преобразование простого суждения путем перестановки его субъекта и предиката местами. При этом качество его не меняется, а количество может измениться. Суждения типа А обращаются в суждения типа I. /А: «Все адвокаты – юристы» - I: «Некоторые юристы – адвокаты»/. Исключение составляет случай, когда субъект и предикат – равнозначные понятия. В этом случае А обращается в А /А: «Все мужчины – сыновья» - А: «Все сыновья – мужчины»/. Суждения типа I обращаются в суждения типа I, если субъект и предикат находятся в отношении перекрещивания /I: «Некоторые спортсмены – студенты» - I: «Некоторые студенты – спортсмены»/. Исключение составляет случай, когда субъект и предикат находятся в отношении подчинения. В этом случае I обращается в А /I: «Некоторые юристы – адвокаты» - А: «Все адвокаты – юристы»/. Суждения типа Е обращаются в суждения типа Е /Е: «Ни один кит – не рыба» - Е: «Ни одна рыба – не кит»/. Частноотрицательные суждения типа О не обращаются /если мы попытаемся поменять местами субъект и предикат в суждении «Некоторые мужчины не есть женатые», то получится абсурдное предложение/.

2. Превращение – это преобразование суждения путем введения двойного отрицания – первый раз перед связкой, а второй – перед предикатом. При этом количество не меняется, а качество меняется /А: «Все адвокаты – юристы» - Е: «Ни один адвокат не есть не юрист»; I: «Некоторые грибы несъедобные» – О: «Некоторые грибы не есть съедобные»; Е: «Ни один кит – не рыба» - А: «Все киты есть не рыбы»; О: «Некоторые грибы не есть съедобные» - I: «Некоторые грибы несъедобные»/.

3. Противопоставление субъекту – это преобразование суждения путем последовательного обращения, а затем превращения. При этом предикатом полученного суждения, становится понятие, противопоставленное субъекту исходного суждения.

4. Противопоставление предикату – это преобразование суждения путем последовательного превращения, а затем обращения. При этом субъектом полученного суждения становится понятие, противоположное предикату исходного суждения.

Задача 25. Построить непосредственные умозаключения - обращение, превращение, противопоставление субъекту и противопоставление предикату.

Пример: «Студенты любят разные развлечения».

Решение: Перед тем как производить преобразования, необходимо представить простое суждение в стандартной форме «(все, некоторые) S (не) есть P», определить его тип (A, I, E, O). В данном случае стандартная форма – «Некоторые студенты есть любящие разные развлечения» («Некоторые S есть P»). Суждение типа I.

Обращение: Учитывая, что субъект и предикат находятся в отношении перекрещивания, меняем их местами. «Некоторые любящие разные развлечения есть студенты». Суждение типа I.

Превращение: Вводим двойное отрицание в исходное суждение - перед связкой и перед предикатом. «Некоторые студенты не есть не любящие разные развлечения». Суждение типа О.

Противопоставление субъекту: Смотрим на обращенное суждение и производим его превращение. «Некоторые любящие разные развлечения не есть не студенты». Суждение типа О.

Противопоставление предикату: Смотрим на превращенное суждение. Суждения типа О не обращаются.