Оценка погрешности (неопределенности) результата однократного измерения

Выполнение однократных измерений обосновывают следующими факторами:

-производственной необходимостью (разрушение образца, невозможность повторения измерения, экономическая целесообразность и т.д.);

-возможностью пренебрежения случайными погрешностями;

-случайные погрешности существенны, но доверительные границы погрешности результата измерения не выходят за границы допустимой погрешности измерений.

Для определения погрешности (неопределенности) измерения на стадии выбора метода и средств измерений используют расчетные, экспериментальные или расчетно-экспериментальные методы.

Расчетные методы оценивания погрешности (неопределенности) измерений применяют в тех случаях, когда нет условий для реализации экспериментальных методов. Они также предпочтительны при наличии исходной информации, достаточной для получения результатов расчета с необходимой точностью.

Экспериментальные методы оценивания погрешности (неопределенности) измерений могут быть применены при выполнении следующих условий:

- наличие средств измерений величины, погрешность которых можно считать несущественной в реальных условиях эксперимента по оцениванию погрешности измерений;

- возможность создать все существенные комбинации внешних влияющих величин и значений самой измеряемой величины, определенные заданными условиями измерений.

В результате эксперимента получают «статистические оценки» погрешности (неопределенности) измерений или ее составляющих, относящиеся к конкретным объекту измерений, экземплярам средств измерений, значениям влияющих величин и т.п.

Прямое экспериментальное оценивание погрешности (неопределенности) измерений в реальных (производственных) условиях измерений, как правило, неосуществимо, например, из-за отсутствия средств измерений необходимой точности, способных работать в этих условиях, и других ограничений. В производственных условиях экспериментальным способом можно оценить погрешность (неопределенности) лишь части измерительного канала, т.е. некоторые составляющие погрешности измерений.

Следует принять во внимание, что экспериментальное оценивание дает приближенные результаты из-за невозможности полностью выполнить приведенные выше условия.

Наиболее рациональным подходом оценивания погрешности (неопределенности) измерений является расчетно-экспериментальный метод.

Алгоритм расчетно-экспериментального оценивания приведен в РМГ 62-2003 «Рекомендации по межгосударственной стандартизации ГСИ. Обеспечение эффективности измерений при управлении технологическими процессами. Оценивание погрешности измерений при ограниченной исходной информации».

Рассмотрим расчетный метод оценивания погрешности (неопределенности) однократных измерений.

Оценку возможного отклонения экспериментального значения величины от истинного значения производят на основании априорной информации о величинах, входящих в правую часть формулы

Δ = Δ _СИ + Δ _М + Δ _Л (17)

Исходной информацией для выполнения вычислений являются данные об измеряемой величине, условиях измерения и источниках погрешности измерения, характеристики предварительно намеченного средства измерений (одного или нескольких), другая информация отмеченная выше.

Инструментальная составляющая погрешности Δ _СИ вычисляется на основе нормируемых метрологических характеристик средств измерений (см. раздел 2.3). Наличие методической составляющей погрешности Δ _М устанавливается на основе анализа обстоятельств, обусловленных влиянием:

-изменения параметров функции преобразования;

-способов применения средств измерений;

-других факторов, не связанных со свойствами используемых средств измерений;

-взаимодействия средства измерений с объектом измерения или средств измерений между собой и др.

Источником методической погрешности (неопределенности) может быть неполная реализация спецификации измеряемой величины. (Причины возникновения методической погрешности были приведены ранее в разделе 1.4).

Характеристики личной погрешности Δ _Л определяют на основе нормированной номинальной цены деления шкалы измерительного прибора (или диаграммной бумаги регистрирующего прибора) выбранного типа с учетом способности «среднего» оператора к интерполяции в пределах деления шкалы. По разным оценкам [1, 9, 16, 28] значение личной погрешности составляет 0,2…0,3 (не более 0,5) цены деления шкалы прибора.

Алгебраическую сумму величин, входящих в формулу (17), называют пределом погрешности измерений, а применительно к результату измерений пределом расширенной неопределенности. Алгебраическое суммирование дает завышенную оценку и может явиться причиной невыполнения неравенства (14).

Рекомендации Р 50.2.038 – 2004 «ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешности и неопределённости результата измерений» предлагают суммировать составляющие погрешности измерений как случайные величины.

Для вычисления характеристик результата измерений Рекомендации предусматривают два подхода: традиционный, предусмотренный нормативными документами РФ по метрологии и европейский, приведенный в «Руководстве по выражению неопределенности измерений» [24]. Традиционный подход основан на понятии погрешность измерений, европейский подход базируется на понятии неопределенность измерений.

Согласно рекомендациям РМГ 43-2001 «ГСИ. Применение «руководства по выражению неопределенности измерений» [21] неопределенность измерений – параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине.

Оценка погрешности измерений. Исходные данные для вычисления погрешности результата измерений могут быть представлены неисключенными систематическими и случайными погрешностями.

Выявленные систематические погрешности исключают введением поправок и далее о них речь не идет.

К неисключенным систематическим погрешностям (НСП) относят: погрешности средств измерений, применяемых по классам точности; погрешности определения действительных значений метрологических характеристик при калибровке или градуировке; погрешности определения поправок на систематические эффекты; погрешности (неопределенности) коэффициентов или констант, используемых при вычислениях и др.

Неисключенные систематические погрешности рассматривают как случайные величины. Это допущение имеет следующие основания. При применении средств измерений по классам точности, во-первых, значение погрешности конкретного средства измерений в пределах, определяемых классом точности, является случайной величиной. Во-вторых, применительно к диапазону показаний средства измерения, намеченному для использования, значение его погрешности не является константой.

В качестве примера ниже приведены значения поправок к показаниям термометра в нескольких точках шкалы, установленные при калибровке.

Точка шкалы, ^оС 0 50 60 70 80 90 100

Поправка, ^оС +0,05 +0,1 +0,1 +0,1 +0,1 +0,08 -0,05

Для случайных погрешностей, если нет другой информации, принимают нормальный закон распределения [2, 17], для НСП – закон равной вероятности.

Случайные погрешности могут быть заданы средним квадратическим отклонением S_j или доверительными границами ±ε(P), неисключенные систематические погрешности - границами ±Θ_j или доверительными границами ±Θ_j (P_j). Для НСП принимают равновероятностный закон распределения

Неисключенная систематическая составляющая погрешности измерений, в зависимости от способа представления исходных данных, может быть вычислена по формулам

(18)

или

(19)

где k, k _j - поправочные коэффициенты, принимаемые равными 1…1,43 в зависимости от доверительной вероятности и числа неисключенных систематических погрешностей m (см. [2]). Для определения доверительных границ погрешности измерения, как правило, принимают вероятность, равную 0,95 (k=1,1).

При числе неисключенных систематических погрешностей не более трех возможна ситуация, когда результат вычислений по формулам (18) или (19) окажется больше их алгебраической суммы. В этом случае суммирование НСП осуществляют алгебраически.

Среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности измерения будет равно

(20)

Здесь n – число суммируемых случайных погрешностей.

Если случайные погрешности представлены доверительными границами, соответствующими разным вероятностям, среднее квадратическое отклонение результата измерения вычисляют по формуле

(21)

Доверительные границы случайной составляющей погрешности будут равны

ε(P)=Z _P/2∙S , (22)

где Z_P/2– аргумент нормированной функции Лапласа, равной Р/2. При доверительной вероятности Р = 0,95 Z_0,95/2 принимают равным 2, при Р = 0,99 Z_0,99/2 = 2,6 [17].

В МИ 1317-2004[10] для приближенных расчетов рекомендуется принимать Z_P/2=5(Р-0,5) в интервале Р=0,9…0,98. (В РД 50-453 [19] то же, но в интервале 0,8…1,0 для симметричного закона с невозрастающей плотностью от центра распределения).

Если случайные погрешности представлены доверительными границами ε_j(Р), соответствующими одной и той же вероятности, доверительную границу случайной погрешности результата однократного измерения вычисляют по формуле

(23)

Доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по формуле

Δ(P)=K∙[Θ(Р)+ε(P)], (24)

где К - коэффициент, значение которого для доверительной вероятности 0,95 равно 0,76; для доверительной вероятности 0,99 значение коэффициента K равно 0,83 [17].

Пример 10. Рассчитать погрешность измерения напряжения показывающим прибором на участке электрической цепи сопротивлением R = 4 Ом при доверительной вероятности P=0,95.

Априорные данные об исследуемом объекте. Участок электрической цепи представляет собой соединение нескольких резисторов, имеющих стабильное сопротивление. Ток в цепи - постоянный. Измерение выполняют в сухом отапливаемом помещении с температурой воздуха до 30 °С. Напряженность магнитного поля до 400 А/м. Предполагаемое падение напряжения на участке цепи постоянно и не превышает 0,9 В.

Измерительный прибор - вольтметр класса точности 0,5 (приведенная погрешность 0,5 %) с верхней границей диапазона измерений U_пp = 1,5 В. Вольтметр имеет магнитный экран. Инструментальная составляющая погрешности определяется основной и дополнительной погрешностями.

Определяем предел допускаемой основной погрешности вольтметра

Δ_О = ±γ∙ U_пp/100 = ±0,5∙1,5/100 = ±0,0075 В

Дополнительная погрешность из-за влияния магнитного поля не превышает 1,5 % нормирующего значения прибора X_N= U_пp и равна Δ_МП= ± (0,015 · 1,5) = ±0,0225 В.

Дополнительная температурная погрешность, обусловленная отклонением температуры от нормальной (20 °С) на 10 °С, не превышает 60 % предела допускаемой основной погрешности:

Δ_Т = ±60 Δ_О/100= ±0,6∙0,0075 = ±0,0045 В.

Методическая погрешность определяется соотношением между сопротивлением участка цепи R и сопротивлением вольтметра R_V. Сопротивление вольтметра известно: R_V = 1000 Ом. При подсоединении вольтметра к цепи исходное напряжение U_x изменится на

Δ_U= - U∙R/(R+R_V)= - 0,9∙4∙(4+1000)= - 0,004 В

Оцененная методическая погрешность является систематической составляющей погрешности измерений и должна учитываться в при записи результата измерения в виде поправки +0,004 В.

Находим границы погрешности результата измерения.

Поскольку основная и дополнительные погрешности применяемого средства измерений заданы границами, рассматриваем их как неисключенные систематические погрешности. Вычисляем доверительные границы неисключенной систематической погрешности измерения при доверительной вероятности Р = 0,95:

Так как случайные погрешности не заданы, после подстановки получим