Перевод неправильных дробей из одной системы счисления в другую

Если число - неправильная дробь, то в этом случае отдельно переводят целую часть числа и отдельно его дробную часть по изложенным выше правилам. Второй результат приписывают справа к первому, разделив их запятой.

Пример.

Перевести десятичное число 75,364 в двоичную систему счисления, т.е.

75,364₍₁₀₎ (2).

Перевод целой части: Перевод дробной части:

Операция Частное Остаток Операция Целая Дробная

Часть часть

75 : 2 = 37 + 1 0,364 х 2 = 0, 728

37 : 2 = 18 + 1 0,728 х 2 = 1, 456

18 : 2 = 9 + 0 0,456 х 2 = 0, 912

9 : 2 = 4 + 1 0,912 х 2 = 1, 824

4 : 2 = 2 + 0 0,824 х 2 = 1, 648

2 : 2 = 1 + 0 0,648 х 2 = 1, 296

1 и т.д.

Результат перевода неправильной дроби с точностью :

75,364₍₁₀₎=1001011,010111₍₂₎.

Частный случай перевода чисел

Из одной системы счисления в другую

Особенно просто перевод чисел из одной системы счисления в другую осуществляется для таких систем, у которых основание одной системы является целой степенью основания другой системы. Выше были рассмотрены две такие системы: двоичная и восьмеричная, у которых соотношения оснований , и двоичная и шестнадцатеричная, у которых соотношения оснований .

Пусть и - соответственно основания двух позиционных систем счисления, причем ( - целые числа). Требуется перевести число из -ичной системы в -ичную систему и, наоборот, из -ичной в -ичную систему счисления.

Правила перевода.Для перевода произвольного числа из -ичной системы в -ичную необходимо каждую цифру числа в -ичной системе заменить ее

- значным изображением в -ичной системе счисления.

Для перевода произвольного числа (в общем случае неправильной дроби) из -ичной системы счисления в -ичную необходимо цифры числа слева и справа от запятой разбить на группы по цифр в каждой, дополнив, если это необходимо, крайнюю левую и крайнюю правую группы нулями до цифр в группе и заменив каждую такую - значную группу цифрой в -ичной системе счисления.

Изложенные правила поясним на примерах перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно.

Основание восьмеричной системы . Основание двоичной системы . Откуда следует, что , т.е. .

Таким образом, для перевода произвольного восьмеричного числа в двоичную систему счисления следует каждую восьмеричную цифру заменить соответствующим ей трехзначным двоичным числом.

Пример.

Восьмеричное число равно двоичному числу , т.к. 7=111, 4=100, 3=011, 5=101, 6=110, 1=001.

Для перевода произвольного двоичного числа в восьмеричное систему счисления необходимо, начиная от запятой, разделяющей число на целую и дробную части, влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих двоичное число, на тройки цифр. Каждое полученное трехзначное двоичное число отдельно перевести в восьмеричную систему счисления. Если правая и левая группы цифр будут не полными тройками, то их следует дополнить соответственно справа и слева нулями.

Пример.

Двоичное число после дополнения его справа и слева нулями до полных троек имеет вид: (001) (101) (110), (011) (111) (010). Эта запись равна восьмеричному числу .

Аналогичные преобразования справедливы для перевода двоичных чисел в шестнадцатеричные и наоборот.

Пример.

Двоичное число после разбивки его на тетрады слева и справа от запятой принимает вид: (1110) (1101) (1001), (1100) (0111) (1111). Эта запись равна шестнадцатеричному числу .

Пример.

Шестнадцатеричное число в двоичной системе имеет следующий вид: .

Для перевода чисел из восьмеричной системы с счисления в шестнадцатеричную и наоборот необходимо использовать в качестве промежуточной двоичную систему счисления.